第8章整式乘法与因式分解复习课课件沪科版数学七年级下册

第8章整式乘法与因式分解复习课一、学习目标1.掌握与幂相关的运算，整式的乘法运算；2.掌握乘法公式，能应用乘法公式简化整式的乘法运算；3.能运用提公因式法与乘法公式，将一个多项式因式分解.二、知识结构整式的乘法幂的运算性质同底数幂的乘法：am·an=am﹢n（m，n是正整数）幂的乘方：（am）n=amn（m，n是正整数）积的乘方：（ab）n=anbn（n是正整数）同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数）二、知识结构整式的乘法整式乘法单项式乘单项式用分配律转化单项式乘多项式用分配律转化多项式乘多项式乘法公式(a﹢b)(a﹣b)=a2-b2(a±b)=a2±2ab+b2科学计数法：N=a×10ⁿ（1≤a＜10），n为整数二、知识结构因式分解概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式提公因式法方法公式法a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2公因式整式乘法三、知识梳理1.幂的运算同底数幂的乘法：am·an=am﹢n（m，n是正整数）幂的乘方：（am）n=amn（m，n是正整数）积的乘方：（ab）n=anbn（n是正整数）同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，且m>n）典型例题例1.下列运算正确的是()A．(a2)m=a2mB．(2a)3=2a3C．a3·a-5=a-15D．a3÷a-5=a-2解析：(a2)m＝a2m，故A项正确；(2a)3＝23a3＝8a3，故B项错误；a3·a－5＝a3＋(－5)＝a－2，故C项错误；a3÷a－5＝a3－(－5)＝a8，故D项错误．答案为A.A典型例题例2.(1)若3x＋2y＝3，则27x×9y＝________；(2)()2018×(1.5)2019＝________；(3)若2×4n×16n＝219，则n＝________；(4)计算：9105×()70＝________．解：(1)27x×9y＝(33)x×(32)y＝33x＋2y＝33＝27.(3)由已知得2×22n×24n＝219，故1＋2n＋4n＝19，解得n＝3.2731(4)9105×()70＝(32)105×[()3]70＝3210×()210＝(3×)210＝1.(2)(

)2018×(1.5)2019＝(

)2018×()2018×＝(×)2018×＝.典型例题例3.计算：8(x4)6－2(x5·x3)3＋(－3x6)3·x4·x2＋x3÷x.解析：本题是幂的混合运算，包含了幂的各种运算，应按照运算顺序及对应的运算性质进行计算．解：原式＝8x24－2x24－27x24＋x2＝－21x24＋x2.注意：运算时要分清是哪类运算，对号入座，按相应的法则运算．对于幂的几个运算性质，运用时不但要会“熟练正用”，而且还要“灵活逆用”．典型例题归纳总结：同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0)；幂的乘方：(am)n＝amn；积的乘方：(a·b)m＝am·bm；它们最终转化为指数的加法、减法、乘法运算．【当堂检测】2.(1)若∣p+3∣=(-2016)0，则p＝

；(2)若(x-2)0＝1，则x应满足的条件是

．1.下列计算不正确的是（）A.2a3÷a-2=2a5B.(-a3)2=a6

C.a4·a3=a7D.a2·a4=a8-4或-2x≠2D解析：a2·a4=a2+4=a6，故D选项错误.解析：任何不等于0的数的0次幂都等于1,；故(1)中∣p+3∣=1，(2)中x-2≠0.【当堂检测】3.0.252015×（-4）2015-8100×0.5301；解：（1）原式=[0.25×（-4）]2015-（23）100×0.5300×0.5=-1-（2×0.5）300×0.5=-1-0.5=-1.5；【当堂检测】4.已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．解：103x＋2y=103x•102y=(10x)3•(10y)2=53×62=4500.2.整式的乘、除法则三、知识梳理单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.(1)单项式与单项式相乘的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.(2)单项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(3)多项式与多项式相乘的法则：三、知识梳理(4)单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.(5)多项式除以单项式的法则：多项除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例4.计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.分析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y当x=1,y=3时，原式=.=(2x3y2-2x2y)÷3x2y=-.典型例题典型例题归纳总结：整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.【当堂检测】5.计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)；(3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)．解：(1)原式=2a2-6ab+5ab-15b2

=2a2-ab-15b2.(2)原式=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1.(3)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2)

=-15x2+10xy－y2.【当堂检测】6.(1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为

；（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,

则这个多项式A是

.a2-2b+1x2-2x-【当堂检测】7.计算：(1)-10a5b3c÷5a4b=

；(2)(8a2b-24ab3)÷4ab=

；(3)(-2x2y)3÷(-2xy)2=

；(4)(6a2b-8ab3-2b)÷2b=

.-2ab2c2a-6b2-2x4y3a2-4ab2-1三、知识梳理3.乘法公式完全平方公式：平方差公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.(a+b)(a-b)=a2-b2.典型例题例5.计算：(1)(1－b)(－1－b)(b2－1)；(2)(3m＋2)2(3m－2)2；(3)(2x－3y＋1)(2x－3y－1)．分析：利用平方差公式及完全平方公式计算.解：(1)原式＝(b2－1)(b2－1)＝(b2－1)2＝b4－2b2＋1.(2)原式＝[(3m＋2)(3m－2)]2＝(9m2－4)2＝81m4－72m2＋16.(3)原式＝(2x－3y)2－1＝4x2－12xy＋9y2－1.典型例题例6.如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.原式＝(200－2)×(200＋2)＋4(1)图①中阴影部分的面积为_________，图②中阴影部分的面积为__________；(3)计算：198×202＋4.(2)通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为____________________(用式子表达)；a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2解：＝40000－4＋4＝40000.ab典型例题归纳总结：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.特点：平方差公式中既有相同项，又有相反项，结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.特点：左边是两数和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加上(或减去)这两数之积的2倍．【当堂检测】8.(1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；解：由题意得：(x2-2x+1)-(x2-1)+3(1-x)=0，x2-2x+1-x2+1+3-3x=0，-5x+5=0，解得x=1.【当堂检测】所以x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y=,解：

因为x2+9y2+4x-6y+5=0,所以(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，所以(x+2)2+(3y-1)2=0.(2)已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.典型例题分析：本题是一个含有整式的乘方、乘法、加减的混合运算，根据式子的特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键．解：原式=a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)例7.先化简，再求值：(a－2b)2＋(a－b)(a＋b)－2(a－3b)(a－b)，其中a＝，b＝－3.当a=，b=-3时，原式=4××(-3)-3×(－3)2=-6-27=-33.=2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2.典型例题归纳总结：(1)本题要分清是否可用公式计算；(2)本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则；(3)显然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多．【当堂检测】9.计算：[(x+2y)2-(x+y)(3x-y)-5y2]÷2x．解：原式=(x2+4xy+4y2-3x2+xy-3xy+y2-5y2)÷2x=(-2x2+2xy)÷2x=-x+y．三、知识梳理4.因式分解ma+mb+mcm(a+b+c)因式分解整式乘法公式法提公因式法ma+mb+mc有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.公因式将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.1.利用平方差公式分解因式:a2－b2=（a+b)(a-b)，2.利用完全平方公式分解因式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=

(a-b)2.典型例题例8.

把下列各式分解因式：(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2；(2)a5－a；(3)3(x2－4x)2－48；(4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.分析：(1)中(x－y)2＝(y－x)2，可直接提取公因式y－x；(2)(3)先提公因式，再用公式法分解；(4)直接用公式法进行因式分解．典型例题(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2；解：(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2＝x(y－x)＋y(y－x)－(y－x)2＝(y－x)[x＋y－(y－x)]＝(y－x)(x＋y－y＋x)＝2x(y－x)．(2)a5－a；＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)．原式＝a(a2＋1)(a2－1)典型例题(3)3(x2－4x)2－48；(4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.解：(3)原式=3[(x2－4x)2－16]=3(x2－4x+4)(x2－4x-4)=3(x－2)2(x2－4x-4).(4)原式=[(y2－1)2－3]2=[(y2－1+3)(y2－1-3)]2=[(y2－2)(y2－4)]2=[(y2－2)(y+4)(y-4)]2.典型例题归纳总结：(1)因式分解的步骤是：一提(提公因式)、二用(用公式法分解)、三检查(检查分解是否彻底)．(2)可以用平方差公式分解的多项式的特点是：多项式由符号相反的两项组成，且每项都是完全平方的形式，即a2－b2的形式；多项式中a，b既可以是单项式也可以是多项式．(3)形如a2±2ab＋b2的多项式可以应用完全平方公式分解因式，这里的a，b既可以是单项式也可以是多项式．【当堂检测】10.下列变形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n