《高等数学》(1-3章)教学教案

高等数学教学教案

第1章函数、极限与连续

梭爆星号01

教学基本指标

教学课题第1章第1节函数课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结

合

教学重点反函数、复合函数教学难点反三角函数

参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题

大纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系

式。

2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

教学基本内容

—.预备知识

1.集合

（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合.构成集

合的对象，称为集合的元素.

（2）集合的表示.

（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.

（4）高等数学中常用数集及其记法.

2.区间与邻域

（1）有限区间与无限区间及其记法.

⑵邻域：集合｛x|x-%|<凡5>0｝表示开区间（%-8/+8），称之为点%的5邻域，

记作U（%o,5）.不称为邻域中心，5称为邻域半径.

（3）去心邻域：集合k[0<,一天|<6@>0｝,表示（为一必为）一（%,而+田，称之为

点七的5去心邻域，记作U(%o,8).

3.映射

(1)定义：设x、y是两个非空集合，如果存在一个法则/,使得对x中每个元素x按照

法则/，在y中有唯一确定的元素丁与之对应，则称/为从x到y的映射，记作

其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作/(%),即

y=/⑴.

而元素x称为元素y(在映射一下)的一个原像；集合X称为映射/的定义域，记作Qf,即

Df=X.

X中所有元素的像所组成的集合称为映射/的值域，记为R/,或/(X),即

Rf=f(X)={f(x)\x^x}.

(2)满射、单射和双射

设/是从集合x到集合y的映射，若Rf=Y,即y中任一元素,都是x中某元素的像,

则称/为x到y上的满射；若对x中任意两个不同元素x尸/，它们的像/(王)//(々)，则

称/为x到y的单射；若映射/既是单射，又是满射，则称/为双射(或一一映射).

(3)逆映射与复合映射

设/是X到y的单射，则由定义，对每个yeR/,有唯一的xeX,适合/(x)=y,于

是，我们可定义一个从尺/到X的新映射g,即

g：Rffx,

对每个ye0,规定g(y)=x,其中x满足/(x)=y.这个映射g称为/的逆映射，记作

厂',其定义域£＞尸,值域代尸=X.

JJJ

设有两个映射

g：Xfz，

其中则由映射g和/可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xeX映射成

f[g(x)]^Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和/构

成的复合映射，记作/g,即

fg：X-Z,

(/g)(尤)=/(g(x))”X.

二.函数

1.函数定义

(1)设。是一个给定的非空数集.若对任意的WxeO,按照一定法则/,总有唯一确定

的数值y与之对应，则称y是x的函数，记为》=/(%).数集。称为函数/(%)的定义域，x为

自变量，y为因变量.函数值的全体W={y|y=/(%),%e。}称为函数/(x)的值域.

(2)函数的两要素：定义域与对应法则是确定函数的两要素，两要素可以作为判断两个函

数是否相同的标准.

(3)两函数相等

2.常见的分段函数

在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.

(1)绝对值函数

(2)符号函数

(3)取整函数

(4)狄利克雷函数

3.函数的性质及四则运算

(1)函数的有界性：有上界、有下界、有界

定理：函数〉="xXxeD在其定义域上有界的充分必要条件是它在定义域。上既有上界又

有下界.

(2)函数的单调性

严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.一般情况下，若不单独说明，本

书所指单调增加(减少)即为严格单调增加(减少).

(3)函数的奇偶性

(4)函数的周期性

(5)函数的四则运算

4.反函数

(1)定义：设函数y=/(x),xer),yeW(。是定义域，W是值域).若对于任意一个yeW,

。中都有唯一确定的x与之对应，这时x是以W为定义域的y的函数，称它为y=/(x)的反函

数，记作了=广('),'eW.

习惯上往往用字母x表示自变量，字母y表示函数.为了与习惯一致，将反函数

x="(y),yeW的变量对调字母x、y,改写成y=/T(x),尤eW.

今后凡不特别说明，函数y=/(x)的反函数均记为,=形式.

在同一直角坐标系下，y=/(x),xeD与反函数y=f-\x),xeM的图形关于直线y=x对称.

(2)定理：单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)

的.

(3)介绍反三角函数.

5.复合函数

(1)定义：设有函数链y=/(M),ueDf,u=g(x),xeD,且RguD,,则

y=/[g(%)],称为由式(L1),(1.2)确定的复合函数，”称为中间变量.

这个新函数y=f(g(x))称做由y=/(w)和〃=g(x)复合而成的复合函数，u=g(x)称为内

层函数，y=/(")称为外层函数，"称为中间变量.

(2)复合函数不仅可以由两个函数经过复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成.

6.初等函数

(1)基本初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初

等函数.

(2)初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用

一个式子表示的函数，称为初等函数.

(3)双曲函数与反双曲函数

三.例题讲解

Y—11

例1.确定函数〉=arcsin------+,的定义域.

5V25-%2

例2.某河道的一个断面图形，其深度y与一岸边点。到测量点的距离x之间的对应关系如

图1.3中曲线所示.

图1.3

这里深度y与测距x的函数关系是用图形表示的，定义域D=[0,/?].

,|%|<1,

例3.确定函数/(%)=11的定义域并作出图形.

p-1,1<|%|<2

例4,求函数y=sin%-sink|的值域.

例5.某城市制定每户用水收费(含用水费和污水处理费)标准(参见下表):

用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分

收费(元/立方)1.302.00

污水处理费(元/立方)0.300.80

那么每户用水量x(立方)和应交水费y(元)之间的函数关系是怎样的呢？

例6.某工厂生产某型号车床，年产量为。台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元.

设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存为批量的一半.设每年每台

库存费为c元.显然生产批量大则库存费高；生产批量少则批量增多，因而生产准备费高.为了选

择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.

梭德星号02

教学基本指标

教学课题第1章第2节极限的概念与性质课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点数列极限与函数极限的概念与性质教学难点数列极限与函数极限的概念

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

教学基本内容

数列极限的概念

1.数列定义

2.数列极限的定义

（1）对于数列｛%“｝,当〃无限增大OO）时，若乙无限趋近于一个确定的常数。，则称。为〃趋于无穷大

时数列｛%”｝的极限（或称数列收敛于a）,记作limx“=a或x”ta（〃-8）；此时，也称数列｛七｝的

极限存在；否则，称数列｛%｝的极限不存在（或称数列是发散的）.

（2）（e—N定义）设｛%｝为一数列，a是常数，如果对X/e>0,3eN+,使得对于满足〃〉N的一切乙,

总有民―4<£.则称。为数列｛%“｝的极限（或称数列收敛于a）,记作limx〃=a或x”一a（〃foo）.

（3）数列极限的几何意义：任意给定正数£,当“〉N时，所有的点x“都落在（a-s,a+£）内，只有有限

个（至多只有N个）落在其外.

数列极限的性质

1.（唯一性）收敛数列的极限是唯一的.

2.（有界性）收敛数列是有界的.

注（1）定理1.3中的M显然不是唯一的，重要的是它的存在性.

(2)有界性是数列收敛的必要条件，例如，数列｛(-1)"+1有界但不收敛.

(3)无界数列必定发散.

3.(保序性)若limx“=a,lim%=立且a>5贝归NeN卡,使得当时，有%>笫.

”->8

注：(1)若mNeN+,使得当时，xn>Q(或VO),则(或aWO).

(2)(保号性)若a>0(或<0),贝UmNeN+,使得当时，xn>Q(或％<0).

=.子列

1.定义：在数列｛阳,｝中任意抽取无限多项，保持这些项在原数列中的先后次序不变，这样得到的新数列称为数

列｛与｝的子数列，简称子列.

2.定理：(收敛数列与子列的关系)若数列｛4｝收敛于a,则其任意子数列也收敛于a.

注：该定理的逆否命题常用来证明数列｛X〃｝发散，常见情形如下：

(1)若数列｛%｝有两个子数列分别收敛于不同的极限值，则数列｛与｝发散；

(2)若数列｛4｝有一个发散的子数列，则数列｛*“｝发散.

四.函数极限的概念

1.自变量趋于无穷大时函数的极限

(1)定义：(描述性定义)设函数y=/(x),在|%|>。>0时有定义，当x的绝对值无限增大(x-oo)时,

若函数的值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为x-8时函数/(x)的极限.记作

或f(x)

lXi->m00/(x)=A,—>A(x->oo).

此时也称极限lim/(%)存在，否则称极限lim/(%)不存在.

x-»ooX—>00

(2)定义：(e-X定义)设函数y=/(x)在W大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于任意给定的

正数£(不论它有多小)，总存在正数X,使得当x满足不等式W>X时，对应的函数值/(x)都满足不等式

则称常数A为xf00时函数/(x)的极限.记作lim/(x)=A或/'(尤)ffoo).

X—>oo

(3)极限期/(%)=A的几何意义：任意给定正数£,作直线》=4+£与》=人—£,总能找到一个

X>0,当|x|>X时，函数y=/(x)的图像全部落在这两条直线之间.

(4)定理：极限lim/(功存在的充分必要条件是lim/(九)与lim/(九)都存在且相等，即

lim/(x)=Aolim/(%)=A=lim/(x).

x—>00X—>+00x—>-00

2.自变量趋向有限值时函数的极限

(1)定义：(描述性定义)设函数y=/(x)在点无。的某一去心邻域有定义，当x无限地趋近于不(但X#/)时，

若函数/(x)无限地趋近于一个确定的常数A,则称A为当xf/时函数/(x)的极限.记作

lim/(x)=A或y(x)_>A。一%).

这时也称极限lim/(x)存在，否则称极限limf{x}不存在.

%—>殉X—

(2)定义：(e—5定义)设函数y=/(x)在点天的某一去心邻域有定义，如果存在常数A,对于任意给定的

正数£(不论它有多小)，总存在正数方，使得当x满足不等式0<|尤-时，对应的函数值/(x)都满足不

等式

则称常数A为当Xf/时函数“尤)的极限.记作：lim/(x)=A或/(x)->A(x->x0).

(3)极限lim/(x)=A的几何意义：任意给定正数£,作直线》=4+£与》=人—£,总能找到点飞的一个3

邻域(尤0-3,%+3),使得当-a/j(x。,尤o+5)时，函数y=/(x)的图像全部落在这两条直线之间.

(4)定义：设函数>=/(尤)在点飞的左邻域有定义，如果自变量x从小于七的一侧趋近于/时，函数/(x)无

限趋近于一个确定的常数A,则称A为当/时函数/(元)的左极限，记作：

lim/(x)=A或/(/一0)=A或/(%)=A.

(5)定义：(£—5定义)设函数y=/(x)在点X。的左邻域(与-用，/)有定义，如果存在常数A.对于任意

给定的正数£(不论它有多小)，总存在正数S(0<S<g),使得当x满足不等式不一5<x<x0时，有

,则lim/(x)=A.

X—>XQ~

(6)定义:设函数y=/(x)在点/的右邻域有定义，如果自变量x从大于七的一侧趋近于七时，函数/(x)无

限趋近于一个确定的常数A,则称A为当xf/时函数/(x)的右极限，记作：

lim/(x)=A或/(/+0)=A或/(%：)=A.

X-

⑺定义：(£—5定义)设函数y=/(x)在点飞的右邻域(%,与+&)有定义，如果存在常数A.对于任意给

定的正数£(不论它有多小)，总存在正数3(0<5<当),使得当x满足不等式x0<x<x0+5时，有

则lim/(x)=A.

x-

(8)定理：极限lim/(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限lim/(x)与右极限lim/(x)都存在且等

%~^天)x-x-

于A.即lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A.

X-^演X—%—

五.函数极限的性质(以lim/(x)为例说明)

1.(唯一性)若极限lim/(x)存在，则极限是唯一的.

X-^为0

2.(局部有界性)若存在，则/(%)在毛的某去心邻域方(%)内有界.

3.(局部保序性)设Um/(x)与limg(x)都存在，且在某去心邻域方(%)内有/(x)Wg(x),则

%-%0X—>x0

lim/(x)<limg(x).

%一%%一%

4.(局部保号性)若lim/(x)=A>0(A<0),则对一切无有/。)>0或(f(x)<0).

Xf%

5.定理：(海涅定理)设函数y=/(x)在点无。的某一去心邻域有定义，则lim/(X)=A的充要条件是对

x->而

+

任何收敛于X的数列｛x“｝(x,产毛,〃eN),都有lim/(x)=A.

on—><x>,i

注海涅定理的否命题常用于证明函数在无。点的极限不存在，常见情形如下：

⑴若存在以％为极限的两个数列｛%｝与｛%｝,使得lim/(%)与lim/(%)都存在，(01im/(x„)

n—>oon—>con—>oo

手limf(yn)，则limf(x)不存在；

n—>cox—>x0

(2)若存在以与为极限的数列｛xj,使得不存在，则lim/(无)不存在.

n—>oo演

六.例题讲解

例1.已知X'="+(—D',证明数列｛%｝的极限为1.

(-1)"

例2.已知xn=-———,证明limx=0.

(〃+1)'oo

例3.设|q|<1,证明等比数列1,q,q2,,qi,—的极限是0.

例4.考察极限limarctanx与lim是否存在？

X—>0000

x2-l

例5.考察极限lim------是否存在？

7X-1

例6.考察下列函数当xf1时，极限lim/(x)是否存在？

X—>1

f2%,x<1,

X,x<1,

⑴/(%)=。,I⑵/(九)=0,%=1,

[2x-1,x>l;

x,x>1.

例7.讨论当xf0时，函数/(%)=sin—的变化趋势.

x

梭德港号03

教学基本指标

教学课题第1章第3节极限的运算法则课的类型复习、新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点四则运算法则、复合函数的极限、夹逼准则、两教学难点复合函数的极限、夹逼准则

个重要极限

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求1.掌握极限的性质及四则运算法则。

2.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

教学基本内容

极限的四则运算法则

定理：如果lim/(x)与limg(x)都存在，且lim/(%)=A,limg(x)="，贝I

(1)lim[/(x)±g(x)]存在，且有lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±6;

(2)lim[/(x)・g(x)]存在，且有lim[/(x)・g(x)]=lim/(x)-linig(x)=A-5;

\/(x)lim/(x)A

(3)若3*0,贝打f(存x在，且有vhm=.=-

g(x)g(x)limg(x)BD

推论设limy(x)存在，且lim/(x)=A，则

(1)若C是常数，则lim[c/(x)]存在，且有lim[t/(x)]=clim/(x);

⑵若a为正整数，贝存在，且有

二.复合函数的极限

定理：设limf(u)=A，lim(p(x)=%，且在点x0的某去心邻域内(p(x0)w%,则由y=f(u)和"=0a)

u—>u0X—>XQ

复合而成的函数y=f[(p(x)]的极限存在，且limf[<p(x)]=lim/(«)=A

X-U-

三.极限存在准则

1.定理：(数列极限的夹逼准则)如果数列｛七｝，｛片｝及上“｝满足下列条件:

(1)yn<xn<zn,n=l,2,；(2)limy”=limz“=a,

n—>oon—><x>

则数列｛玉｝的极限存在，且!独招=&

2.定理：(函数极限的夹逼准则)设函数/(办g(x)、h(x)在与的某去心邻域6(%⑼(或|尤|>反)

内有定义，且满足下列条件:

(1)当xe{x|0<|x—/|<S}(或|x|>")时，有g(x)W/(x)W/z(x)成立;

(2)limg(%)=lim"(冗)=〃，则limf(x)存在,且lim/(x)=a.

X-^XQx—>A()%—>与

(x->oo)(x-^oo)(%foo)(x—>oo)

3.定理：(单调有界原理)单调有界数列必有极限.

四.两个重要极限

1.重要极限I1血生叱=1.

xfOx

2.重要极限IIlim(l+—)x=e.

x—>00JQ

五.例题讲解

例1.求lim(3x2—2x+l).

例2.求lim「T—.

*，2x-5x+3

/r.i/i.2n2—2zz+3

例3o.求hm----------------•

203n+1

例4.求lim与圭.

2

23x-9

例5.求lim(J?+1-yjn2-2

m<x)

例6.求极限lim(x3+5x—l)i°.

12n

例7.求lim~2--------------十-2-----------------1-

n—>oon+几+1n+〃+2

例8,设。>0,x1>0,x'ln+\；(%”+—)5=1,2,….),

2x.

(1)证明limx存在；⑵求limx〃.

n—>conn—><x>

例9.求

x—>0JQ

例10.求lim里四(k为非零常数).

x-0x

闻一中「1-COSX

例11.求hm----7—.

%—0X』

]_

例12.求极限lim(l+2x)x.

x->0

7

例13.求极限lim(l--)"+1.

%—>oo%

例14.(信息传播规律)信息传播是现实生活中普遍存在的现象，日新月异发展的信息媒介给信息传播提供

了温床，使得信息给人类生活及认知带来了更多的影响.在传播学中有这样一个规律：在一定的状况下，信息

的传播可以用下面的函数关系来表示：

，

p'(?))=——1+ae"

其中夕(。表示f时刻人群中知道该信息的人数比例，a、%均为正数.

通过limp(t)=lim—=1,我们知道/时刻人群中知道此信息的人数比例为100%,这就从数学理论上

9+00—+00]+Qe

解释了信息传播的威力.例如，在“SARS病毒”时期人们抢购板蓝根药物、白醋、口罩等，甲流感病毒袭来时

人们“抢购大蒜”的疯潮，日本发生核辐射泄漏后的惊动，在日本掀起了一场“抢盐”的疯狂行为.很显然信

息传播会呈现出这样一个规律：随着时间的慢慢推移，最终所有的人都将会知道这个信息.

梭德星号04

教学基本指标

教学课题第1章第4节无穷小与无穷大课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点无穷小与无穷大的定义，无穷小阶的比较教学难点无穷小阶的比较

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学基本内容

--无穷小

1.定义：如果lim/(x)=O，则称函数y(x)为当xf不时的无穷小.

X—>Aj)

在定义中，可将Xf%成%—+8,x->—co,xfco,x->E，xfq以及00可定义不同变化

过程中的无穷小.

注(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关外，还与自变量的变化趋势有关.

(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别

地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.

2.定理：lim/(x)=A的充分必要条件是/(x)=A+a,其中。=a(x)是4f%的无穷小，即

X—>XQ

limcr(x)=0.

Xf而

3.无穷小的性质

(1)有限个无穷小的代数和是无穷小；

(2)有限个无穷小的乘积是无穷小；

(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

(4)常数与无穷小的乘积是无穷小.

二.无穷大

1.定义：当x->与时，如果函数/(%)的绝对值无限增大,则称当x—与时f(x)为无穷大，记作lira/(%)=00.

在定义中，将Xf/换成x->+8以及“fco可定义不同变化

过程中的无穷大.

注(1)无穷大是变量，它不是很大的数，不要将无穷大与很大的数(如10必°)混淆；

(2)无穷大是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大.

(3)无穷大一定无界，但无界函数不一定是无穷大.

(4)无穷大分为正无穷大与负无穷大.

2.无穷小量与无穷大量的关系

定理：设函数y=/(x)在点％的某一去心邻域有定义，当Xf不时，

(1)若/(x)是无穷大，则是无穷小；

fW

(2)若_/■(*)是无穷小，且/(X)#0，则'~--•是无穷大.

于(X)

三.无穷小阶的比较

1.定义：设口，尸是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且exO，

(1)如果lim2=0,则称"是比a高阶的无穷小，记作；/3=o(a^；

(2)如果lim2=oo,则称尸是比a低阶的无穷小；

a

(3)如果111112=0((?/0),则称尸与a是同阶的无穷小；

a

(4)如果lim2=l,则称尸与a是等价的无穷小，记作尸〜°；等价无穷小具有自反性和传递性；

a

(5)如果lim4=c(c/0,keN+),则称"是关于a的上阶的无穷小.

注并非任何两个无穷小都能进行比较.

2.等价无穷小代换

定理：若a,"是同一自变量变化过程中的无穷小，且口a'，B犷，limg存在，贝ijlim2=limg.

aaa

注(1)该定理说明在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小用与之等价的无穷小替换，从而达到简化运算

的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小代换.

(2)当xf0时，常用的等价无穷小有：

xsinxarcsinxtanxarctanxln(l+x)ex-1；

一1〜xlna(a>0,aw1)；1-cosx-—x2；(1+x)"-1〜ax(awO,且为常数).

定理1.20。与a是等价无穷小的充要条件为p=a+o(a).

四.例题讲解

例1.求极限limfsinL

例2.求lim/-3

—x-5x+4

例3.求极限lim/Sdx

X(1+cosx)

3

例4.求极限limln(l+2x)ln(l+—).

X—>4-00X

例5.设xf0时ln(l+)与x+也为等价无穷小，求土的值.

梭薛序号05

教学基本指标

教学课题第1章第5节函数的连续性课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点函数的连续性、函数的间断点教学难点函数的间断点的判别

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求1.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大

值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

教学基本内容

函数连续的概念

1.定义：设变量”从它的一个初值为变到终值乙，终值与初值的差”2一%称为变量〃的增量，记为△"，

即AM=M2-Mj.

2.定义：(1)设函数y=/(x)在点X。的某邻域内有定义，如果当自变量X有增量Ac时，函数相应的有增

量Ay,若limAy=O,则称函数y=/(x)在点/处连续，/为/(%)的连续点.

Axf0

(2)设函数y=/(x)在点为的某邻域内有定义，若lim/(x)=/(%),则称y=/(x)在点/处连续.

(3)设函数y=/(x)在点4的某邻域有定义，如果对于任意正数”总存在正数使得当x满足不等式

,一天|<5时，有|/(尤)-/(无0)］<£,则称函数y=/(x)在点/处连续.

3.定义：如果函数/(%)在开区间(a,。)内每一点都连续，则称/(%)在(火。)内连续；如果函数/。)在

开区间(。,。)内每一点都连续，且在左端点x=a处右连续，在右端点％=。处左连续，则称在闭区间

［a,6］上连续,并称［a,6］是/(x)的连续区间.

注(1)/(%)在左端点x=a右连续是指满足lim/(x)=/(a);

x—>a+

(2)/(x)在右端点x=b左连续是指满足lim/(%)=f(b).

xfb

4.定理：函数/(x)在点/处连续的充分必要条件是函数/(x)在点/处既左连续又右连续.

函数的间断点

1.定义：如果函数/(X)在点X。处不连续，则称函数/(X)在点不处间断，点X。称为/(X)的间断点.

2./(%)在点%的左右极限/(5-0)和/(%+0)都存在的间断点为第一类间断点.它包含两种类型：可

去间断点与跳跃间断点.

3.称/(%-0)和/(%+0)中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.

三.连续函数的性质

1.定理：连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍是连续函数.

2.定理：设函数y=/(x)在区间人上是单调的连续函数，则它的反函数y=/T(x)是区间

Iy={/(x)|xe/J上的单调连续函数.

3.定理：设函数g(X)在点/连续，函数/(M)在点％=g。。)连续，则复合函数/(g(九))在点/连续•

4.基本初等函数在其定义域内连续.

5.由初等函数的定义及连续函数的运算性质知，初等函数在其定义区间内都是连续的.

四.闭区间上连续函数的性质

1.定理：(最大值与最小值定理)如果函数/(劝在闭区间句上连续，则函数/(x)在闭区间切上

一定有最大值与最小值.

2.推论：(有界性定理)闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.

3.定理：(介值定理)如果函数/(%)在闭区间切上连续，相和M分别为/(%)在口,加上的最小值

与最大值.则对介于阳与加之间的任一实数c(即加<c<M),至少存在一点使得/(J)=c.

4.推论：(零点定理)如果函数/(龙)在闭区间加上连续，且/(a)与/g)异号，则至少存在一点

Je(a,。)，使得/©=€).

五.例题讲解

例1.证明函数y=sinx在任意点与处都是连续的.

例2.试证函数/(%)=「sin-,x^O,在》=0处连续.

0,x=0,

“9。

例3.讨论函数/(九)={x-3''在点x=3处的连续性.

A,x=3

例4.讨论函数/(%)=sin，在点x=0处的连续性.

x

例5.求函数火力=―二的间断点并判断其类型.

1-e1-x

/rl4./lg(100+x)/八、

例6.求hmJ---------(a>0).

a。丫/+arcsinx

例7.证明：方程d—3——X+3=o在区间(-2,0),(0,2),(2,4)内各有一个实根.

例8.证明：函数x—2在区间(0,2)内至少存在一点飞，使e，。—2=%.

梭偏港号06

教学基本指标

教学课题第1章第6节函数极限的建模应用课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点函数极限的建模应用教学难点如何根据实际问题构建数学模

型

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求会根据实际问题构建数学模型

教学基本内容

例题讲解

例1.降水量预测

问题提出为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度X

与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表1.8所示.

表1.8

年序最大积雪深度尤(cm)灌溉面积y(公顷)

115.228.6

210.421.1

321.240.5

418.636.6

526.449.8

623.445.0

713.529.2

816.734.1

924.045.8

1019.136.9

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm,可以灌溉土地多少公顷？

例2.利润问题

问题提出某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价

与日均销售量的关系如下表1.9所示：

表1.9

销售单价/元6789101112

日均销售量/桶480440400360320280240

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

例3.汽车限制模型

问题提出某城市今年年末汽车保有量为A辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的t倍

且每年新增汽车量相同.为保护城市环境，要求该城市保有量不超过B量,那么每年新增汽车应不超过多少辆？

例4.餐厅就餐模型

问题提出某校有A,3两个餐厅供掰名学生就餐，有资料表明，每次就餐选A餐厅的学生在下次就餐

时选B餐厅的几率为4％,而每次就餐选B餐厅的学生在下次就餐时选A餐厅的几率为G％.试判断随着时间

的推移，在A,3两个餐厅就餐的学生人数外，机2分别大约稳定在多少人.

*例5.选择函数的拟合问题

问题提出某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表1.10：

y(kg)与身高龙(cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为

175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

注依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：

(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；

(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；

(3)利用待定系数法求出解析式；

(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这

个函数模型解释实际问题.

高等数学教学教案

第2章导数与微分

梭德星号01

教学基本指标

教学课题第2章第1节导数的概念课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点导数的概念，可导与连续的关系教学难点用定义求导数

参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题

大纲要求理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理

意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。