2023-2024学年河南省郑州实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州实验外国语学校九年级（上）开学数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程2/-2%+3=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

2.若关于x的一元二次方程/一8》+©=0配方后得到方程。一4）2=3前则c的值为（）

A.-4B.0C.4D.6

3.如图，在菱形ZBCD中，^ABC=50°,对角线4C,8D交于点0,E为CD的中点，连接OE,

则NAOE的度数是（）

A.110°B.112°C.115°D.120°

4.已知一元二次方程/-4乂-1=0的两根分别为m,n,则m+n-mn的值是（）

A.5B.3C.-3D.-4

5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点力，B,

C都在横线上.若线段4C=半，则线段的长是（）

A5

A-2B.2C1D.5

6.如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否

和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可

以判断了.在如下定理中:

①两组对边分别相等的四边形是平行四边形,

②对角线相等的平行四边形是矩形,

③矩形的四个角都是直角,

④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（）

A.①B.②C.③D.④

7.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每

天书面作业平均时长为lOOmtn,经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上

学期平均每天书面作业时长为7（hnin.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为％,

则可列方程为（）

A.70(1+x2)=100B.70(1+x)2=100

C.100(1-%)2=70D.100(1-%2)=70

8.如图，在菱形ABCD中，AB=2,4B=60。，E、F分别是边BC、CD中点，则AAEF周长

等于（）

A.B.C.4CD.

9.如图，在△4BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点P为斜边

48上一动点，过点P作PE14C于E,PF1BC于点F,连结EF,

则线段EF的最小值为（）

A.24B.3.6C.4.8D.5

10.如图，矩形4BCD中，P是CD的中点，点Q为4B上的动

点（不与4、B重合），过Q作QM1PA,垂足为M,QN_LPB,

垂足为N,BC=3,CD=8,MQ=x,QN=y,贝Uy与久之

间的函数关系式为（）

A.y=4.8—xB.y=-C.y=11—xD.y=»

JXJX

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若关于x的方程（m-3）xMTI+5x-3=0是一元二次方程，

12.如图，矩形4BCD中，AE1BDTE,乙DAE：ABAE=3：2,

则4EAC的度数等于.

13.三角形两边的长分别是2和4,第三边的长是方程％2―10尤+24=0的根，则该三角形的

周长为—.

14.已知：正方形4BCD的边长为8,点E、F分别在AD、CD上，AE=

DF=2,BE与4尸相交于点G,点，为BF的中点，连接GH,则GH的

长为.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形4BC。的边CO、。4分别在x

轴的负半轴、y轴的正半轴上，点。在边BC上，将该矩形沿40折叠，

点B恰好落在边OC上的E处，且ACDE为等腰直角三角形，若04=

4,则点。的坐标是.

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤）

16.（本小题12.0分）

解方程：

(l)3(x—l)2=12；

(2)x2+4x-2=0；

(3)2x(%+2)-1=0；

(4)3x(x-2)=x-2.

17.(本小题10.0分)

关于x的一元二次方程m/+(2m+3)x+m+1=0有两个不等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m取最小整数时，求x的值.

18.(本小题10.0分)

2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，

已知14月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份至怙月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；

(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨

1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该

品牌头盔的售价应定为多少元/个？

19.(本小题12.0分)

如图，在AABC中,4B=1BC垂足是D,AN是NB4C的外角44M的平分线,CE_LAN,

垂足是E,连接DE交4C于£

(1)求证：四边形40CE为矩形；

(2)求证：DF//AB,DF=^AB；

(3)当AABC满足时，四边形4DCE为正方形.

20.(本小题11.0分)

如图，在APAB中，C、。为边上的两个动点，PC=PD.

(1)若PC=CD,乙4PB=120°,则△4P。与4PBD相似吗？为什么？

(2)若PC_L4B(即C、。重合)，贝lj乙4PB=。时，△4PC-APBD；

(3)当NCPD和NAPB满足怎样的数量关系时，△APCfPBD?请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：2%2-2x+3=0>

•••A=b2-4ac=(一2产-4x2x3=4-24=-20<0,

原方程无实数根，

故选：C.

计算一元二次方程根的判别式即可求解.

本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0,a,b,c为常数)的根的判别式A=b2-4ac,理解

根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当/>0时，方程有两个不相等的实数根；当21=0

时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程没有实数根.

2.【答案】C

【解析】解：1.,X2—8x+c=0配方可得到(x—4)2—16+c=0,

(x-4)2—16+c=0变形可得(x—4)2=—c+16,

：,—c+16=3c,

•••c=4.

故选：C.

根据完全平方式的特征对/—8x+c=0配方可得到(x-4)2-16+c=0,通过变形可得c的值.

本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BC0是菱形，

11

•••AC1BD,Z.CDO=^ADC="ABC=25°,

乙DOC=90°,

•・•点E是CD的中点，

・・・OE=DE=^CD,

・・・乙DOE=Z.CDO=25°,

・・・Z.AOE=Z.AOD+乙DOE=90°+25°=115°,

故选：C,

由菱形的性质可得AC1BD,Z.CDO=*ADC=^ABC=25。，根据直角三角形的性质得到OE=

DE="CD,根据等腰三角形的性质得到NDOE=ACDO=25。，于是得到结论.

本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意得m+n=4,mn=-1,

所以m+n-mn=4—(-1)=5.

故选：A.

先根据根与系数的关系得到m+n=4,mn=-l,然后利用整体代入的方法求m+n-nm的值.

本题考查了根与系数的关系：若“g是一元二次方程。/+"+。=09力0)的两根时，/+

bc

X2=X1X2=

5.【答案】D

【解析】解：过点4作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在平行横线于E,

AB_AD

"AC=AE'

•••五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，

.••竺一，

AE3

AB2

"1,运=E，

2

解得48=5,

故选：D.

过点4作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于。，交点C所在平行横线于E,根据平行线分线

段成比例定理，列出比例式，计算即可得解.

此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的

关键.

6.【答案】B

【解析】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边

形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，

故选：B.

根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论.

本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是

解此题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：设根据题意得：100(1—x)2=70.

故选：C.

利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长x(1-该校这

两学期平均每天作业时长每期的下降率产，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，

也是本题的突破点.

连接力C,然后判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出ZE,^EAC=30°,同理可

得4尸，Z.CAF=30°,然后判定△力EF是等边三角形，再根据等边三角形的周长求解即可.

【解答】

解：如图，连接4C,

•:菱形ABCD,48=60。,

.•.△4BC是等边三角形，

•・•点E是BC的中点，

AE=NE4C=30°,

同理可得：AF=C，/-FAC=30°,

AAE=AFfLFAE=60°,

・•.△AE尸是等边三角形，

AE尸的周长=3xV-3=3A4-3.

故选艮

9.【答案】C

【解析】解：连接PC,

-PELAC,PF1BC,

/.乙PEC=乙PFC=zC=90°,

・•・四边形ECFP是矩形，

・•・EF=PC,

・・・当PC最小时，EF也最小，

即当CP_L48时，PC最小，

vAC=8»BC=6,

・•・AB=10,

•・•PC的最小值为：空普=4.8.

AB

线段EF长的最小值为4.8.

故选：C.

连接PC,当CPJ.AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可.

本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答.

10.【答案】A

【解析】解：如图，连接PQ，过点P作PH1AB于点H,

•••四边形力BCD是矩形,

AB=CD=8,AB//CD,40="=90°,

AD=BC=PH=3,

S“AB—gaB-PH=gx8x3=12,

vQM1PA,QN1PB,MQ=x,QN=y,

11

4p%+Bpy12

2-2--

•••点P是CD的中点，

DP=CP=4,

:.AP=BP=VAD2+DP2=732+42=5-

x5x+；x5y=12,

•••y=4.8—x.

故选：A.

连接PQ，过点P作PH,四于点H,容易求出APAB的面积为12,而SAP.=S“4Q+SAPBQ，利用

面积即可得出x和y的关系式.

本题考查了矩形的性质、勾股定理以及列函数关系式，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关

键.矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻

边垂直：④对角线：矩形的对角线相等.

11.【答案】一1

【解析】解：根据题意得，|7n-l|=2且m-3力0,

解得：m=-1.

故答案为：-1.

根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0,

(3)是整式方程，据此即可求解.

本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=0(a,b,c是常数

且aHO),特别要注意aw0的条件.

12.【答案】18°

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，

•••/-BAD=90°,OA=OD,

•••/.DAE：乙BAE=3：2,

/.DAE=54°,4BAE=36°,

OA=OD,

■■Z.DAO=Z.ADO,

/-AOB=2/.DA0,

-AELBD,/.BAD=90°,

乙BAE=ZJW。=36°,

Z.AOB=72°,

/.CAE=90°-72°=18°.

故答案为：18°.

根据矩形的性质可得NBA。=90。，OA=OD,然后根据比例求出NZME=54。，ABAE=36°,再

根据等边对等角可得NZM。=乙4。0,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和求出N40B=24。40,再根据直角三角形两锐角互余求出N4D0,然后根据三角形的一个外角

等于与它不相邻的两个内角的和求出44OB,最后根据直角三角形两锐角互余解答.

本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

13.【答案】10

【解析】解：X2-10x4-24=0,

(%—4)(%—6)=0,

=

所以勺=4,x26,

而2+4=6,

所以三角形第三边长为4,

所以此三角形的周长为2+4+4=10.

故答案为：10.

先利用因式分解法解方程得到%=4,右=6,再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为6,

然后计算此三角形的周长.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法、三角形三边的关系，解题的关键是掌握因式分解法就

是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

14.【答案】5

【解析】解一•四边形4BCD为正方形，

:.乙BAE=乙D=90°,AB-AD,

•・•AB=AD,Z.BAE=Z.D,AE=DF

••・△ABE三△ZMF(SAS),

••・/.ABE=Z-DAF,

•・•Z.ABE+乙BEA=90°,

・•・^LDAF+乙BEA=90°,

・•・Z.AGE=Z.BGF=90°,

•・•点H为B尸的中点，

:.GH=；BF,

vBC=8,CF=CD-DF=8-2=6

・•・BF=VBC2+CF2=10

・・・GH=5

故答案为：5

根据正方形的四条边都相等可得4B=4D,每一个角都是直角可得NBAE=nO=90。，然后利用

“边角边”证明△ABE=^DAF^AABE=^DAF,进一步得/AGE=乙BGF=90°,从而知GH=

\BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角

形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.

15.【答案】（-4V7,471-4）

【解析】解：由折叠可得，ZS=^AED=90°,

•••△CCE是等腰直角三角形，

•••上DEC=45°,

乙4EO=45°,

又：Z.AOE=90°,

:.Z-EAO=/-AEO9

・•・AO=EO=4,

AE=4「，

由折叠可得，4B=4E=4，7，

•••四边形ABC。为矩形，

CO=BA=

•••CE=CO-EO=4yT2-4，

:.CD=CE=4A/-2—4,

•・・点。在第二象限，

•••。点坐标为（―4乙,-4）,

故答案为（一44,4。-4）.

本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理的运用，以及轴对称中的坐标变化.

根据勾股定理以及折叠的性质，即可得到C。和CD的长，进而得到点。的坐标.

16.【答案】解：(1)3(%-11=12,

则1)2=4,

%—1=±2,

***Xi=3,%2=—];

(2)x2+4x—2=0,

则/+4x=2,

・•・/+4%+4=2+4,

•**(x+2)2=6,

・•・％+2=±V~6,

:.x1=6—2,x2=­6—2;

(3)2x(%+2)-1=0,

・•・2x2+4%-1=0,

2x2+4久-1=0,

a=2,b=4,c=—1,

则4=fe2-4ac=42-4x2x(-1)=24,

-2+<6-2-yT~6

•,X1=2，X2=2；

(4)3x(%—2)=%—2,

则3x(%—2)一(%—2)=0,

/.(x-2)(3%-1)=0,

A%—2=。或3%-1=0,

,,-2,%2-2*

【解析】(1)利用直接开平方法解出方程;

(2)利用配方法解出方程；

(3)利用公式法解出方程；

(4)利用因式分解法解出方程.

本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的

一般步骤是解题的关键.

17.【答案】解：(1)、•一元二次方程m/+(27n+3)x+m+l=0有两个不相等的实数根，

:.4=(2m+3)2—4m(m+1)=8m+9>0,

­,■m>一看且m羊0；

(2)zn满足条件的最小值为m=-1,

此时方程为一/—x=0,

解得Xi=0，x2——1.

【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式A=b2-4ac>0且m*0,建立

关于m的不等式，求出山的取值范围；

(2)得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可.

考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)4>0=方程有两个不

相等的实数根；(2)4=0=方程有两个相等的实数根；(3)/<0Q方程没有实数根.

18.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为X,

根据题意得：150(1+%)2=216,

解得：%!=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；

(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为⑶-30)元，月销售量为300-

10(y-40)=(700-10y)个，

根据题意得:(y-30)(700-10y)=3960,

整理得:y2-100y+2496=0,

解得：%=48,y2=52,

又•.•要尽可能让顾客得到实惠，

・•・y—48.

答：该品牌头盔的售价应定为48元/个.

【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为X,利用6月份的销售量=4月份的销售量x(1+

该品牌头盔销售量的月平均增长率V，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即

可得出结论；

(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y-30)元，月销售量为(700-

lOy）个，利用月销售利润=每个头盔的销售利润x月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之

可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】是等腰直角三角形

【解析】(1)证明：••・AB=AC,ADd.BC垂足是。，

.•.力。平分NBAC,NB=N5,

•••zl=z_2,

•••AE是AABC的外角平分线，

•••z3—z4.

VN1+42+43+44=180°,

42+43=90°,

即NZME=90°,

又1AD1BC,

/.ADC=90°,

又；CELAE,

•••^AEC=90°,

二四边形40CE是矩形.

(2)证明：•••四边形ADCE是矩形，

•.AF=CF=^AC,

"AB=AC,4D平分NB4C,

BD=CD=；BC,

DF是△ABC的中位线，

即DF//4B,DF=^AB.

(3)解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形40CE为正方形.

•••在RM4BC中，AD平分/BAC,

:.z5=z2=Z3=45°,

・•・AD=CD,

又•.•四边形aocE是矩形,

矩形ADCE为正方形.

故答案为：是等腰直角三角形.

(1)先根据AB=4C,AD1BC垂足是D,得4D平分NB4C,然后根据4E是△4BC的外角平分线，

可求出4N//BC,^DAE=/.ADC=^AEC=90°,所以四边形4DCE为矩形；

(2)根据四边形4DCE是矩形，可知产是