2023-2024学年江西省九江市永修重点学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省九江市永修重点学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.保护环境，人人有责.下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，是中心对称图形的是（）

▽

公

厨余垃圾可回收物

FoodWasteRecyclable

其他垃圾有害垃圾

ResidualWasteHazardousWaste

2.下列因式分解正确的是()

A.—X24-4%=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)

C.%2—4%4-4=(%4-2)(%—2)D.x(x-y)+y(y-%)=(%-y)2

3.已知QVb,下列式子不成立的是()

A.Q+1V/7+1B.3a<3b

C.-2a)-2bD.如果c<0,那么±<2

cc

4.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

5.如图，在△ABC中，AC=4,边上的垂直平分线DE分别交BC、于点D、E,

若AAEC的周长是11,则直线DE上任意一点到4、C距离和最小为（）

A.28B.18C.10D.7

6.如图，直线yi=ax(a40)与丫2="+b交于点P,有四个结论：①a<0；

@b<0；③当X>0时，>0；④当x<-2时，为>丫2，其中正确的

有个.()

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题(本大题共6小题，共18.()分)

7.已知点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b),贝ija-6=

8.把。3-4a/分解因式，结果为

9.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则Nl+z2+Z3

10.若关于”的方程与=3-二无解，则a=

11.如图，将Rt△4BC沿着点B到C的方向平移到△CEF的位置，=9,

DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为.

12.已知。、4、B的坐标分别是(0,0),(3,1),(-1,2),在平面内找一点M,使得以点。、4、B、M为顶点的

四边形是平行四边形，则点M的坐标为.

三、计算题(本大题共1小题，共9.0分)

13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过火一30,0)和B(0,15)两点，直线y=x+5与直线y=kx+

b相交于点P,与y轴交于点C.

(1)求直线y=kx+b的解析式；

(2)求4PBC的面积；

(3)直接写出不等式kx+b<x+5的解集.

四、解答题（本大题共10小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.（本小题6.0分）

⑴解不等式组

（2）解下列方程：白+2=芸.

15.（本小题6.0分）

先化简（一＞再从一1，0.1.2中选择一个适当的数作为a的值代入求值.

zz

W-4Q+42-aa-2a

16.（本小题6.0分）

如图，△4B0中NB40=90。，将△4BD逆时针旋转后得到AACE,C点落在BO边上，Z.E=20°,求484c的

度数.

17.（本小题6.0分）

在A/IBC中，8。和CO分别平分乙4BC和44CB,过点。作EF〃BC,分别交48,4c于点E,F.

（1）若2B=4C,请判断AaEF是否是等腰三角形，并说明理由；

（2）若△ABC的周长为18,BC=6,求A4EF的周长.

A

18.(本小题6.0分)

如图，在平面直角坐标系中，4ABC的三个顶点都在格点上，点4的坐标为(2,4),请解答下列问题:

%

A

/----c

乙L1

B

0

(1)画出AABC关于x轴对称的△&BC，并写出点&的坐标.

(2)画出△绕原点。旋转180。后得到的44282c2，并写出点&的坐标•

19.(本小题8.0分)

如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的

方式拼成一个正方形.

(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m,n的代数式表示).

方法-：:

方法二：.

(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m+n)2,(m-n)2,nm之间的等量关系.

(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a,b满足：a+b=6,ab=5,求a—b的值.

2m

2n

①

20.(本小题8.0分)

为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现

优秀的师生.已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花

费30元.

(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？

(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求

有多少种购买方案？

(3)设学校投入资金小元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

21.(本小题80分)

如图，在平行四边形4BCD中，E,F分别是AD,BC边上的点，S.DE=CF,连接BE和ZF的交点为M,CE和

DF的交点为N,连接MN,EF.

(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；

(2)若4D=6cm,求MN的长.

22.(本小题9.0分)

如图，点0是等边AHBC内一点，乙4OB=110°,乙BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△力DC,

连接OD.

(1)求证：△CO。是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断△4。。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△4。。是等腰三角形？

a

B

23.(本小题12.0分)

如图①，在平行四边形ABCD中，4B=4,力。=8.动点P沿AD边以每秒义个单位长度的速度从点4向终点。运

动,设点P运动的时间为t(t>0)秒.

(1)线段PD的长为(用含t的代数式表示).

⑵当CP平分立BCD时，求t的值.

(3)如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动.P、Q两点同时出发，当点

P停止运动时，点Q也随之停止运动.当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

,•1।(图②)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4、是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不符合题意：

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不符合题意；

。、既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】D

【解析】解：A.-x2+4%=-x(x-4),故此选项错误；

B.x2+xy+x=x(x+y+1).故此选项错误；

C.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误；

D.x(x—y)+y[y—x)

=x(x-y)-y(x-y)

=Q-y)2,故此选项正确;

故选：D.

直接利用提取公因式法以及公式法分解因式分别判断得出答案.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键.

3.【答案】D

【解析】解：A、不等式两边同时加上1,不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；

8、不等式两边同时乘以3,不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；

C、不等式两边同时乘以-2,不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；

。、不等式两边同时乘以负数c,不等号方向改变，故本选项错误，符合题意.

故选：D.

利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向

改变.

本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个

负数时，不等号方向改变.

4.【答案】C

【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据

多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

设这个多边形是n边形，内角和是(n-2)-180。，这样就得到一个关于ri的方程，从而求出边数n的值.

解：根据多边形的外角和是360。，n边形的内角和是(n-2)•180。.

设这个多边形是n边形，

根据题意得(n-2)x180°=2x360°,

解得n=6,

即这个多边形为六边形.

故选：C.

5.【答案】D

【解析】解：「DE是BC的中垂线，

.・.BE=EC,

则48=E8+4E=CE+E4

又・••△ACE的周长为11,

故AB=ll-4=7,

直线DE上任意一点到力、C距离和最小为7.

故选：D.

利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算.

本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距

离相等)有关知识.难度简单.

6.【答案】B

【解析】解：因为正比例函数为="经过二、四象限，所以a<0,①正确；

一次函数丫2+b经过一、二、三象限，所以b>0,②错误；

由图象可得：当x>0时，为<0,③错误；

当％〈一2时，月>为，④正确；

故选：B.

根据正比例函数和一次函数的性质判断即可.

此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断.

7.【答案】5

【解析】解：点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b),

则a=2,b——3,

a—b=5,

故答案为：5.

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

8.【答案】a(a+2b)(a-2b)

【解析】解：原式=a(a2—4b2)=a(a+2b)(a—2b),

故答案为：a(a+2b)(a-2b)

原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

9.【答案】102

【解析】解：等边三角形的内角的度数是60。，正方形的内角度数是90。，正五边形的内角的度数是：1(5-

2)X180°=108°,

Zl+Z24-Z3=360°-60°-90°-108°=102°.

故答案为：102.

三角形的外角和360。，利用360。减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去

正五边形的一个内角的度数，即可得出答案.

本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键.

10.【答案】-10

【解析】解：将原方程两边都乘以(x-5)得，

2x=3(x—5)—a,

x=15+a,

此时x的系数不可能为0,所以当分式方程的结果是x=5时方程无解，

把x=5代入得，

得a=-10,

故答案为：—10.

由题意将该方程化为整式方程，工系数为0的情况不存在，所以讨论分式方程增根x=5的情况，把它求解即

可.

此题考查了分式方程无解的情况，关键是掌握分式方程无解两种情况：①分式方程有增根：②化为整式方

程后，未知数系数为0.

11.【答案】42

【解析】解：由平移的性质知，BE=6,DE=AB=9,

OE=DE-DO=9-4=5,

"S四边形ODFC=S梯形ABEO=|(AB+OF)-FE=|x(9+5)x6=42.

故答案为：42.

根据平移的性质得出BE=6,DE=AB=10,则。E=6,则阴影部分面积=S磔胸.c=S豳%BEO，根据

梯形的面积公式即可求解.

本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形4BE。的面积相等是解题的关键.

12.【答案】(-4,1)或(2,3)或(4,一1)

【解析】解:分三种情况:

①当四边形。48M为平行四边形时，如图1所示：

则BM〃A。，BM=AO,

•••。、4、B的坐标分别是(0,0),(3,1),(-1,2),

二把点。向左平移3-(-1)=4(个)单位，再向上平移1个单位得M的坐标,

•••M(-4,l)；

②当四边形。4MB为平行四边形时，如图2所示：

则BM〃A。，BM=A0,

•••0、A、B的坐标分别是(0,0),(3,1),(-1,2),

・•・把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标,

•••”(2,3)；

③当四边形。B4MM为平行四边形时，如图3所示：

则AB//MO,AB=MO,

•••。、4、B的坐标分别是(0,0),(3,1),(-1,2),

・•・把点4向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，

•••”(4,-1)；

综上所述，点M的坐标为(-4,1)或(2,3)或(4,-1)；

故答案为：(一4,1)或(2,3)或(4,一1).

分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可.

本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、平移的性质等知识，正确画出图形，利用分类讨

论思想是解题的关键.

13.【答案】解：⑴把4(-30,0)和贷网代入”H+力得仁30”^。，解得k=2,

3=15(b=15

•••直线SB的解析式为y="+15；

(2)当x=0时，y=x+5=5,则C(0,5),

解方程组［y=/+15得匕z工则P(20,15),

(y=x+5⑶=外

PBC的面积=(15-5)x20=100；

(3)不等式kx+bV%+5的解集为久>20.

【解析】(1)利用待定系数法求直线解析式；

(2)先确定C点坐标，再解方程方程组卜=；久+15得P点坐标，然后利用三角形面积公式求解；

(3)写出直线y=x+5在直线y=kx+b上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小

于)0的自变量％的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点

的横坐标所构成的集合.也考查了待定系数法求一次函数解析式.

14.【答案】解：(1)解第一个不等式可得：%>1,

解第二个不等式可得：x<2,

故原不等式组的解集为：1<XW2；

(2)原方程两边同乘。一3),去分母得：一2+2(x-3)=1-x,

去括号得：-2+2X-6=l-x,

移项，合并同类项得：3%=9,

系数化为1得：x=3,

经检验，工=3是分式方程的增根，

故原方程无解.

【解析】(1)解各不等式后求得它们的公共部分即可；

(2)利用解分式方程的步骤解方程即可.

本题考查解一元一次不等式组及解分式方程，熟练掌握解方程组及分式方程的方法是解题的关键.

15.【答案】解：(田-土力号

.(g-2)(a+2)a(a-2)

一(。-2)2-2-

a+2+1Q(Q-2)

a-22

Q(Q+3)

-2-

_a2+3曾

2

va2-2a0,

解得：aH0,QW2,

・•.当a=1时，

原式=的受=2；

当a=一1时，

原式=(T)2+3x(l)=_

2

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

16.【答案】解：・••△ABD逆时针旋转后得到AACE,C点落在BD边上，

AB=AC,Z.D=Z.E=20°,

LBAD=90°,

•••4B=90°-ZD=70°,

AB=AC,

Z.ACB=Z.B=70°,

4BAC=180°-70°-70°=40°,

即MAC的度数为40。.

【解析】先根据旋转的性质得到48=AC,3=4=20。，再利用互余计算出NB=70°,然后根据等腰三

角形的性质和三角形内角和计算出484c的度数.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等.

17.【答案】解：(l)AAEF是等腰三角形，

理由：•••AB=4C,

・•・乙ABC=乙ACB,

・・•EF//BC,

・•.Z.AEF=Z.ABC,Z-AFE=乙ACB,

:.Z.AEF=Z.AFE,

.•.△4EF是等腰三角形；

(2)•••△力BC的周长为18,BC=6,

AB+AC=18-6=12,

•・•8。平分4ABC,

・•・乙ABD=乙CBD,

•・,EF"BC,

・•・Z,EDB=乙DBC,

・•・乙ABD=乙EDB,

・•.BE-ED,

同理DF=CF,

・••△4EF的周长为：AE+EF+4F=4E+ED+FD+4F=4E+EB+FC+AF=+4C=12.

【解析】(1)根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；

(2)根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论.

此题考查了等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关

键.

18.【答案】解：(1)△AiBiG如图所不，点4］的坐标(2,—4)；

(2)△4B2c2如图所示，点4的坐标(一2,4).

【解析】(1)分别找出4、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出为点坐标；

(2)将△&B1G中的各点为、为、Q绕原点。旋转180。后，得到相应的对应点4、殳、C2,连接各对应点即

得△A2WC2,根据图形写出/点坐标.

本题考查图形的轴对称变换及旋转变换.解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点

的对应点，然后顺次连接即可.

19.【答案】(m+n)2-4?7m(m—n)2

【解析】解：(1)由题意得，

图②中阴影部分的面积为(m+n)2-4mn或(m-n)2,

故答案为：(m+n)2—4nwi,(m—n)2；

(2)由(1)题可得,

(m+n)2—4mn=(m—n)2,

.•・代数式(m+n)2,(m—n)2,nm之间的等量关系可表示为：(TH+n)2—4mn=(m—n)2；

(3)由(2)题结果可得，

(a+以—4ab=(a—b)2,

a-b=±7(a+Z?)2-4ah,

，当a+b=6,ab=5时，

a-b

=士，62-4x5

=±V36-20

=±>Tl6

=±4.

(1)分别运用大正方形面积减去4个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图②中阴影部分的面积;

(2)根据第(1)小题结果进行求解；

(3)运用第(2)小题结果代入、求解.

此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思

想进行求解.

20.【答案】解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：

(2a+b=35

la+3h=30'

解得K:,

答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；

(2)根据题意得：

955<15x+5(120-x)<1000,

解得35,5<x<40,

・••x是整数，

%=36,37,38,39.40.

・,.有5种购买方案；

(3)〃=15%+5(120-%)=10x+600,

v10>0,

.1.W随》的增大而增大，

当x=36时，W■炭於=10x36+600=960(元)，

120-36=84.

答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元.

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：

(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出W关于x的一次函数关系式.

(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购

买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；

(2)根据题意列不等式组解答即可；

(3)求出〃与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可.

21.【答案】(1)证明：•••四边形4BC。是平行四边形，

•■AD//BC,AD=BC.

DE=CF,

AE=BF.

•••四边形ABFE是平行四边形；

(2)解：•••DE=CF,AD]IBC,

•••四边形DEFC是平行四边形，

DN=FN,

•••四边形ABFE是平行四边形，

：.AM=MF,

1

MN//AD,MN=^AD=3cm.

【解析】(1)由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形4BFE为平行四边形；

(2)由平行四边形的性质可得。N=FN,AM=MF,由三角形中位线定理可求解.

本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关

键.

22.【答案】解：(1)证明:•••将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△4DC,

CO=CD,Z.OCD=60°,

.•.△COD是等边三角形；

(2)当a=150。时，△4。。是直角三角形.

理由是：•・・将△BOC绕点。按顺时针方向旋转60。得4ADC,

BOC^^ADC,

・・・Z.ADC=Z.BOC=150°,

又••・△COD是等边三角形，

・••Z.ODC=60°,

・•・/,ADO=/-ADC-Z-ODC=90°,

•・・za=150°,Z.AOB=110°,(COD=60°,

・•・/.AOD=360°-Z,a-乙AOB-乙COD=360°-150°-110°-60°=40°,

・•・△40