排列数 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.2排列数一、知识回顾1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.

前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.二、排列数

符号

中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示.

例如:

问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为

.已经算得

=3×2=6.

问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为

.已经算得

=4×3×2=24.

从n个不同元素中取出m个元素的排列数

(m≤n)是多少?

可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数.根据前面的求解经验，可以这样考虑:

现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成:

第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；

第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种选法.

假定有排好顺序的两个空位，如左下图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.

因此，所有不同填法的种数就是排列数

.第1位第2位n种(n-1)种

根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为n(n-1)三、探究新知三、探究新知

同理，求排列数

可以按依次填3个空位来考虑，则=？n(n-1)(n-2)

一般地,求排列数

可以按依次填m个空位来考虑:

假定有排好顺序的m个空位，如下图所示，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数

.

填空可以分下面m个步骤完成:第1位第2位第3位第m位…三、探究新知n种(n-1)种第1位第2位第3位第m位…(n-2)种(n-m+1)种

第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1个位，有n种选法；

第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填在第2位，有(n-1)种选法；

第3步，从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位，有(n-2)种选法；……

第m步，从剩下的[n-(m-1)]个元素中任选1个填在第m位，有(n-m+1)种选法.

根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为:n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

这样，我们就得到:四、排列数公式

排列数公式:(m、n∈N*，并且m≤n)

你能说出排列数公式的特点吗?

特别地，把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.这时，排列数公式中m=n，即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．于是，n个元素的全排列数公式可以写成

规定：0!=1

根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数.例如：5×4=20，8×7×6=336.五、精典例题例1计算：

由例3可以看到，

观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗?=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

事实上，因此，排列数公式还可以写成例2用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?五、精典例题解法1：例2用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?五、精典例题解法2：例2用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?五、精典例题解法3：

对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.

解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；

解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；

解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数（不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.

从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.六、课堂小结1.排列数2.排列数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个

数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示.(m、n∈N*，m≤n)

规定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特别地，

全排列3.对于有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优先考虑，