2.8 直角三角形全等的判定（解析版）

2.8直角三角形全等的判定1.认识直角三角形2.掌握直角三角形的用HL证全等3.能运用全等的性质和HL综合知识点一直角三角形我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC知识点二直角三角形全等的判定方法:HL1.判定方法(斜边直角边)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL”2.书写格式在中，∴3.灵活选择判定方法证明两直角三角形全等(1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等(2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法即学即练1（2023春·福建漳州·八年级统考期中）下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是（

）A．两条直角边分别相等B．斜边和一条直角边分别相等C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等D．两个锐角分别相等【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、两条直角边分别相等，满足“SAS”，能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；B、斜边和一条直角边分别相等，满足“HL”定理，能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；C、如图，Rt△ACB和Rt△DFE中，G、H分别为由AC=DF，AG=DH得Rt△ACG≌∴BC=EF，又∠C=∠F=90∴Rt△故此选项条件能保证两个直角三角形一定全等，不符合题意；

D、两个锐角分别相等，不能保证两个直角三角形一定全等，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定方法是解答的关键．即学即练2（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF=BE．

(1)求证：△ACF≌△BCE．(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度数．【答案】(1)见解析(2)67【分析】（1）根据直角三角形全等的判定和性质，即可；（2）根据全等三角形的性质，得∠CBE=∠FAC，根据等边对等角，等腰直角三角形的性质，求出∠CAB=∠【详解】（1）证明，如下：∵∠ACB=90∴∠ACF=90∴在Rt△ACF和AC=BCAF=BF∴△ACF（2）∵△ACF∴∠CBE=∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∵∠ABE=23°，∴∠CBE=∵∠BAF=∴∠BAF=45【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．知识点三判定两个三角形全等常用的思路方法已知对应相等的元素可选择的判定方法需寻找的条件锐角三角形或钝角三角形两边(SS)SSS或SAS第三边对应相等或两边的夹角对应相等一边及其邻角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等一边及其对角(SA)AAS另一角对应相等两角(AA)ASA或AAS两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等直角三角形一锐角(A)ASA或AAS直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等斜边(H)HL或AAS一条直角边对应相等或一锐角对应相等一直角边(L)HL或ASA或AAS或SAS斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等即学即练（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC≅ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°【答案】C【分析】由图形可知AC=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC和△∵AB=AD，AC=AC，∴当CB=CD时，满足SSS，可证明△ABC当∠BAC=∠DAC时，满足SAS当∠BCA=∠DAC当∠B=∠D=90°时，满足故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SAS，ASA，AAS，SSS和HL．知识点四常见全等三角形的基本图形平移型全等翻折型全等旋转型全等题型一用HL证全等例1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（

A．SSS B．AAS C．HL D．ASA【答案】C【分析】根据题中的条件可得△APD和△APE是直角三角形，再根据条件PD=PE，AP=AP，可根据【详解】解：∵PD⊥∴∠AEP=在Rt△APD和PD=PEAP=AP∴Rt△故选：C．【点睛】本题主要考查三角形全等证明，掌握相关知识是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点C为线段AB的中点，分别过点A、B作AB的垂线AD、BE（点D、E在AB的同侧），连接CD、CE，且

【答案】见解析【分析】利用HL直接证明Rt△【详解】∵点C为线段AB的中点，∴AC=BC，在Rt△ACD与AC=BCCD=CE∴Rt△【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用HL证明两个三角形全等”是解本题的关键．举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A,CD⊥BD于D,AC=BD,AC与BD相交于点O．求证：△ABC≌△DCB．

【答案】见解析【分析】由“HL”可证Rt△【详解】证明：∵BA⊥∴∠A=在Rt△ABC和BC=CBAC=BD∴Rt△【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．题型二全等的性质和HL综合例2（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE=CF．求证：AD平分∠BAC．

【答案】见解析【分析】证明△BED≌△CFD【详解】证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥∴△BED和△在Rt△BED与BD=CDBE=CF∴Rt△∴DE=DF，∴AD是△ABC即AD平分∠BAC【点睛】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江台州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF=BD

(1)求证：BE=CF；(2)若AE=12，AF=8，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先由角平分线的性质得出DC=DE，再由HL证Rt△（2）先由HL证Rt△ADC≌Rt△ADE，得出【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90∴DC=DE，∠在Rt△DCF和DF=BDDC=DE∴Rt∴BE=CF（2）解：在Rt△ADC与AD=ADDC=DE∴Rt∴AC=AE∵AB=AE+BEAC=AF+CF，由（1）知，CF=BE，∴AB=AC+BE=AF+BE+BE=AF+2BE∴AE+BE=AF+2BE∴BE=AE【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．举一反三2（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，已知AB⊥CD，且AE=CE，CB=AD．

(1)求证：△CBE≌(2)若∠A=70°，求∠CBD度数．【答案】(1)见解析(2)65【分析】（1）由HL可证明△CBE（2）由直角三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵AB∴∠BEC=在Rt△CBE和CE=AECB=AD∴Rt（2）解：∵△CBE∴∠A=∠C=70∴∠CBA=90∵BE=DE，∠∴∠EBD=45∴∠CBD=【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，证明△CBE一、单选题1．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考阶段练习）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠BCA=∠DCA【答案】D【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据【详解】解：A、添加CB=CD，根据“SSS”能判定△ABCB、添加∠BAC=∠DAC，根据“SASC、添加∠B=∠D=90°，根据“D、添加∠BCA=∠DCA故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一组锐角和斜边分别对应相等B．两个锐角分别对应相等C．两组直角边分别对应相等D．斜边和一组直角边分别对应相等【答案】B【分析】由直角三角形全等的判定依次判断可求解．【详解】解：A、若一组锐角和斜边分别对应相等，符合AAS，可证这两个直角三角形全等，故选项A不符合题意；B、若两个锐角分别对应相等，没有对应边，不能证明这两个直角三角形全等，故选项B符合题意；C、若两组直角边分别对应相等，符合SAS，可证这两个直角三角形全等，故选项C不符合题意；D、若斜边和一组直角边分别对应相等，符合HL，可证这两个直角三角形全等，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练运用直角三角形的全等判定方法是本题的关键．3．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF可得对应角【详解】∵AD平分∠BAC∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．∵AB=AC,AD平分∠BAC∴AD⊥BC，且∵DE⊥AB，∴∠BED=在Rt△BDE和BD=CD∴Rt△BDE≌∴∠BDE=∠CDF∴AB-BE=AC-故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．4．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AE平分∠CAB交BC于点E，则BE的长是（

）．A．3 B．5 C．163 D．【答案】B【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得AB，过E作ED⊥AB于D，根据角平分线的性质得到DE=CE，进而证明Rt△【详解】解：如图，过E作ED⊥∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6∴AB=A∵ED⊥AB，∠ACB=90∴DE=CE，在Rt△ADE和DE=CE∴Rt△∴AD=AC=6，在Rt△BDE中，∵DE∴8-解得：BE=5，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．5．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其两直角边为边分别向外作正方形BDEC和ACFG，点P在AC上，满足FP=AB，连接PD．若PC=1，则PD的长为（

A．2 B．5 C．6 D．2.5【答案】B【分析】证明△ABC≌△FPC，求出BC=PC=1【详解】解：∵四边形ACFG是正方形，∴AC=CF,∠在Rt△ABC和AB=FPAC=CF∴△ABC∴BC=PC=1，∵四边形BDEC是正方形，∴DE=CE=BC=1，∴PE=2，∴PD=D故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，证明△ABC二、填空题1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点D，A，E在直线l上，AB=AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5【答案】8【分析】用HL证明Rt△ABD≌Rt△【详解】解：∵BD⊥l，∴∠BDA=在Rt△ABD和AB=CABD=AE∴Rt△∴AD=CE=5，∴DE=AD+AE=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知直角三角形全等的判定条件是解题的关键．2．（2022秋·浙江·八年级统考期中）如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD=CE，∠CAD=25°，则∠OCD=度．【答案】40【分析】由AD，CE是△ABC的两条高线，得∠ADC=∠CEA=90°，证明Rt△ADC【详解】解：∵AD，CE是△ABC∴AD⊥CB，∴∠ADC=在Rt△ADC和AC=CA∴Rt△∴∠CAD=∵∠ACD=90∴∠OCD=故答案为：40．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明Rt△3．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=7AD=72，∠B=45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF

【答案】4或72【分析】分三种情况讨论：①当AE=BE时，过点D作DG⊥BC于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形AEGD是矩形，进而证明Rt△AEB≌Rt△DGCHL，得到BE=CG=32，CE=42，由勾股定理求得AB=6，然后证明△CEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出CF的长；②当AB=BE时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得∠CEF=∠CFE，进而得到CF=CE，再利用CE=BC【详解】解：①如图1，当AE=BE时，过点D作DG⊥

∵等腰梯形ABCD中，∠B=45∴∠B=∠C=∴∠AEB=90∴AE∵AD∴∠AEG=∴四边形AEGD是矩形，∴EG=AD，AE=DG∵BC=7AD=7∴EG=AD=在Rt△AEB和AB=CDAE=DG∴Rt∴BE=CG∴BE=∴CE=BC∵AE=BE=3∴在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，∴∠FEC=180∵∠C=45∴∠EFC=180∴△CEF∴CF=EF在Rt△CFE中，∴CF=4②如图2，当AB=BE时，

∴∠AEB=∵等腰梯形ABCD中，∠B=45∴∠B=∴∠AEB=∵∠MEN=45∴∠CEF=180∴∠CFE=180∴∠CEF=∴CF=CE∵BC=72，∴CF=CE=BC③如图3，当AB=AE时，

∵等腰梯形ABCD中，∠B=45∴∠B=∴∠AEB=∴∠BAE=180∵AB=AE=6∴在Rt△BAE中，∵∠MEN=45∴∠CEF=180∵∠C=45∴△CEF∴EF=CE=BC在Rt△CEF中，综上所述，CF的长为3或52﹣4或2．故答案为：4或72【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图：在ΔABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，BD（1）则CD=；（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动秒钟后Δ【答案】3cm6或15【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得（2）分∠ADE=90°或【详解】（1）如图，过点D作DE⊥AB于在Rt△AB=A∵BC⊥AC，DE⊥BE∴CD=DE∵∴设CD=DE=x，则8-解得x=3，即CD=3cm，故答案为：3cm；（2）如图，当ED⊥则ED∥∴∠CBD=∴∠BDE=∴BE=DE设t秒后△EAD则BE=DE=tcm，在Rt△52解得t=15当DE⊥AB时，由（1）得∵BD=BD∴Rt∴BE=BC=6cm∴t=6故答案为：6或154【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．三、解答题1．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)已知AC=12，BE=2，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)AB=8【分析】（1）由“HL”可证Rt△（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，又由DE⊥AB于E，DF⊥【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠E=在Rt△DBE和BD=CD∴Rt△（2）解：∵Rt△∴DE=DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥∴∠E=在Rt△DAE和DE=DF∴Rt△∴AE=AF，∵AC=12，BE=CF=2，∴AB=AE【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．

(1)求证：AF=CE；(2)求证