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文档简介

二、几个初等函数的麦克劳林公式第二节一、泰勒公式三、泰勒公式的应用泰勒公式

第三章特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式一阶近似高阶近似1.求n次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,,存在 ①其中②则对使在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)

余项

.公式④

称为带有佩亚诺型余项的

n

阶泰勒公式.特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1

时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

.二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式若以n次多项式作为误差为若取x=1，则得到误差为的近似，则有其中其中其中其中常用的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用1.利用泰勒公式求极限型极限特别是例设所以证：存在，证明因为内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式作业

P13920,21例求极限(1)所以解：因为当

时(2)解：因为当原式时解:由于用泰勒公式将分子展到项,(3)(4)解：原式则令(5)解：原式3.利用泰勒公式证明不等式例证明证:+思考与练习

计算解:原式证:由题设对备用题

1.有且两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q

为正整数),则当

时,等式左边为整数;矛盾!2.

证明

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