初三复习资料一元二次方程知识点-中考考点-典型例题分类和中考真题练习

一元二次方程方程及其应用是初中代数中的核心内容，是各地历年中考命题的一个重点，也是一个热点。方程的思想和方法是初中数学中最重要的思想和方法之一，有些虽然是几何问题，也常常可以用或需要用方程的思想和方法来解决。初中数学中的方程，除了一元一次方程以外，还有二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，以及内容十分相近的不等式和不等式组。实际上，对于以后学到的二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，都是通过“转化”的思想和方法，把它们转化为一元一次方程，从而最终得到解决的。新课标要求1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程；4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。考点整合1、一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。2、一般表达式：其中是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。4、一元二次方程的解法：（1）直接开方法，适用于能化为的一元二次方程。（2）因式分解法，即把一元二次方程变形为（x+a）（x+b）=0的形式，则（x+a）=0或（x+b）=0（3）配方法，即把一元二次方程配成形式，再用直接开方法，(4)公式法，其中求根公式是（b2-4ac≥0）5、根的判别式、根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b2-4ac<0时，方程有没有的实数根。如果一元二次方程有两根则有6、列一元二次方程解实际应用题步骤考点精析考点一、一元二次方程的解例1：（2011黑龙江哈尔滨3分）若=2是关于的一元二次方程2－m＋8=0的一个解．则m的值是．(A)6(B)5(C)2(D)－6考点：一元二次方程的解。分析：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。若=2是关于的一元二次方程2－m＋8=0的一个解，则把=2带入方程，方程左右两边相等，再把问题转化为解一元一次方程。解：把=2代入方程2－m＋8=0即可得到一个关于m的一元一次方程4－2m＋8=0，，解之即得：m=6。故选A。点评：本题考查了学生对一元二次方程解的意义的理解，通常以填空和选择题型出现，难度不大．举一反三1.（2011广西贵港3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为A．1 B．－1 C．2 D．－2解：根据一元二次方程的根的定义，将1代入方程，即可求出m＝1，从而得到一元二次方程，解之即得另一根为2。故选C。2.(2012年河北一模)关于x的一元二次方程(－1)x2+x+2－1=0的一个根是0，则a的值为（）A.1B.－1C.1或－1 D.0解：根据一元二次方程的根的定义，将0代入方程，得2－1=0，解之得，又，。故选B3.（2011广西百色3分）关于的方程的一个根为1，则的值为A.1B..C.1或.D.1或－.解：把1代入，方程，得，解得＝1或－。故选D。4.（2012年浙江一模）已知关于x的方程的一个根是1，则k=．解：把带入方程得，解得考点二、一元二次方程的解法例题1,：（1）（2012湖北荆州）用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是()A．(x－1)2＝4B．(x＋1)2＝4C．(x－1)2＝16D．(x＋1)2＝16考点：一元二次方程的配方法分析：本题考察了一元二次方程的配方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方。如果二次项系数不为1，则需要在方程两边同时除以二次项系数解：把x2－2x－3＝0移项得：，两边加上1得，即(x－1)2＝4，故选A点评：配方法解一元二次方程的常用方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方，难度较小。如果二次项系数不为1，则需要在方程两边同时除以二次项系数，所以解决这类题目时，同时要分清楚二次项系数。（2）（2012山东省滨州中考）方程x（x﹣2）=x的根是．考点：一元二次方程的因式分解法分析：观察原方程不难发现，原方程可化为等号左边是几个因式的乘积，等号右边是0的形式，所以选择用分解因式法解比较简单。解：x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．点评：本题考查解一元二次方程的方法－因式分解法。用提公因式法分解因式是解方程比较简单的方法，属于简单题此题．（3）（2011江苏省无锡市）解方程：x²－4x+2=0考点：一元二次方程的公式法分析：解一元二次方程首先要计算判别式Δ=b²－4ac,当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程无实数根。解：∵∴Δ=4²－4×1×2=8∴∴，点评：此题考查一元二次方程的解法，一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，要能够根据方程的不同特点，进行比较、鉴别，灵活选用适当的方法解方程.这些方法的前提条件是方程有根，其中求根公式法可以用于一切有根的方程，可称为“万能解法”。这个考点的常考题型是填空题、计算题、应用题举一反三1：（2012贵州铜仁，17，4分一元二次方程的解为____________；解：运用分解因式法容易得出.由x2－2x－3＝0，得（x+1)(x－3)=0∴x+1=0或x－3=0解得2：(2012贵州黔西南州，4，4分)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2―10x＋21=0的解，则第三边的长为()．A．7B．3C．7或3D．无法确定解：x2－10x＋21=0，得x1=3，x2=7．根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8．所以第三边的长x=7．故答案A．3：解方程：（1）（2011广东清远6分）解方程：2－－1=0．解：由原方程，得(－2)2＝5＋2＝±eq\r(,5)eq\f(,)∴＝－2±eq\r(,5)（2）（2011湖北武汉6分）解方程：2+3+1=0.

解：

∵a=1,b=3,c=1∴△=b2－4ac=9－4×1×1＝5＞0，∴=－3±。

∴1=－3＋，2=－3－。考点三：根的判别式，根与系数的关系例题：（2012湖北襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0考点：根的判别式，一元二次方程的概念，解不等式组分析：一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0；要同时满足这三个条件，解不等式组即可得解。解析：由题意，得故选择D点评：解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视这一符号条件下的不等关系而错选为B．举一反三1.（2011广西钦州）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A． B． C．D．解：A．方程的△＝－4＜0，无实数根，选项错误；B．方程的△＝0，有两个相等的实数根，选项错误；方程C．的△＝－3＜0，无实数根，选项错误；D．方程的△＝8＞0，有两个不相等的实数根，选项正确。故选D。2.（2012北京昌平初三一模）若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（）A．a＜2且a≠0Ｂ．a＞2Ｃ．a＜2且a≠1Ｄ．a＜－2解：由题意得：a＜2且a≠1。故选C3.（2011福建厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．考点：一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程。分析：（1）方程有两个不相等的实数根，说明Δ＞0，即Δ=b²－4ac＞0，然后代入a、b、c的值得到关于n的不等式，解不等式即n的值。(2)一元二次方程根是整数，则说明Δ=b²－4ac是一个完全平方数，用列举法解得。解：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得，n＞－QUOTE12。（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，∴x=。∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式。∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9。解得，n=0，n=1.5或n=4。考点四：一元二次方程的应用例题：（2012南京市）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）考点：列一元二次方程解应用题分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27－（3－1）×0.1=26.8.（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.点评：解此题的关键是表示出进价以及每辆车的利润，而返利的多少与售出数量有一定关系，因而得讨论出售汽车的数量问题，这一点容易忽略.同时，在列一元二次方程解应用题中，一定要对解出的两个根进行检验取舍，看两根是否符合实际题意。学生往往容易漏掉这一点。举一反三1.（2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．5500（1+x）2=4000B．5500（1﹣x）2=4000C．4000（1﹣x）2=5500D．4000（1+x）2=5500解：设年平均增长率为x，那么2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500．故选：D．2.（2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为.解析：由题意得（22－x）(17－x)=300.3.（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形考点精练1.（2011辽宁本溪3分）一元二次方程的根（D）A、 B、 C、 D、解：将原方程左边写出完全平方式即可求得：。故选。2.（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是（D）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根解：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：，当>2时，，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确。3.（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是.（B）A．为任何实数，方程都没有实数根B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种解：∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。4.（2012江西高安）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）A． B． C． D．或解：由题意得，，即，∴，故选D5.（2012四川沙湾区调研）菱形的边长是，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则的值为（）A.B.C.或D.或解：设AO、BO分别为，由题意得又∵菱形的边长是5，∴∴，解此方程得，当时，＜0，不合题意，∴。故选A6.（2011山东济宁3分）已知关于的方程2＋＋=0的一个根是－（≠0），则－值为A.-1B.0C.1D.2解：∵－a是2＋bx＋a=0的一个根，∴（－a）2＋b（－a）＋a=0，∵≠0，∴a－b＋1=0，∴a－b=-1。故选A。7.已知方程x2+bx+a=0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（）A.abB.C.a+bD.a－b解：把-a代入方程得：，∴，∴又∵，∴∴。故选D8.已知三角形两边长是方程x2－5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是.解：由x2－5x+6=0得：（x-2）（x-3）=0，则x-2=0或x-3=0，∴x1=2,x2=3.又由三角形三边关系得1＜c＜5。故答案是1＜c＜59.（2011甘肃兰州4分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是▲．解：由一元二次方程的解与二次函数的关系，关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标，同样a（x+m+2）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标。y=a（x+m+2）2+b的图象可以由y=a（x+m）2+b的图象向左平移2个单位得到，根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。由y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2，x2=1，可得出y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1。∴方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1。10．（2008河南）在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为.解：由题意得：11.解方程：（1）（2012安徽）（2）(2012年江阴模拟)（3）(2009武汉)．分析：根据一元二次方程方程的几种解法，（1）题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.（2）题也不能直接开方，可考虑用分解因式法。（3）题用公式法解（1）：原方程化为：x2－4x=1配方，得x2－4x+4=1+4整理，得（x－2）2=5∴x－2=,即.解（2）：由得：，解得答案：3或解（3）：∵，∴∴∴12.(2012浙江椒江二中、温中联考)某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元。每公顷蔬菜年均可卖万元。若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益（扣除修建和种植成本后），工作组应建议他修建多少公顷大棚。（结果用分数表示即可）解：设建议他修建x公项大棚，根据题意，得5，即，解得:，.从投入、占地与当年收益三方面权衡应舍去.答：工作组应建议修建公顷大棚．13.（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形14.(西城2012年初三一模)．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)80▲40销售量(件)200▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)；（2）根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000．整理，得x2－20x＋100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．15.（重庆一中）某水果店批发一种成本为每箱30元的梁平柚子.据市场分析,若按每箱40元批发,一个月能批发600箱；若每箱批发价涨价1元,月批发量就减少10箱,针对柚子的批发情况,请解答下列问题：（1）当批发价定为每箱55元时,计算月批发量和月利润；（2）若批发价定为每箱元,月批发利润为元,求与的函数关系式；当批发价定为每箱多少元时,月利润最大？（3）若水果店想在本月成本不超6000元的情况下,使得月利润达到10000元,则批发价应定为每箱多少元？解：(1)月批发量:(箱)月利润:(元)(2)∴当每箱定价为65元时,月利润最大.(3)在中,当时,有∴∴当时,成本为:(元)当时,成本为:(元)∴即每箱批发价定为80元可使成本不超过6000元,而利润达到10000元.重庆中考真题再现1.（2011江津）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 A、＜2 B、＞2 C、＜2且≠l D、＜﹣2解：由题意得：。故选C。3题图2.（2007重庆）方程的解为.3题图解：直接开方：，∴。故答案：3.（2011一中月）已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）A解：令，则二次函数y1的图像可以看着是由抛物线向上平移2个单位得到。由图可知，抛物线的顶点是（，-3），向上平移2个单位后，得到抛物线的顶点坐标是（，-1），故，抛物线与x轴有两个交点，所以关于的方程有两个不等的实数根，故答案选AA．有两不相等的实数根 B．有两个相等实数根C．无实数根 D．不能确定4．（2010巴蜀模拟）方程的解是。解：移项：，∴，故答案为：图1x/元5012008图1x/元501200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系，但种植面积不超过3200亩．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系,且每亩收益不低于1800元．（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．解：（１）令y=k1x+b1(k1≠0)由图象过点（0,800）,（50,1200）得：∴y与x的函数关系式为：y=8x+800令由图象过点（0，3000）,（100,2700）得：∴z与x的函数关系式为：z=-3x+3000（２）当x=0时，y=800亩z=3000（元/亩）∴总收益为：800×3000＝2400000（元）（３）即：由题意：解∴在:中，∵a=-24<0∴抛物线开口向下，在对称轴x=450的左侧，w随x的增大而增大.当x=300时，∴政府应将每亩补贴数额x定为300元时，总收益w有最大值，为6720000元.6.（2011育才二诊）现在互联网越来越普及，网上购物的人也越来越多，订购的商品往往通过快递送达．当当网上某“四皇冠”级店铺率先与“青蛙王子”童装厂取得联系，经营该厂家某种型号的童装．根据第一周的销售记录，该型号服装每天的售价（元/件）与当日的销售量（件）的相关数据如下表：每件的销售价（元/件）