最速下降法求解线性代数方程组

姓名：学号：学院：班级：题目编号2013年10月13最速下降法求解线性代数方程组。最速下降法的数学理论从某个初始点出发，沿在点处的负梯度方向求得的极小值点,即然后从出发，重复上面的过程得到。如此下去，得到序列{}可以证明，从任一初始点出发，用最速下降法所得到的序列{}均收敛于问题使最小化的解，也就是方程组的解。其收敛速度取决于，其中,分别为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值，按如下方法决定：最速下降法的算法和流程图算法:(1)任取x^(0)R^n，计算r^(0)=b–Ax^(0)(2)对k=0,1,2,...,计算a(k)=(r^(k),r^(k))/(A*r^(k),r^(k))x^(k+1)=x^(k)+a(k)*r^(k)r^(k+1)=b-A*x^(k+1)=r^(k)-a(k)*A*r^(k)假设(||r^(k+1)||/||r^(0)||)<E,那么输出x*=x^(k+1),停止计算步骤：第1步选取初始点，给定终止误差，令；第2步计算，假设，停止迭代.输出.否那么进行第三步；第3步取；第4步进行一维搜索，求，使得令，，转第2步。流程图:开始开始三、最速下降法的Matlab实现function

x=fsxsteep(f,e,a,b)

%fsxsteep函数最速下降法%x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数f为函数e为允许误差(a,b)为初始点;

x1=a;x2=b;

Q=fsxhesse(f,x1,x2);

x0=[x1

x2]';

fx1=diff(f,'x1');

%对x1求偏导数fx2=diff(f,'x2');%对x2求偏导数梯度g1=subs(g);

%把符号变量转为数值d=-g1;

while

(abs(norm(g1))>=e)

t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);

%求搜索方向x0=x0-t*g1;

%搜索到的点

v=x0;

a=[1

0]*x0;

b=[0

1]*x0;

x1=a;

x2=b;

g1=subs(g);

d=-g1;

end;x=v;

function

x=fsxhesse(f,a,b)

%fsxhesse函数求函数的hesse矩阵；%

本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；%x=fsxhesse(f)为输入函数f为二次函数x1,x2为自变量；x1=a;x2=b;

fx=diff(f,'x1');

%求f对x1偏导数fy=diff(f,'x2');

%求f对x2偏导数fxx=diff(fx,'x1');%求二阶偏导数对x1再对x1

fxy=diff(fx,'x2');

%求二阶偏导数对x1再对x2

fyx=diff(fy,'x1');

%求二阶偏导数对x2再对x1

fyy=diff(fy,'x2');

%求二阶偏导数对x2再对x2

fxx=subs(fxx);

%将符号变量转化为数值

fxy=subs(fxy);

fyx=subs(fyx);

fyy=subs(fyy);

x=[fxx,fxy;fyx,fyy];

%求hesse矩阵四、最速下降法的算例实现例:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件steel.m：function[R,n]=steel(x0,y0,eps)symsx;symsy;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;symskk;while(temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]>>[R,n]=steel(0,1,0.0001)R=