2023-2024学年山东省烟台高二年级下册入学摸底测试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省烟台高二下册入学摸底测试数学

模拟试题

一、单选题

1.正四面体的棱长为2,动点尸在以8c为直径的球面上，则”式./3的最大值为()

A.2B.2百C.4D.4^/3

【正确答案】C

建立空间坐标系，设尸(x,y,z),求出〃关于x，y，z的表达式，根据球的半径得出x,%z

的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.

【详解】设8c的中点为M,以“为原点建立如图所示的空间坐标系，

席.丸亚x.巫

33

P在以M为球心，以1为半径的球面上,

x1+y2+z2-\,

04y41,0<x2+z2<1.

z+2-m=0

则直线2叵x-城z+2-m=0与单位圆x?+z2=l相切时，截距取得最小值,

33

2

.1~"1=1

令+（276Y>解得m=0或%=4

APAD的最大值为4.

故选：C

本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标

系，属于难题.

2.已知三棱锥0-48C,点”,N分别为Z8,OC的中点，^.OA=a,OB=b,OC=c,用

表示A/N，则A/N等于（）

1’1

A.-（b+c，-a，）B.3(a，+b▼-c♦)

11

C.5（。，-b'+c。）D.—(c，-a，-b’)

【正确答案】D

1▼▼▼—▼▼▼汉

【分析】连接。例,用。，利用MN=-3（°M+CW）,化简即可得到答案.

【详解】连接。M,A/C,如下图

1・♦♦X▼▼▼♦

=--(OM+CM)

[XX]F

=——(a+b)——(CA+CB)

44

IXXIXXXX

=——(a+b)——(a—c+h-c)

44

IXXX

=-(c-a-b).

故选：D.

3.已知直线/过点(1,2),且在y轴上的截距为X轴上的截距的两倍，则直线/的方程是()

A.2x-y=0B.2x+y-4-0

C.2x-y=0或2x+y-4=0D.2x-y=0或x+2y-2=0

【正确答案】C

设直线/在x轴上的截距为。，则直线/在＞轴上的截距为2a,分类讨论。，利用直线方程的

截距式可得结果.

【详解】设直线/在x轴上的截距为a,则直线/在丁轴上的截距为2”，

当。=0时，直线/经过原点，其方程为N=2x,即2x-y=0；

当g0时，设直线/的方程为±+三=1,因为直线/过点(1,2),

所以工+?_=1,解得。=2,所以直线/的方程为:+4=1，即2x+y-4=0.

a2a24

所以直线/的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.

故选：C

易错点点睛：容易漏掉截距为0的情况.

4.设耳鸟是椭圆二+廿=1的左，右焦点，过月的直接/交椭圆于48两点，则用+忸用

164

的最大值为()

A.14B.13C.12D.10

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的定义可得芯的周长为用+|/卸+忸用=16；然后分析出当却最

小时，上图+忸闾最大,从而求出卜目的最小值即可.

【详解】由椭圆的定义，知|＜逸|+|/升|=8,忸可|+|明|=8,

所以行的周长为用+»用+忸&=M用+|［曰+忸用+忸用=16,

所以当|/用最小时，卜周+忸周最大.

又当/8/x时，|/同最小，此时“用=竺=2,

所以以闾+忸闾的最大值为16-2=14.

故选：A.

5.已知直线/：N=x+1与曲线C：/+二=1相交于/,8两点，F(O,-1),贝尸的周

2

长是()

A.2B.2&C.4D.472

【正确答案】D

【分析】根据椭圆的定义求得△ZB厂的周长.

【详解】依题意椭圆/+亡=1,a=y/i,b=l,c=l,

2

椭圆的焦点为(0』),(0,-1),

所以厂是椭圆的焦点，且直线/过椭圆的另一个焦点(0,1).

所以尸的周长为4a=4应.

故选：D

6.已知等比数列｛g｝的各项均为正数，公比为g,%>1,%+%>4%+1>2,记｛为｝的

前n项积为Tn,则下列选项错误的是()

A.0<g<lB.a6>\C.q>lD.7；3>1

【正确答案】D

等比数列｛见｝的各项均为正数，q>1,4+%>4%+1>2,可得(%T)(%T)<0,因此4>1，

%<1,0<9<1,进而判断出结论.

【详解】解：等比数列｛4,｝的各项均为正数，4>1,4+%>%%+1>2,

-1)(%-1)<。，

Q4>1,若4<1，则一定有。7<1，不符合

由题意得。6>1，<1,0<^<1,故A、B正确.

a6al+1>2,>1,

兀=(%%)'>1，故C正确，

兀=碎<1,故D错误，

满足北>1的最大正整数〃的值为12.

故选：D.

7.若数列｛%｝满足q=g,an+t=^-a„+m,若对任意的正整数都有4,<2,则实数优的

最大值为()

A.yB.1C.2D.4

【正确答案】C

【分析】递推关系变形可得%,「。,,=；(%-2)2+"-2,分析可知加>2时不满足题意，再验证

机=2时满足题意，即可得解.

【详解】—，

二2-勿“+m=；(q,-2『+m-2,

若m>2,贝！I—-q,=；(4-2)2+机-2>0,则%>q,+m-2,

则%>6+("T)(帆-2),那么可以无限的大下去,不符合题意;

若加=2,则%一\>0,则->%,数列｛%｝单调递增，

又q=g,故4>0,

又%-2=；a“(q,-2),故。,川-2与a“-2同号，则为<2,符合题意；

故选：C.

本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.

8.已知函数/Xx)="也让(4H0)的两个极值点分别为和2,若/(x)的极大值为1,

ex2

则a+26+4c的值为()

A.-2B.0C.2D.4

【正确答案】B

【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到。=2仇°=-6,然后分。>0和。<0两种情

况进行讨论即可

【详解】由f(x)=ax2+bx+C(a^0)可知

ex

(2ax+b)e-e(ax2+bx+c\_尔+(勿-加+6-c

J(')-2^—V'

ee

因为函数/(x)的两个极值点分别为和2,所以和2是/(X)的零点，

故—和2是-"2+(方-b)x+b-c=0的实数根，*，._~+2=~~-,-^-x2=--,

22-a2-a

:.a=2h,c=-b.

当a>0,即方>0时，

当xe(-oo，T)52,+oo),/(x)<0；当,/(x)>0;

函数/(x)在18,-£],(2，+8)上单调递减，在上单调递增，

gb

止匕时极大值为/(2)=F=1,.^=—>0,:.a-^2b+4c=2b+2b-4b=0；

e9

当"0,即6<0时，

当》《-00,-3,(2,+8),/(x)>0;当,/'(x)<0;

函数/(x)在18,_£],(2,+8)上单调递增，在上单调递减，

-b

此时极大值为了「Q——=1,.•/>=--y=<0,.-.a+2b+4c=2b+2b-4h=0,

e3

二•只要。工0,无论〃取何值，。+26+4。=0始终成立,

故选：B.

二、多选题

9.设'是空间一个基底，则下列选项中正确的是()

A.若a_L5,bJ_c,贝!1a_Lc

B.a1,c两两共面，但a,6,c不可能共面

C.对空间任一向量;，总存在有序实数组(x,%,z),使;二蓝；yAz：

D.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

【正确答案】BCD

【分析】根据b与a,c都垂直，判断dc夹角不一定是］，判断A：根据基底的概念可判断B：

根据空间基本向量定理判断C：采用假设Ji，,'，；］；：展共面，则推出矛盾的方法判断D.

【详解】对于A选项，6与出。都垂直，a,c夹角不一定是A选项错误.

对于B选项，根据基底的概念可知Q,6,C两两共面，但a,6,c不可能共面，B选项正确.

对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.

对于D选项，由于｛£=4是空间一个基底，所以不共面.

假设a+b,b+c,c+a共面，根据共面向量定理，不妨设〃+方=电+@+小+”）,（2€1＜）,

则（卜-1）。+（、-1）6+（8+?），=0,因为a,6,c不共面，

y-l=O

所以「-1=0,该方程组无解，故假设不成立，

x+y=0

所以JIA?；］；：；不共面，可以作为空间的一个基底，D选项正确.

故选：BCD.

10.过抛物线/=3x的焦点F的直线与抛物线交于/（占,乂）（必＞0）,以匕,％）两点，点48

在抛物线准线上的射影分别为交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是

（）

A.OAOB=0B.NA/B1=90〃

C.直线M8〃x轴D.斗忸目的最小值是》

【正确答案】BCD

【分析】选项A设直线方程代入抛物线方程中化简写出韦达定理，

再利用向量数量积的坐标表示运算即可；选项C利用A,O,M

三点共线找出关系式来说明即可；选项B利用〃1尸8：数量积即可说明；

选项D设直线Z8的倾斜角为外。*0）,则表示出恒尸|，忸尸|利用函数的

性质求出最值即可.

【详解】由题意可知，抛物线/=3x的焦点厂的坐标为（二,0）,

4

3

准线方程为x=-=,易知直线力8的斜率不为0,

4

设直线48的方程为工=叼+巳

4

9

2

代入/=3x,^y-3tny--=0f

9

所以乂+%=3叽乂％=-工，

3399927

则西马=（加必+：）（〃%+:）=77，所以。4。3=（再,%）«2，%）=百"2+必必=77一了=-77工。，

441616416

所以A不正确，

因为/（已~,必）,。（0,0）也（-“九）二点共线，

必一0二九-0q

所以弁0一二一0,所以乂3=子，

34

9

又必％=一1，所以％=%

所以直线A/8〃x轴，所以C正确，

由题意可得4中的坐标分别为（-；,%）,（-；,%）,

3333999

所以"।-FB,y1）.（----,y2）=-+^2=---=0,

所以N4”I=90"，所以B正确；

33

设直线AB的倾斜角为/e。0）,则|力川=5|阴=5，

1-cos。'1+cosO

3399

所以|4户卜忸曰=-2-----2—=—i^-=—4—>-）

1-cos。1+cos91-cos20sin204

当且仅当力8lx轴时取等号，所以D正确，

故选：BCD.

11.已知等比数列公比为4,前〃项和为S”，且满足4=8%,则下列说法正确的是（）

A.｛勺｝为单调递增数列B.苓=9C.S3,S《,R成等比

数列D.S,=2a“-q

【正确答案】BD

根据&=8%利用等比数列的性质建立关系求出4=2,然后结合等比数列的求和公式，逐项

判断选项可得答案.

【详解】由“6=8%，可得g&=M，则4=2,

当首项q<0时，可得｛%｝为单调递减数列，故A错误；

由兴=j5*=9,故B正确；

假设M，S6,品成等比数列，可得S：=SgXS3,

即(1-26)2=(1-23)(1-2")不成立，

显然$3，$6，W不成等比数列，故C错误；

由｛%｝公比为q的等比数列，可得S,=43=^rv=2…

Sn=2an-ax,故。正确；

故选：BD.

关键点睛：解答本题的关键是利用4=8%求得4=2,同时需要熟练掌握等比数列的求和公

式.

12.设/(X)是函数/(x)的导数，若/'(X)>0，且也外eRO%),/(西)+/(&)<2/(七1)-

则下列各项正确的是()

A./(2)</(e)</(7t)B./'(2</'(e)</'(2)

C.r(2)</(3)-/(2)<r(3)D.八3)<〃3)-〃2)<八2)

【正确答案】ABD

【分析】由题意判断函数的单调性以及其图象的形状，根据单调性可判断A；根据导数的几

何意义以及结合直线斜率的含义，可判断B,C,D.

【详解】由/'(x)>0知，/(x)在R上单调递增，则"2)</©</(力,故A正确；

%,%eRO%)恒有./•«)+/(%)<2/(土芥)，即/」)；加)<心产),

所以V=/(x)的图象是向上凸起的，如图所示，

由导数的几何意义知，随着x的增加，“X)的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小(斜率

为正)，

所以/'(n)</'(c)</'(2),故B正确,

设4(2J(2)),8(3J(3)),则kAB=J6=⑵=/⑶_/⑵,

3—2

所以由图象知/'(3)〈e8</'(2),故D正确，C错误,

故选：ABD

三、填空题

13.已知空间向量词鼻=2田=1,(谪=66,则使向量“与的夹角为钝角的实数

A的取值范围是

【正确答案】(-1-6,-1+6)

【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得石•小12石，启*\4关

于力的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于2的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为自=2，M=1,〈：）〉=6O。，

XXXXXX1々全不个

所以。力=|叫$0S（〃,6）=2乂1乂2=1,a=|a|=4,b=p|=1,

人人人人'人人',

故（。+46）•（7?>〃一2b）=——=42—2J—22=2~+2A—2,

X小个XX今

a+=a+2A,a-b+b=尤+2几+4,

\Aa-2b\=Va-4/la力+46=422-4^+4=4fl2-2+l）,

因为向量Q+%b与几4-2b的夹角为钝角，

X八X八

（。+欠外2/0,即（〃+劝）•（急z—26）<0

所以x乂x义,xXx4,

cosa-^-Ah,Aa-2h工一1（a+AZ?）,（义4—2b）H-卜+Ab|—2b|

22+22-2<0

，+2九-2。—24入~+24+4•d九2-2+1

W—1—>/3<<—1+y/3，HPG（―1—>/3,—1+^3）-

故答案为.(-1-百，-1+行)

14.已知点耳、代分别是双曲线捺4=1(。>0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且

|尸用=2附矶=16,则△?周玛的周长是.

【正确答案】34

【分析】由双曲线定义可得。=4,结合勾股定理可得2c=10,从而得到周长.

【详解】•••卢用=2俨4=16,|「周一|尸用=16-8=8=2­：.a=4.

又〃=9，二。2=25，，2c=10.

••.APZM的周长为|尸耳|+忸闾+闺闾=16+8+10=34.

故答案为34

本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线定义及基本量的关系，属于基础题.

15.用数学归纳法证明2+3+4+...+〃=("-1；"+2)时,第一步取〃=.

【正确答案】2

【分析】根据数学归纳法步骤，即可求解.

［详解】利用数学归纳法证明2+3+4+...+〃=(〃-1)；〃+2)时，

第一步取n=2,左边=2,右边=0二1),；(2.2)=2,

因此左边=右边.

故2.

本题考查了数学归纳法证明的步骤，考查了推理能力，属于基础题.

16.若加>0,〃>0,且函数/(X)=8X3-/MX2-2〃X+3在x=l处有极值，则加〃的最大值等

于.

【正确答案】36

【分析】根据/。)=0求得也〃的关系式，结合基本不等式求得的最大值.

【详解】依题意〃?>0,«>0,且函数/(力=81一小2-2依+3在x=l处有极值，

f(x)-24x2-2mx-2n,f(1)-24-2m-2n-0,m+n-12.

A=4,n2+192n>0./(x)有两个极值点，符合题意.

所以机(丝产j=36,当且仅当=N=6时等号成立.

故36

四、解答题

17.如图，直三棱柱"5C-4月G的体积为4,45c的面积为2行.

小

B

⑴求/到平面45c的距离；

（2）设。为4c的中点，/4=/8,平面48。_1平面/844，求二面角/-8。-。的正弦值.

【正确答案】（1）近

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得3cl平面/88昌，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱/8C-44G中，设点/到平面48c的距离为/?,

则v.4-&BC=；S48C,"=力=〃TBC=；S例,4/=g

解得h-V2>

所以点Z到平面ABC的距离为近；

（2）取48的中点瓦连接/瓦如图，因为44=48,所以

又平面48C_L平面,平面4BCc平面=45,

且ZEu平面所以4E_L平面48C,

在直三棱柱/BC-44G中，8片，平面/8C,

由5Cu平面48C,8Cu平面/8C可得NEJ.8C,BBt1BC,

又AE,BBiu平面力4且相交，所以8c/平面ABB4,

所以8c,8484两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=y/^，所以=48=2,印=2播，所以8c=2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点0(1,1,1),

则加二(0,2,0),8(^(2,0,0),

r于一▼

…―一人、,一1=,'、/x+y+z=0

设平面的一个法|可量机=(x,y,zx),贝ni-叫BT1=、八

'[m-BA=2y=G

可取加=(1,0,-1),

「八▼

设平面的一个法向量〃=(a,b,c),贝叫X"*^,

'7n-BC=2a=。

可取；=(0,1,-1),

则8s湍=睛-T

所以二面角/-5D-C的正弦值为=*.

/1

18.已知曲线C：尸三,。为直线厂上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为/,

B.

(1)证明：直线为8过定点;

（2）若以E（0,g）为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）+=4或=2.

（1）设。“1,%）,则X；=2%，利用导数求斜率及两点求斜率可得2区-2必+1=0.

设BN，%），同理可得2%-2%+1=0,从而得到直线48的方程为2戊-2y+l=0,再由直

线系方程求直线过的定点；

（2）由（1）得直线N8的方程为'=改+；,与抛物线联立，利用中点坐标公式及根与系数

的关系求得线段的中点〃[»+5，再由"[/晨可得关于/的方程，可得到片0

或，=±1,然后分类求得结果.

【详解】（1）设。1,一£|,4小月），贝Ux：=2%.

由于y'=x,所以切线D4的斜率为七，故”2_丫.

Xy-t

整理得2%-2必+1=0.

设8（x2，%），同理可得2%-2y2+1=。.

故直线N8的方程为2a-2y+l=0.

所以直线过定点（0,；）.

（2）由（1）得直线Z8的方程为y=/x+g.

1

V=4x4--

2

由，，，Wx2-2tt-l=0.

x-

尸万

2

于是％+/=2人%+8=，（X+x2）+l=2/+1.

设"为线段N8的中点，则

由于而EM=«,J-2），“5与直线的方向向量”=（1,/）平行，

所以f+/-2）f=0.解得片0或"±1.

当t=o时，田后=2,所求圆的方程为x2+「-|)=4；

5

当3±1时，|屈庙=拒，所求圆的方程为/+(夕I=2.

此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求

解就可以，思路较为清晰，但计算量不小，属于中档题.

19.已知E是抛物线C:/=2px(p>0)的焦点，过F且倾斜角为60。的直线/与抛物线C交

于45两点,若MB4.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设直线〃同时与椭圆1+/=1和抛物线c相切，求直线〃的方程.

【正确答案】⑴V=4x

(2)y=^-x+>/2或旷=-^-x-41

【分析】(1)设过点尸且倾斜角为60。的直线/的方程并联立抛物线方程，可得根与系数的

关系，利用抛物线的弦长公式，即可求得答案;

(2)直线〃的斜率显然存在，设直线”的方程为卜=丘+〃，，分别与椭圆以及抛物线方程联

立，利用判别式等于0,求得我,加的值，即得答案.

【详解】⑴由题意得点尸怎,0

设过点尸且倾斜角为60°的直线/的方程为》=可T)

y2=2px

联立.3司消去y整理得3x?-5px+垩-=0,A=16/?2>0,

4

设”(项,乂)，8(芍,力)，则，+*2=学,

贝力48|=演+匕+2=学+。=?，解得P=2,

所以抛物线的标准方程为V=4x.

(2)由题意知，直线〃的斜率显然存在，设直线〃的方程为N=h+m,

比2I

联立2+'一，消去y整理得。+2公卜2+4痴x+2病-2=0,

y=kx+m

因为直线”与椭圆相切,

所以△'=16左2加2-4（1+2%2）（2/-2）=0,

整理得川=28+1.

fP2=4x

联立'--,消去y整理得左丁+（汨-4）X+〃?2=O,

[y=kx+m

因为直线〃与抛物线相切,所以A"=（2痴-4）2_4后"2=0,

整理得加=；,所以与=2犬+1,解得/=：,（/=_[舍去），

左-也-克

故｛2或2,

m=y/2tn=—yfl

所以直线〃的方程为y=^x+正或y=-等x-啦.

20.已知耳，鸟分别是椭圆C：A+£=l（a>6>0）的左、右焦点，/是C的右顶点，

M用=2-百，尸是椭圆C上一点，M,N分别为线段P与巧的中点，。是坐标原点，四边

形QWW的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点”的直线/与椭圆C交于O,E两点，且/方：/£:0,判断直线/是否过定点，

若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【正确答案】（1）标准方程为二+/=1.

4

（2）直线/过定点

【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a,椭圆的右顶点到右

焦点的距离为。一的b2=a2-c2联立即可得椭圆方程；

（2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程y=辰+用，联立直线与

椭圆方程，由韦达定理可得不+X2，XF,再由可得A与机的关系式，将其代入直

线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可.

【详解】（1）M,N分别为线段尸耳，尸月的中点，。是坐标原点,

.■.\OM|=|PN\=-\PF2\,\ON|=|PM\=-\PF,\,

四边形OMPN的周长为1PMi+|。％+|川|+|。2|=|桃|+|「周=2〃=4,

..a=2>

/.\AF.^=a—c=2—c=2—VJ,.*.c=也,

b=\la2—c2=也?—=1,

椭圆c的标准方程为《+/=1.

4

(2)设。(X”必),后优,为)，

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为，=履+用，

代入?+/=1,整理得(1+4公卜2+8痴X+4，”2_4=0,

则A=(8bi)2-4(l+4的(4加2-4)>0,

8hn4病—4

演+々=一由，中2=T^F.

易知』(2,0),

UUUULU

AD^E=(X—2,必)•(当一2,必)=(X,-2)(/—2)+必必

2

=(x1-2)(X2-2)+(g+/w)(仇+机)=(1+攵2)西工2+(〃"—2)(再+x2)+m+4

=(l+£)(W-4)[(to-2)x(8to)而”R，

1+4〃1+4〃

化简得1242+16krn+5m2=0，

w=_*k或m=-2k(舍去)，

直线/的方程为卜=丘一|“，即尸直线/过定点限,0).

当直线/的斜率不存在时，设/：x="-2</<2),

代入]+/=],解得y=±b[，

由/。ZE=0得"。,

.•.|2-”=[d，解得f=2或f=2(舍去)，

V45

此时直线/过点(上0).

综上，直线/过定点1,0).

求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量X,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那

么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于

x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式则直线必过定

点(刈，yo)；若得到了直线方程的斜截式夕=履+加，则直线必过定点(0,m).

21.已知等比数列｛叫的前〃项和为S“，且2a“-S“=l.

(1)求知与S,；

2ft—1

(2)记"=二一,求数列也｝的前“项和大

【正确答案】(1)«„=2"-',5„=2--1；(2)(,=6-尊二

【分析】(1)利用q=S,-S,i可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和:

(2)由(1)得b”,用错位相减法求和.

【详解】⑴由2a,-5“=l,得S”=2%-1,

当〃=1时，q=S[=2q-l,得q=l；

当〃22时，a“=S“-Si=（2q-1）-（2*-1）,得见=2%,

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以％=2"L

所以S“=2%-1=2"-1.

（2）由（1）可得”=卡2〃——1，

则T"=1+2+最+'+'^7^Txl+3+5弓+L«2"-1）

；北=lxg+3x/+5x/++（2M-1）-^,

两式相减得[=1+2（3+M+/+1+击

所以0=2+4(；+F+/+L+击.击

=2+4.弃_(2〃7)」=6-审

।\/2”T2”T,

1—

2

(1)错位相减法适用于数列是由一个等差数列｛6｝和一个等比数列｛，｝对应项的乘积构成

的数列％的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后

化归为一个等比数列的求和；

(2)用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比

为负数的情形；二是在写出“S,,”与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下

一步准确写出“S,-焚””的表达式.

22.已知函数=--Inx+x-a.

⑴若〃x)WO,求a的取值范围；

(2)证明:若“X)有两个零点玉,通，则中2<1.

【正确答案】(1)(-8,e+1］

(2)证明见的解析

【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解;

⑵利用分析法，转化要证明条件为》xe、2卜,

再利用导数即可得

证.