2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题77 数列的基本知识与概念 （解析版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题77数列的基本知识与概念题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．【答案】B【分析】当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值．【详解】①当时，若，则数列的各项为，此时数列为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有673项为0；若，则数列的各项为，此时数列为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有673项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有672项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有672项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有671项为0；依次类推，可知当，或时，数列的前2020项中有100项是0；②当时，若，则数列的各项为，此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有671项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有670项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有670项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有669项为0；依次类推，可知当，或时，数列的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列的前2020项中有100项是0，则可取的值有．故选：B．【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：．，∴，，，同理可得：；；．；，，……．∴．故是一个以周期为6的周期数列，则．故选：B．【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．例3．数列满足，，其前项积为，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果．【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，，．故选：D．例4．若数列满足，且，则的前100项和为（）A．67 B．68 C．134 D．167【答案】B【分析】由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解．【详解】因为，所以，因为，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，所以从第2项起，3项一个循环，所以的前100项的和为，故选：B．例5．数列满足若，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以．故选：B．【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（）A． B．3028 C． D．3029【答案】C【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列的周期为4，再根据与前两项的范围可求得，再分组求和求解即可．【详解】设，由，得，，．故数列的周期为4，即可得．，又，．，即．，．故选：C．【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列中，，当时，，则（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】由题意得：，则数列的周期为3，则．故选：B．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列中，，，则等于（

）A． B． C．-1 D．2【答案】D【解析】解：∵，，∴，∴，，，，…，∴数列是以3为周期的周期数列，，∴，故选：D．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】为单调递增数列，，即，解得：，即实数的取值范围为．故选：B．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，函数在上为增函数，可得，可得，且有，即，即，解得或．综上所述，．故选：C．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，因此有，得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，因为数列单调递增，所以有，即，解得：，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为等比数列前项和满足（），所以，，，因为等比数列中，所以，解得或（舍去），所以，因为数列是递增的，所以，所以，因为，所以，故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可得，解出即可．【详解】因为对于任意都有，所以，解得故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围．【详解】由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又数列是单调递减数列，所以当时，取得最大值，所以．故选：C．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（）A． B．1C．2 D．3【答案】B【分析】根据得出，然后通过累加法求出，根据均值不等式及，即可求出结果．【详解】由得所以则所以当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1故选：B【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及，求得最值．例16．已知数列满足，，则的最小值为（）A．2-1 B． C． D．【答案】C【分析】先根据累加法得，进而得，再结合函数的单调性即可得当时，的最小值为．【详解】解：由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，检验已知时，满足．故，，由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，所以的最小值为．故选：C．例17．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】A【分析】由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解．【详解】∵，∴，则，即，∴．易知，∵，当时，，∴当时，，当时，，又，∴当时，有最小值．故选：A例18．已知数列的前n项和数列的前n项和则的最小值____【答案】5【分析】由和的关系求出数列的通项公式，再根据正负表示出数列的通项公式为，求出，并表示出，再分别求出和时的最小值，即可判断的最小值．【详解】由题意，数列的前n项和，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，，所以，数列的前n项和，所以，当时，，当时，的最小值为6；当时，，由对勾函数的性质，当时，有最小值5；综上所述，的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由求数列通项公式的求法、等差数列前项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题．例19．数列，，，，中的最小项的值为__________．【答案】【分析】构造函数，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解．【详解】考虑函数，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，即在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，所以数列的最大项为，所以的最小项为．故答案为：【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（）；（）．A．35B．36C．37D．38【答案】C【分析】结合图形中的规律直接求出和，进而总结出递推公式时，，利用累加法即可求出结果．【详解】由图中规律可知：，所以，，，，因此当时，，所以，经检验当时，符合，所以，故选：C．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若数对满足，，则数对排在（）A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位【答案】D【分析】先求出的值，再根据数对的特点推出数对的位置【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第组为，数对中两数的和为，共个数，由，得，因为，所以，解得，所以，在所有数对中，两数之和不超过19的有个，所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17），所以数对（3，17）排在第174位，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由，得，解出的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项．【详解】设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．当时只有1个；当时有2个；当时有3个；…；当时有个；其上面共有个数对．所以第个“整数对”为，第个“整数对”为，故选：C．【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题．例23．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数出现在A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列【答案】B【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案．【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11…利用累加法：计算知：数出现在第行列故答案选B【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键．题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上单调递减，在上单调递增，当时，，又，，，即的最小值为．故选：A．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（

）A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是【答案】B【解析】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列中，，（，），则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，当时，满足上式，则．因为，所以，所以，则，故，当且仅当时，等号成立．故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所以．设．若有最小值，则有最小值，令，则所以当或时﹐的最小值为．故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列满