【讲与练】高中物理人教版(2019)必修1：第2章专题强化2初速度为零的匀变速直线运动的常用推论追及和相遇问题学案

专题强化2初速度为零的匀变速直线运动的常用推论追及和相遇问题课程标准1．掌握初速度为零的匀变速直线运动比例式的推导及应用。2．进一步加深学生逆向思维的灵活运用。3．会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件。探究初速度为零的匀变速直线运动的常用推论要点提炼1．等分运动时间(以T为时间单位)。(1)1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比v1∶v2∶v3＝1∶2∶3…(2)1T内、2T内、3T内…位移之比x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…2．等分位移(以x为单位)。(1)通过x、2x、3x…所用时间之比：t1∶t2∶t3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…(2)通过第一个x、第二个x，第三个x…所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))…(3)x末、2x末、3x末…的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)(1)以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动。(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化，同时注意初末时刻与实际问题对应。典例剖析典题1(2023·内蒙古赤峰高一期中)港珠澳大桥上的四段长度均为110m的等跨钢箱连续梁桥如图所示，汽车从a处开始做匀减速直线运动，恰好行驶到e处停下。汽车通过ab段所用的时间为t1，汽车通过de段所用的时间为t2，则eq\f(t2,t1)满足(C)A．1<eq\f(t2,t1)<2 B．2<eq\f(t2,t1)<3C．3<eq\f(t2,t1)<4 D．4<eq\f(t2,t1)<5解析：将汽车的运动过程反向来看，即从e到a进行匀加速运动，设加速度大小为a，每段梁跨长度为L，根据初速度为零的匀变速运动公式x＝eq\f(1,2)at2，可得t2＝eq\r(\f(2L,a))，同理可得t1＝tae－tbe＝eq\r(\f(2×4L,a))－eq\r(\f(2×3L,a))，所以有eq\f(t2,t1)＝eq\f(\r(\f(2L,a)),\r(\f(2×4L,a))－\r(\f(2×3L,a)))＝2＋eq\r(3)，即3<eq\f(t2,t1)<4，故选C。对点训练❶(多选)(2023·湖北高一期中)小球在光滑斜面上下滑，从a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。若从b点由静止开始下滑，则该小球(AC)A．通过bc、cd段的位移之比为3∶5B．通过bc、cd段的时间均小于TC．通过c、d点的速度之比为eq\r(6)∶4D．通过c点的速度等于通过bd段的平均速度解析：从a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。则根据初速度为零的匀变速运动相等时间的位移关系可知，通过ab、bc、cd段的位移之比为1∶3∶5，选项A正确；当从a点下滑时，到达b点已经有了速度，此时通过bc、cd段的时间均等于T；若从b点由静止开始下滑时，在b点的速度为零，则通过bc、cd段的时间均大于T，选项B错误；设bc＝3x，cd＝5x，则通过c点的速度vc＝eq\r(2a·3x)，通过d点的速度vd＝eq\r(2a·8x)，通过c、d点的速度之比为eq\r(6)∶4，选项C正确；通过bd段的平均速度eq\x\to(v)bd＝eq\f(vd,2)＝2eq\r(ax)≠vc，选项D错误。探究追及和相遇问题要点提炼两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。1．要抓住一个条件、两个关系(1)一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。2．常用方法(1)物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。(2)图像法：将两者的v－t图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇。若Δ<0，说明追不上或不能相碰。3．解题思路eq\x(\a\al(分析两物体,运动过程))→eq\x(\a\al(画运动,示意图))→eq\x(\a\al(找两物体,位移关系))→eq\x(\a\al(列位移,方程))(1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。典例剖析典题2一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试问：(1)汽车从路口开动后，在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)汽车什么时间追上自行车？此时汽车的速度是多少？思路引导：本题属于追及相遇问题，可用多种方法求解。物理分析法解题快，函数法解题步骤清晰，易于表达，而图像法不但能找到极值点，还能找到相遇点，能得出当两物体相距最远时的时间t、速度v，同时能得出当两物体相遇时用的时间和速度。同学们可尝试用不同的方法求解。解析：(1)解法一(函数法)：当运行时间为t时，两车相距的距离为Δx＝6t－eq\f(3,2)t2当t＝－eq\f(b,2a)＝2s时，有极值Δx＝eq\f(4ac－b2,4a)＝6m。(其中字母a、b、c是二次函数中的系数)解法二(方程法)：当运行时间为t时，两车相距的距离为Δx＝6t－eq\f(3,2)t2，则eq\f(3,2)t2－6t＋Δx＝0。当判别式Δ≥0时方程有实数解，即Δx≤6m，当且仅当等式成立时有极值。解法三(物理分析法)：当两车的速度相等时，两车间的距离最大，则at＝6m/s，t＝2s，Δx＝6t－eq\f(3,2)t2＝6m。解法四(图像法)：画出v－t图像，如图所示。图线与时间轴围成的面积就是位移。经分析得两车的速度相等时，两车间的距离最大，则6＝3t，Δx＝6t－eq\f(6t,2)解得t＝2s，Δx＝6m。(2)解法一(物理分析法)：汽车追上自行车时，两车位移相等v自t′＝eq\f(1,2)at′2，代入数值得t′＝4s，v汽＝a汽t′＝3×4m/s＝12m/s。解法二(图像法)：由前面的v－t图像可看出当t′＝2t＝4s时，两车位移相等，此时汽车的速度v汽＝2v＝12m/s。答案：(1)2s6m(2)4s12m/s对点训练❷(2023·山东临沂高一期末)A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10m/s，B车在后，速度vB＝30m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到(B)A．600m B．800mC．1000m D．1600m解析：由于B车以30m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800m才能停下，则a＝eq\f(v\o\al(2,0),2x0)＝eq\f(302,2×1800)m/s2＝0.25m/s2，设经历时间t0B车减速至与A车速度相等，则有vA＝vB－at0，为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到xmin＝eq\f(vA＋vB,2)t0－vAt0，解得xmin＝800m，故选B。一、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系1．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1s内与第2s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1m时与走完第2m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是(B)A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq\r(2)C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq\r(2)解析：由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x1∶x2＝1∶3，由x＝eq\f(1,2)at2知，走完1m与走完2m所用时间之比为t1∶t2＝1∶eq\r(2)，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶eq\r(2)，B正确。2．(2023·山东临沂高一校考期末)如图所示，相同的木块A、B、C固定在水平地面上，一子弹(视为质点)以水平速度v0击中并恰好穿过木块A、B、C，子弹在木块中受到的阻力恒定，子弹射穿木块A所用的时间为t，则子弹射穿木块C所用的时间约为(C)A．t B．2tC．3t D．4t解析：子弹在木块中受到的阻力恒定，则子弹做匀减速直线运动，由于恰好穿过木块A、B、C，表明穿过C时速度恰好为0，根据逆向思维，初速度为0的匀加速直线运动，在连续相邻相等位移内的时间之比为tC∶tB∶tA＝1∶(eq\r(2)－1)：(eq\r(3)－eq\r(2))，根据题意有tA＝t，解得tC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2)))t≈3t，故选C。二、追及和相遇问题3．(多选)(2023·湖南常德高一校联考阶段练习)A和B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示。已知在第3s末两个物体在途中相遇，则下列说法错误的是(ACD)A．两物体从同一地点出发B．出发时B在A前3m处C．3s末两个物体相遇后，两物体可能再相遇D．运动过程中B的加速度大于A的加速度解析：速度—时间图像与时间轴所围成的面积代表位移，那么前3秒A的位移为xA＝eq\f(3×5,2)m＝7.5m，B的位移xB＝eq\f(3×3,2)m＝4.5m，而AB在3s末相遇，xA≠xB，所以AB不是同一点出发，选项A错误，符合题意；出发时B在A前Δx＝xA－xB＝3m，选项B正确，不符合题意；3s前A比B的速度大，3s末追上B此后A的速度仍大于B的速度，所以二者不会再次相遇，选项C错误，符合题意；速度—时间图像的斜率代表加速度，A的斜率大于B，即A的加速度大于B的加速度，选项D错误，符合题意。故选ACD。4．(2023·陕西渭南高一阶段练习)足球运动员将一个静止的足球以20m/s的速度踢出，足球沿草地做直线运动，速度不断减小，设加速度大小恒为4m/s2，同时足球运动员以4m/s的恒定速度去追足球，下列说法错误的是(D)A．足球通过的位移大小为50mB．足球运动的时间为5sC．足球停下后运动员才追上足球D．运动员追上