2022-2023学年河北省张家口市高二年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省张家口市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1.已知集合A={xeZ|x+l±O},8={#4兀},则AB=()

A.|xeZ|x>-l|B.|x|-l<x<7t}

C.{-1,0,1,2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】因为A={xwZ|xN-l},B={x|x<7t},

所以A8={-1,0,1,2,3},

故选：C.

2.已知a>0,b>0,则“a=6=l”是“lga+lgb=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由lga+lg^=0可得而=1,利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为a>0，b>0,由lga+lgb=lgS6)=0,可得必=1,

所以，"a=b=l"n"a〃=l"；但"。=匕=1"及“4人=1”.

所以，已知”>0,b>0,则“a=b=l”是“lga+lg厶=0”的充分不必要条件，

故选：A.

3.已知e是自然对数的底数，则函数f(x)=e2'-1的图象在原点处的切线方程是()

A.y=xB.y=2x

C.y=sD.y=e2x

【答案】B

【分析】求导得/'(x)=2e2x,计算f(o)=o,r(o)=2,则得到切线方程.

【详解】因为/(0)=0,/。)=2/，所以八0)=2,

所以函数/(x)的图象在原点处的切线方程为y=2x,

故选：B.

4.设随机变量X的分布列如下(其中。<”l),D(X)表示X的方差，则当P从0增大到1时()

X012

丄

P1-P£

222

A.D(X)增大B.O(X)减小

C.D(X)先减后增D.£>(X)先增后减

【答案】D

【分析】首先根据期望公式得E(X)=g+p,再根据方差计算公式得O(X)的表达式，最后利用二次

函数的性质即可得到答案.

【详解】由分布列可得E(X)=Ox一+lxg+2x勺g+p,

则0«)=号\+\+鉴+夕-1)+窮+2-2)=屮+P+卜一卜一3)+3，

因为0<p<],所以£>(X)先增后减，

故选：D.

5.回文是一种修辞手法，数学中的“回文数”是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，例如

132231,则从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为()

541?

A.-B.-C.*T*D.•—

9923

【答案】A

【分析】计算岀五位数字的回文数的个数和五位数字的回文数的奇数的个数，利用古典概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

【详解】根据题意可知，五位数字的回文数中，首位有9种选择，千位和百位都有10种选择，

所以，五位数字的回文数的个数为9x102=9oo个，

其中，五位数字的回文数的奇数，首位有5种选择，千位和百位都有10种选择，

所以，五位数字的回文数的奇数的个数为5x102=500个，

因此，从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为尸=黑=1

故选：A.

6.某校团委对“学生喜欢体育和性别是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男

生喜欢体育的人数占男生人数的4女生喜欢体育的人数占女生人数的三3，若有95%以上的把握认

为是否喜欢体育和性别有关，则调查人数中男生人数可能是（）

a0.0500.010

Xa3.8416.635

n^ad-bc\

【附：Z2其中n=a-\-b+c-\-d]

(a+/2)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

A.35B.39C.40D.50

【答案】D

or

【分析】设男生女生人数均为1,根据卡方公式得/，根据表格得到不等式，解出即可.

【详解】设男生女生人数均为孙则在2x2列联表中〃=］4尤”=13=2

<83Y

2ox—x"2----x2

2=（2525丿=21

25

若有95%以上的把握认为学生是否喜欢体育和性别有关，

2r

可知一>3.841,解得_r>40.3305,

21

又x是5的整数倍，可得男生人数可取50,

故选：D.

7.现有5名大学生准备到甲、乙、丙3所学校实习，每所学校至少有1名，每名大学生只能去一所

学校，若到甲、乙两所学校实习的人数不相同，则不同的实习方案种数为（）

A.243B.200C.100D.50

【答案】C

【分析】依题意实习方案有两大类：①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和

②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2人、乙1人，丙2人），分别求出各类的方案数，最后根据分类

加法计数原理计算可得.

【详解】依题意实习方案有两大类：

①甲3人、乙1人、丙1人（或甲1人、乙3人、丙1人）和②甲1人、乙2人，丙2人（或甲2

人、乙1人，丙2人），

若为①甲3人、乙1人、丙1人或甲1人、乙3人、丙1人，则有C；C；x2=40种；

若为②甲1人、乙2人，丙2人或甲2人、乙1人，丙2人，则有C；C：x2=60种；

综上可得一共有40+60=100种.

故选：C

8.若x+lnaNln(x+2)对于任意的x>-2恒成立，则正数”的最小值为()

A.e-2B.1C.VeD.e

【答案】D

【分析】利用分离参数法得ln"Wln(x+2)-x,设g(x)=ln(x+2)-x,x>-2,利用导数求出其最大

值，则得到不等式解出即可.

【详解】x+ln"21n(x+2)恒成立，即lna21n(x+2)-x.

1x+1

^g(x)=ln(x+2)-x(x>-2),g'(x)=--------1=---------,

x+2x+2

令夕(x)>0,解得_2a<_l,令F(x)<0,解得x>-l,

则g(x)在区间(-2,-1)上单调递增，在区间(-1,内)上单调递减，

所以g(x)在(-2,+8)上的最大值是g(-l)=1,

故lna21n(x+2)-x只需InaNl,解得aNe,即。的最小值为e,

故选：D.

二、多选题

9.下列说法正确的有()

A.若一组样本数据@,»)(，•=1,2,3,…，”)线性相关，则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过

样本中心点门丿)

B.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到力2=5.028,依据c=0.05的独立性检验

^.05=3.841,则推断X与y无关不成立，即认为X与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

C.若随机变量j和〃满足〃=2介1,则E(")=2E⑷+1,。(〃)=4。(a+1

D.若随机变量X~N(100,/)，且P(X<120)=0.84,则P(100<X<120)=0.34

【答案】ABD

【分析】根据回归方程的性质判断A,根据独立性检验的思想判断B,根据期望与方差的性质判断C,

根据正态分布的性质判断D.

【详解】对于A：若一组样本数据（％,y）（i=l,2,3,…线性相关，

则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本中心点门5）,故A正确；

对于B：因为/=5.028>3.841=%。5,所以有95%的把握可判断分类变量X与V有关联，

此推断犯错误的概率不大于0.05,故B正确；

对于C：若随机变量。和"满足〃=2戸1,则£何）=2£（机+1,。⑺=4。⑷,故C错误;

对于D：若随机变量X~N（100Q2）,且尸（X<120）=0.84,

则P（100<X<120）=P（X<120）—P（X<100）=0.84-0.5=0.34,故D正确;

故选：ABD

12

10.己知。>0,且一+丁=1,则下列结论正确的有（）

ab

A.a+h<2yf2B.a+b>3+2yf2

C.ab<2>/2D.ab>S

【答案】BD

【分析】利用乘力“法即可求出a+b的最小值，利用基本不等式构造一元二次不等式不等式即可求出

而最小值.

【详解】由丄+：=1,得24+匕=出7,。>0,人>0,

ab

a+Z>=（a+^）f-+-l=l+2+-+—>3+2./--—=3+272,

[ab）ab\ab

当且仅当6=&a，即。=&+1力=2+&时取等号，故B正确，A错误;

ab=2a+b>2yj2a-b,所以疝2:2夜，即姉28,

当且仅当匕=为，即a=21=4时取等号,故C错误，D正确;

故选：BD.

15144

11.已知a=e4—^b=^--c=ln-是自然对数的底数），则下列结论正确的有（）

435f

A.ac<0,hc>0B.ac<0,he<0

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】BD

【分析】构造函数/（x）=e*-x-l,利用其单调性和最值一一判断即可.

【详解】首先证明切线不等式e'Nx+1,

设f(x)=e*-x-l,则r(x)=e'-l,令/'(x)=0,解得x=0,

又因为f(x)为单调递增函数，所以f(x)有唯一零点x=0,

且当XG(F,O),/'(x)<(),此时/")单调递减，当xe(O,s),尸(幻>(),此时/(x)单调递增，

故/(X)1nin=/(°)=°，贝ljf(x)=e'—x-lNO,即e*Wx+l,

则4=/_；=/(；)>/(0)=0,^=/^>/(0)=0,而c=ln1<lnl=O,所以B正确，A错误;

又因为当x>0时，f(x)单调递增，a=f(J,b=f(g)则a<b,

因此cya<6,故D正确，C错误.

故选：BD.

12.如图，某高速服务区停车场中有A至”共8个停车位(每个车位只能停一辆车)，现有2辆黑

色车和2辆白色车要在该停车场停车，则()

A.4辆车的停车方法共有1680种

B.4辆车恰好停在同一行的概率是白

C.2辆黑色车恰好相邻(停在同一行或同一列)的停车方法共有300种

D.相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是g

【答案】ABD

【分析】利用排列公式结合古典概型公式逐项分析即可.

【详解】对A,4辆车的停车方法共有A：=1680(种)，A正确；

2A41

对B,4辆车恰好停在同一行的概率是。=舉=去，B正确；

对C,2辆黑色车相邻且停在同一行有6种，停在同一列有4种，黑色车的停车方法共有(6+4)A；种,

白色车的停车方法共有A；种，故共有(6+4用；A：=600(种)方法，故C错误；

对D,相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车8个车位都可停车,

第二辆黑色车只能有3个车位可停车，黑色车共有8x3种方法，

不妨设黑色车停在A,F两个车位，则两白色车只能停BE,BG,BH,CE,CH,DE,OG共7种选择，

白色车的停车方法共有2x7种方法，故共有8x3x7x2种方法，

八8x3x7x21

其概率是尸=―屋一=§,D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题D选项首先分析出黑色车有24种方法，然后通过假设黑色车停在A,尸两

个车位，则两白色车有车中选择，则白色停车方法有14种，最后利用分步乘法和古典概型公式即可

得到答案.

三、填空题

13.在（l+x）6的展开式中，系数最大的项的系数为（用数字作答）.

【答案】20

C2C/

【分析】设第Z+1项的系数最大，则＜即可求出展开式中系数最大的项.

（详解】V（1+X）6的展开式的通项为几尸c＞尸,f=CK,

设第左+1项的系数最大，贝[C*＞c*+l

加7

根据公式C：=r!（；7）!，解得34%4万,，又keZ,

：.k=3,

.••展开式中系数最大的项为方=《/=201,

即展开式中系数最大的项的系数为20,

方法二：比较C：=”,「=0,1,2,3,4,5,6）的大小,选择最大值即可；

故答案为：20；

14.已知随机变量X服从二项分布且X的期望E（X）=4,方差仇X）=2,则〃=.

【答案】8

【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，解得即可.

【详解】依题意X8（〃,p）,所以E（X）=〃〃=4,£＞（X）=〃p（l—p）=2,

解得P=；，"=8.

故答案为：8

15.已知离散型随机事件A,8发生的概率P(A)=0.3,P(8)=0.4,若P(A⑻=0.5,事件储石,

4+8分别表示A,B不发生和至少有一个发生，则P(同A+8)=,

P(A+B\A+B)=.

43

【答案】0.8/-0.6/1

【分析】空1,空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可.

【详解】由题意得尸(川砂=?黑=£等=。5，

rytj)U.4

P(AB)=0.2,P(AB)=0.2,P(AB)=0.1,尸(A+3)=尸(A)+P(B)-P(AB)=0.5,

P(B\A+B)==—=0.8,

P(A+B)0.5

P(A+B\-8)=二耳)+尸(函=里迫"0

P(A+B)0.5

16.已知函数"x)=x-a-2xlnM"l)有唯一的零点，则实数。的值可以是.【写出一个

符合要求的值即可】

【答案】-1(答案不唯一，只需满足2/3即可)

【分析】由〃x)=0可得a=x—2xlnx,令g(x)=x-2xlnx=x(l-21nx),利用导数分析函数g(x)

的单调性与极值，分析可知，直线y=a(awl)与函数g(x)的图象有且只有一个公共点，数形结合可

得出实数。的取值范围，即可得解.

【详解】由/(x)=X-a-2xlnx=。可得a=x—2xlnx,其中x>0且awl,

g(x)=x-2xlnx=x(l-21nx),其中太>0,则g,(x)=l-21nx-2=-21nx-l,

令g'(x)=0可得X=e4，列表如下：

11，+8)

Xe-2

g'(x)+0—

g(x)增极大值減

1」

所以，函数g（x）的极大值为e2-2e2•2e2

当0<x<e；时，g(x)=x(l-21nx)>0；当工>1时，g(x)=x(l-21nx)v0,

由题意可知，直线y=a（，，Hl）与函数g（x）的图象有且只有一个公共点，如下图所示:

所以，实数a的取值范围是（7,0]

故答案为：-1（答案不唯一，只需满足2e「5即可）.

四、解答题

17.已知（2+x）'°=4+4犬+。2了2_1-----Faiox'°,其中xeR.

⑴求（2+x）'°展开式中旬和心的值（用数字表示）；

（2）求q—2旳+3%—4qH-----10«|0的值.

【答案】⑴旬=1024,4=180

⑵10

【分析】（1）求出（2+x）”’的二项展开式，即可求得%、6的值；

（2）令/（力=（2+*）|°=%+平+谒+…+烦°，利用赋值法可得出

4—%；+34—4a4H------100,0=，即可得解.

【详解】（1）解：（2+w"的展开式通项为加=（232皿.8仏=0,1,2,,10）,

|0

所以，«0=2=1024,%=C：o"=45x4=180.

(2)解：令/(x)=(2+x)'°=4+qx+出X?+…+a]01：”),

2

则/"(X)=10(2+X)9=4+2a2x+3a,x+4a/’++1。须/,

,9

因此，a,-2«2+3tz3-4a4+--—10a10=/(-l)=10x(2-l)=10.

18.某健身俱乐部举办“燃脂运动，健康体魄”活动，参训的学员700人中超过90%属于超重人员,

经过艰苦的训练，近五个月学员体重指标变化如下表:

月份X12345

超重人数y600500420340240

（1）已知变量V与变量x具有线性相关关系,建立以x为解释变量，），为响应变量的一元经验回归方程;

（2）俱乐部王教练每天从骑车和游泳中随机选择一种对学员进行减脂训练.选择方法如下：第一天选择

骑车，随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”来确定训练方式，若正面朝上的枚数小于3,则

该天训练方式与前一天相同，否则选择另一种方式.求前三天骑车训练的天数X的分布列和数学期望.

n

zx-.yt-nxy

附：回归直线¥=舐+》中斜率和截距的最小二乘估计分别为：当_2，-凯.

工号-nx

/=!

5

参考数据：»＞比・=5420.

/=1

【答案】（1）R-88X+684

（2）分布列见解析，期望为2黑89.

12o

【分析】（1）利用线性回归方程公式计算即可；

⑵首先利用二项分布公式得雖＜3）=匚，P（箕3）='再得出X的所有可能取值为1,2,3,计

1616

算对应概率得到分布列，再利用期望公式即可.

【详解】（1）由图表可知二切=%，母飽=陋=420,次物=5420,

5555力’

^X；=12+22+32+42+52=55,

5

人工七丫一5百

5420-63000。

由6=---------------=-oo,

555-5x9

1=1

则》=)一》嚏=420-(-88)*3=684,

所以经验回归方程为$=-88X+684.

(2)一次性抛郑4枚质地均匀的硬币正面朝上的枚数记为短则&~,

P记<为=+U+C嗚J啥P(能3)=©+C嗚j$

X的所有可能取值为1,2,3,

p(X=l)=lx—x—=—,

1616256

P(X=2)=\x—x—+lx—x—=—f

1616161616

P…(X=今3)、=1।x—11x—H=-1--2-1-,

1616256

所求分布列为

X123

555121

P

25616256

…、155c5c121289

E(X)=1x------F2x----F3x-----=------

25616256128

19.如图，已知三棱锥P—A3C的三条侧棱R4,PB,PC两两垂直，且P4=。，PB=b,PC=c,

三棱锥P-ABC的外接球半径R=2.

(1)求三棱锥P-ABC的侧面积S的最大值;

(2)若在底面ABC上，有一个小球由顶点A处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶

点B的概率为滚向顶点C的概率为g；当球在顶点B处时，滚向顶点A的概率为：，滚向顶点C

121

的概率为：；当球在顶点C处时，滚向顶点A的概率为彳，滚向顶点B的概率为不若小球滚动3次,

记球滚到顶点B处的次数为X,求数学期望E(X)的值.

【答案】（1）8

⑵小）哈

【分析】（1）依题意可得"+加+°2=16,利用基本不等式求出"+M+加•的最大值，即可得解;

（2）依题意X的可能取值为0、1、2,求出所对应的概率，即可求出数学期望.

【详解】（1）因为三条侧棱R4,PB,PC两两垂直，且B4=a,PB=h,PC=c，且三棱锥P—48c

的外接球半径R=2,

则以。、b、c为长、宽、高的长方体的体对角线为外接球的直径，即巒+尸+/=4收=16,

所以a?+/>2+c2=丄（2巒+2b2+2c2）>+2ac+2bc^=ab+ac+hc,当且仅当a=b=c时取等号,

所以三棱锥的侧面积S=g（"+ac+%c）48,当且仅当a=b=c■时取等号，

即三棱锥尸-ABC的侧面积S的最大值为8.

（2）依题意X的可能取值为0、1、2,

八'1211"V1211112

'72326172322339

1?11

P（X=l）=l-P（X=0）-P（X=2）=l----=-）

1II?19

所以E（X）=0x丄+lx—+2x*=』.

'丿618918

20.某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名

女生平均成绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6.

（1）高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布若用这40名参赛的同学的样本

平均数提和标准差s（四舍五入取整数）分别作为〃，a,估计高一年级颠球成绩不超过60个的人

数（四舍五入取整数）；

（2）颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获2胜的概率为:，

在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率.

附：若X~N（〃Q2）,pllJP（|X-/7|<cr）=0.6827,尸（|X-“42cr）=0.9545,P（|X-/Z|<3<T）=0.9973.

【答案】⑴23

【分析】（1）根据平均数、方差公式求出〃、再根据正态分布的性质求出P（X460）,即可估

计人数;

(2)设事件A表示“甲获胜”，事件B表示“甲前2局获胜”，求出P(A)、尸(AB),再利用条件概率

的概率公式计算可得.

【详解】(1)依题意I」0x24：80x16-74,即〃=74,

40

2冬e-x女)—+&-24覆

*-24-24-'

所以++舄=24(16+70),

同理$2=冬(，一沟)=4+$+…+£「16媪=62,

男一16-16

所以y：+£++城=16(36+80)

所以52=x；+石+++y；+y；++x；-40x

,40

24X(16+702)+16X(36+802)-40X742

40

所以s=>/48a7,即cr=7,

因为X~7V(74,72),且网X-〃归2CT)=0.9545,

i_n9545

所以「(X460)=；=0.02275,

所以0.02275x1000=22.75«23,即估计颠球成绩不超过60个的人数为23.

(2)设事件A表示“甲获胜”，事件8表示“甲前2局获胜”，甲获胜有3:0,3:1,3:2三类,

对应的概率分别为(|J,C；xlx^|J,C：x]Jx(|j,

所以P(A)=(|J+C招情3+叫『©埸

3

P(AB)=

所以「(/0A、)P=(A"B\=五13，

13

所以在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率为五.

21.定义min{a,)}表示a,中的较小者，已知函数〃x)=min{sinx,cosx}[xe呜]}/(》)的图

象与x轴围成的图形的内接矩形PQRS中(如图所示)，顶点尸(点尸位于点。左侧)的横坐标为x,

记g(x)为矩形PQRS的面积，

⑴求函数/(x)的单调区间，并写出g(x)的解析式；

⑵(i)证明：不等式x<tanx(0<x<g)；

(ii)证明：g(x)存在极大值点与,且毛<弓.

O

【答案】(1)/(X)的单调递增区间为(),：，单调递减区间为，，,g(x)=[-2x卜nx,xe(o?

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)根据正、余弦函数图象的性质得到了(x)的解析式，从而求出/(x)的单调区间，设

P(x,sinx),则。6-x,sinx),即可表示出g(x)的解析式;

(2)(i)令皿x)=tanx-x,利用导数说明函数的单调性，即可得证；

(ii)利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值点，贝hanxo=：TT-x。，在结合(i)的结论,

即可得证.

TT

【详解】(1)由正弦函数、余弦函数的图象可知当。":时cosx/nx,

当一一时sinx>cosx,

42

sinx,0<x<—

所以〃力=,4，显然/(X)的单调递增区间为0，：,单调递减区间为

兀兀

cosx,—<x<—

42

点尸、。关于对称,设P(x,sinx),Q《-x,sinx

则矩形PQRS的面积g(x)=(|-2x}inx,xefo,^.

(2)(i)令m(x)=tanx-x,九

则加(x)=-\1>0,

cos'x

故皿x)在(0马上单调递增，

故m(x)>〃?(0)=0,

tan.ox,即当时xctanx.

(ii)因为g(x)=C_21sinx,

则，(力=-2$山工+('|'-2'卜°$*，=^?'(x)=-2sinx+^-2x^cosx,

则〃(力=-48$》-(|-2丫4山工<0,即g'(x)在(0,：)上单调递减，

又g'(0)=、，=所以g'(x)在(。，£|上存在唯一零点看,

当0cx</时g[x)>0,g(x)单调递增，当Xo<x<：时g[x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)存在极大值点4,则2sinx()=6-2占卜0$/，即tan々L；-%,

由(i)的结论x<tan{0<x<：],则(一/>与，解得不<1.

22.已知函数f(x)=xlnx.

⑴求函数“X)的单调区间和极值；

⑵若方程/(x)=2x-l的两个解为4、x2,求证：%,+x,>2e.

【答案】(1)减区间为(0，!),增区间为g,+8),极小值为=无极大值;

⑵证明见解析

【分析】(1)求出函数/(X)的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可得出结果；

(2)设〃(x)=/(x)-2x+l,利用导数分析函数九(力的单调性与极值，分析可知0<占<6<々，要

证石+內>2e,即证〃a)>〃(2erj,构造函数p(x)=〃(x)-/z(2e-x),其中0<x<e,利用导数

分析函数P(x)在(0,e)上的单调性，证明出「(月