福建省漳州第一中学2023-2024学年高一年级上册期中考试数学试题

福建省漳州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜卜1<》<1},5={0,1,2),则他A)c3=()

A.(0,1,2)B.(1,2}C.{0,1}D.{2}

2.命题“Vx>2023,x>2024”的否定是()

A.3x>2023,x<2024B.Hr<2023,x<2024

C.Vx>2023,x<2024D.Vx<2023,x42024

4.已知x,yeR,贝厂孙=0"是"x=0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设。>0,则而.正五二<)

1_121

2

A.a''B.a'C・a2D・。30

6.己知max{a,b}表示。，b中的最大数，则max{(x+2)\x+2}的最小值为()

A.-2B.-1C.0D.2

7.设〃_07福，b=f--—],c=。+,则()

(2023)4。

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

8.若函数〃x)=0；L::;，则关于$的不等式/俨—i)>/(s+i)的解集为()

A.(―oo,—1)U(2,+oo)B.(—00,—]kJ[+8)

C.(-co,-1)^5/2,+oojD.卜8,-0].(2,+8)

二、多选题

9.关于幕函数/(用=<2,下列结论正确的是()

A./(x)的定义域为(-<»,0)(0,+oo)B./(X)的值域为R

C.“X)在区间(0,+8)上单调递减D.Ax)的图象关于点(0,0)对称

10.下列函数中，与函数y=x+，有相同奇偶性的函数有()

A./(x)=%•|x|B.^(x)=2024x2+2023

C.h(x)=x3-xD.p(x)=4*+4-*

11.已知关于x的不等式“(x-l)(x-2)+l>0(aw0)的解集是(不々)(玉<々)，则()

A.a<0B.X)+x,=3C.>1D.

12.南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国

乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”,

简称‘‘祖率".已知圆周率兀=3.14159265358979323846264338327950288…，定义函数

[3,〃=0

fW=\।物上广"八s物"廿，下列有关函数八")的结论中，正确的是()

[兀小数点后第”位的数字，neN

A.方程.f5)=0的最小解为32

B.VneN,都有f(/</("+l)

12

C.当〃〃)工。时，/(〃)+力的最小值为7

D.若&eN,,函数/("(/(”»)为常数函数，则％的最小值为8

三、填空题

13.若/(x)的定义域为[1,3],则/(2x-l)的定义域为.

14.若/(X)是奇函数，且当x>0时，/(X)=1-A/X,则当x<0时，/(x)=

15.设集合A={T,0},集合8={xwN|0Mx<。},若8中恰有2个元素，且定义

试卷第2页，共4页

A*B={(x,y)|xeAc氏yeAu8},则A*B的子集个数是.

16.已知函数/⑴=匚'，若对任意满足。+6=2的正数。，b,都存在xe((),l),使

X

得/(x)=1+:成立，则实数m的取值范围为________.

ab

四、解答题

17.已知集合A={x,-5x+44o},B=^x\2-m<x<2+m^.

(1)若AuB=A,求实数机的取值范围；

(2)设p：xsA,q.x^B,若。是夕的充分不必要条件，求实数，"的取值范围.

18.已知函数/。)=2"+。・2一.

⑴若/(x)是奇函数，求实数”的值；

(2)若a=l,试用函数单调性定义证明：函数，(x)在(0,+8)上单调递增.

19.已知函数〃x)=x2+4av.

⑴若〃x)在区间[1,3]上具有单调性，求实数”的取值范围；

⑵求〃x)在区间[a,a+1]上的最小值g(a).

20.购买某种机器时可同时购买维修服务，购买x次维修服务的总费用为f*)元，

X6N,.购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元,

当xW10时，.f(x)的图象上所有点都在同一条直线上；当x>10时;Ax)的图象上所有

点都在函数y=W-l+100x的图象上.

X

⑴求了(X)的解析式；

(2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？

21.已知定义在R上的增函数/(x)满足："2)=2且对于V,”，neR,都有

/(加+")=/(祖)+/(〃)+2成立.

r(1、圳-1

(1)求了⑴的值，并解方程/=0；

⑵若对任意xe[],4],不等式〃Z+x)+f(xT”4恒成立，求实数k的取值范围.

22.已知函数/(*)=/+(。+1比+2。-1.P,函数y="(a)r在R上单调递增;。：关

(2()23r_]\

于X的方程f(x)=o,当x<-l时有解；厂VxeR,/<0.若P,«,「中至

少有一个为假命题，求实数。的取值范围.

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参考答案:

1.B

【分析】先根据条件求出4A,再求&A)B即可.

【详解】A=1x|-1<x<1|,

.•.0A={Hx4—1或xNl},又3={0,1,2},

.•他A}B={\,2}.

故选：B.

2.A

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题“Vx>2023,x>2024”为全称量词命题，

其否定为：虫>2023,x42024.

故选：A

3.B

【分析】首先判断函数的奇偶性，再由/(0)及当x>0时函数值的特征判断即可.

【详解】函数/(x)=31'1的定义域为R且/(-X)=3小=3W=/(x),

故/(x)=W为偶函数，函数图象关于y轴对称，

因为/(0)=3°=1,故排除C、D；

当x>0时〃司=3'>1,故排除A.

故选：B

4.B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由冲=0可得x=0或y=o,

所以由孙=0推不出x=0,即充分性不成立，

由x=0推得出孙=0,即必要性成立，

所以“个=0”是“x=0”的必要不充分条件.

故选：B

5.C

答案第1页，共11页

【分析】利用指数运算公式直接计算.

£!

【详解】yja2-y/a-y/a=a1-a，”?],=a2■a1=a1-~—a-~=,

I7JI7I)\)

故选：C.

6.C

【分析】令〃x)=max{(x+2)2,x+2},根据所给定义求出/(x)的解析式，画出函数图象,

数形结合即可得解.

【详解】令/(x)=max{(x+2)2,x+2},[i|(x+2)2>x+2,解得xN—1或x4—2,

由(X+2)2<X+2,解得一2令<一1,

(x+2)-,JC>-1

所以〃力=x+2,—2<x<—1,

(X+2)2,JC<-2

所以max{(x+2)\尤+2}的最小值为0.

故选：C

答案第2页，共11页

7.A

【分析】由lna=*ln0.7,lnb=0.71n』，构造y=胆研究单调性比较大小即可，结

20232023x

合指数函数、基本不等式确定。”,c大小.

【详解】由lna=—Lln0.7,lnb=0.71n」一，要比较a,b大小，只需比较lna』nb大小，

20232023

ln1

i/t-f।4.^.In0.72023r人Inx-,1-lnx

故只需比较FT，彳u”大小,令丁=一且Ovxvl,故丁'=——>0,

0.7]xx

2023

1n1

所以尸(在(。,1)上递增，而今盛，即。>甯>干

2023

1

所以lna=In0.7>In/?=0.7Intka>b,

20232023

则…+方2^”等号不能成立)'

又a=0.7幅e(O,l)

所以。>1>4>江

故选：A

8.D

【分析】由/⑴的性质，讨论析TNl>s+l、s2T>s+izi分别求解集即可.

【详解】由题设1幻在(-8,1)上为常数,在口,+00)上为增函数,

52_]>]

当s+E,即…亚时，*l"s+D恒成立;

?-1>1万

(>X-2)>0'则—时，/『)>的+1)成立;

当,5+121,即

52-1>5+1

综上，解集为卜(2,+8).

故选：D

9.AC

【分析】AB选项，根据函数特征得到定义域和值域；C选项，-2<0,得到/(A在区间(0,+8)

上单调递减：D选项，根据函数奇偶性定义得到函数为偶函数，故D错误.

【详解】A选项，/(乃二工—二上的定义域为(-0,0)(0,+8),A正确；

X

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B选项，由于〃x)=5>0,故值域为(0,+e),B错误；

C选项，由于一2<0,故/(X)在区间(0,”)上单调递减，C正确；

D选项，因为/。)=/=与的定义域为(—,0).(。,收)，

X

且“一力"言?=7=/("，故/(X)为偶函数，故不关于原点对称，D错误•

故选：AC

10.BD

【分析】利用奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】由f(x)=X+：得/(-X)=T+白=x+J=/(x)

即函数y=X+J是定义在(e,o)u(o,+8)上的偶函数，

对于A：/(-X)=-X-1-x|=-X-1x1=-/(x),奇函数，

对于B：g(-x)=2O24(-X)2+2023=2024x2+2023=g(x),偶函数，

对于C：〃(一x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-〃(x),奇函数；

对于D：p(-x)=4T+4'=p(x),偶函数.

故选：BD.

11.ABC

【分析】依题意“<0,且演、巧是关于x的方程如2-3*+2〃+1=0的两根，即可判断A、

B,利用韦达定理判断C,再结合函数与x轴的交点情况判断D.

【详解】因为关于X的不等式“(x-l)(x-2)+l>0("0)的解集是a.wXxaw),

所以”<0,且*］、巧是关于工的方程“(x-l)(x-2)+l=0即/_3ox+2a+l=0的两根，

所以为+々=3,故A、B正确,

r2a+l〜1

又占"==2+丁

所以々一%-1—>1f故C正确;

又y="x-l)(x—2)(。<。)与1轴有两个交点(1,。),(2,0),

答案第4页，共11页

而产a(x-l)(x-2)+l是将函数y=a(x-l)(x-2)向上平移一个单位得到，

所以y=a(x—D(x—2)+l与x轴的交点横坐标王<1,%>2,

所以x<1<2<々，故D错误；

故选：ABC

12.ACD

【分析】根据兀的数据判断A,利用特殊值判断B,分析〃")的取值，再结合对勾函数的

性质判断C,分析出(/("))))=1,再一一列举即可判断D.

k个f

【详解】因为兀=3.14159265358979323846264338327950288…且

_J3,n=0

i兀小数点后第〃位的数字，〃eN*'

所以函数/(〃)的值域为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

对于A：由兀=3.14159265358979323846264338327950288…，

可知方程/(〃)=0的最小解为32,故A正确：

对于B：当〃=0时“0)=3,"1)=1,所以故B错误；

对于C：因为/(〃)二0,所以/(〃)e{l,2,3,4,5,6,7,8,9},

又丫=》+/在(0,26)上单调递减，在(26,”)上单调递增，

1?

所以当/(〃)=3或〃〃)=4时/(〃)+7行取得最小值7,故C正确；

对于D：因为/(0)=3,/(1)=1,"2)=4,/(3)=1,44)=5,"5)=9,"6)=2,

"7)=6,"8)=5,"9)=3,

要使函数/("(/(〃))))为常数函数，则/(/(y(〃))))=1,

k个fk个f

对于任意的〃(neN*),则〃〃)e{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

又"/'(0))=1,〃i)=i,也(“/V⑵))))=i,

/(3)=1,./-(/(/(/(4))))=1,/(/(/(5)))=1,

答案第5页，共11页

所以k的最小值为8,故D正确；

故选：ACD

13.[1,2]

【分析】令l«2x-1V3求出x的取值范围，即可得解.

【详解】因为/(x)的定义域为[1,3],令1W2X-1W3,解得14x42,

所以/(2x-l)的定义域为[1,2].

故答案为：[L2]

14.-1+V-x

【分析】由-x>0,根据〃尤)=-〃-x)可求得结果.

【详解】当x<0时，一x>0,=l—,

又f(x)为奇函数，，/(x)=-/(-x)=T+，W，

，当x<0时，/(X)=-1+A/-X.

故答案为：—1+yf—X-

15.8

【分析】首先求出集合8,即可求出AcB,AuB,再根据所给定义求出A*8,即可求出

A*8的子集个数.

【详解】因为集合8={1€用04》<0且B中恰有2个元素，

则1<°42,所以B={O,1},

又4={-1,0},所以AcB={0},AUB={-1,0,1),

又A*B={(x,y)"cB,yeAu8},

所以A*8={(0,—1),(0,0),(04)},

所以4*8的子集有23=8个.

故答案为：8

16.0<m<l

【分析】由基本不等式得出等号右边的范围，再分类讨论机的值，再利用二次函数并结合已

答案第6页，共11页

知条件分析求解.

a>0,b>0,a-^-b=2

11a+b2「1

a+b

"I-

当且仅当。=人=1时取等号，

设“x)=W^,xe(O,l)的值域为A,则[2,”)=A,

当%=0时，〃x)=xe(O,l),不符合题意；

iri

当小<0时.，X+-<X<1,不符合题意；

X

当机>0时，存在xe(0,l),使得〃x)=上詈42,则加42》一寸，

又因为xe(0,1),2x-x2<1.所以加<1,

综上所述：0<〃2<1.

故答案为：

17.(l)w£l；

(2)m>2.

【分析】(1)解一元二次不等式求得4={X|1MXV4},由题设有讨论8=0、BW0

列不等式组求参数范围；

(2)根据充分不必要条件知U,4][2-m,2+m],即可求参数范围.

【详解】⑴由4={%卜—l)(x-4)40}={x|l4x44},又A=B=A,即BqA,

当8=0,则2-机>2+初=>7%<0,满足；

m>0

当5w0,则2—加21,可得04mK1；

2+加64

综上，实数〃?的取值范围相£1.

(2)由2是0的充分不必要条件,故[1,4][2-九2+汨,

所以。一L(等号不同时成立)且加之2.

[2+机N4

18.⑴。=一1；

(2)证明见解析.

答案第7页，共II页

【分析】（1）由奇函数的性质有2*+.2、=-2'-〃2、，即可求参数值:

（2）由题设〃x）=2'+2T,令占＞々＞0应用作差法比较/区）,/（々）的大小，即可证.

【详解】（1）由题设/（-幻=2-，+/2-1）=2-，+/2，=一/（幻，定义域为R,

所以2一'+夕2'=-2，-小2一"=（。+1）-2、=-（4+1＞2一'恒成立,

所以4=_1.

(2)由题设/(>¥)=2"+2->令演>%>0,

_2V,1

所以/(%)-/(%)=2%+2^«-2X2-2^=(2V--2X2)+—^=(2A--2^)(1--r),

21'22,2

又2y2>o」—/>o,则/a)-/(w)>o,即/&)>/(%).

所以函数/（X）在（0,”）上单调递增，得证.

-4a2,--<a<0

3

⑵g(a)=45a2,aZ0

5矿+6a+1,a4—

【分析】（1）根据二次函数的单调性分类讨论即可；

（2）结合二次函数的单调性分类讨论取最小值的情况即可.

【详解】（1）易知〃司=犬+40¥开口向上，对称轴为x=—2%

所以若/（X）在区间［1,3］上单调递增，贝懦-

若f（x）在区间『3］上单调递减，则需-2oN3na4-1

综上”的取值范围为,8,-gU-；,+8）；

（2）当。＜一勿＜。+1,即-g,0）时，g（a）=/（—2Q）=-4C/,

当一即aNO时，g（a）=f（a）=5a2,

当一2aNa+l,即〃（一;时，g（a）=/（a+l）=5。2+6a+l,

答案第8页，共11页

.1

-4a2,——<tz<0n

3

综上g(〃)=<.

z-2/.1

5a~+6。+1,。V一,

100x4-50,1<x<10

20.(l)/(x)=]io(XGN*)

——l+100x,x>10

.x

(2)20次

【分析】(1)当14x410且xeN•时设/(x)=d+b,根据/⑴=150、/(2)=250代入求

出左、人的值，即可求出解析式；

(2)设平均每次的维修费用为g(x),则g(x)=/尸，分14x50和x>10两种情况讨论，

结合基函数与二次函数的性质计算可得.

/、伙+人=150仅=100

【详解】⑴当14x410且xeN*时设〃力=履+乩则，解得，「八，

[22+/?=250[8=50

所以〃x)=100x+50(l<x<10KxeN-),

当x>10时/(%)=y-l+100x,

100x+50,l<x<10

综上可得〃x)=10.、⑺(xeN*).

---l+100x,x>10

.x

(2)设平均每次的维修费用为g(x),

当”xV10且xeN*时g(x)=/iD=100+型，函数g(x)在[l[0](xeN)上单调递减，

XX

当x=10时g(xL=105；

当x>10时g(x)=^^=?-，+100=10(，一；)+99.975,

xxxVx20)

所以当IM即尸20时g(x)取得最小值，即8⑴799.975,

综上可得购买20次维修服务能使平均每次的维修费用最少.

21.(l)/(l)=0；x=±^

⑵[2,+co)

答案第9页，共11页

【分析】（1）利用赋值法及函数的单调性解方程即可;

（2）根据条件先推出/（%+X+XT）2/（4）,再由对勾函数的性