辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二年级上册10月月考数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体

2023-2024学年度上学期高二年级10月月考试题

数学

命题人：康平县高级中学何庆超评审题人：沈阳市第八十三中学于洋

考试时间：120分钟试卷总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷选择题（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的.

1.已知向量a=（2,-1,3）,A=（-4,九〃），且a〃人，贝|」〃/+八=（）

A.4B.6C.-4D.-6

2.若46=38+2。石，则直线48与平面。。七的位置关系是（）

A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内

3.已知平面直角坐标系中点4（1,一2）,3（机,2）且直线A8的法向量是（4,-2）则实数用的值是（）

A.-2B.-7C.3D.I

4.直线/经过A（2,l）］（l,>XMER）两点，那么直线/的倾斜角的取值范围为（）

八冗3八兀

A.[0,%）B.0,一-7tKC.0,—

444

5.己知直线/的方程为（X+2）x+（X—l）y_3X=0（/l£R）,当原点。直线到/的距离最大时，X的值为

（）

A.-5B.-1C.1D.5

6.直线/的方向向量为比=（1,0,—1）,且/过点则点P（—1,2,1）到/的距离为（）

A.yf2B.V3C.V6D.2加

7.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的儿何体，下图是棱长均为1的柏拉

图多面体Q、M.N分别是OE、AB.AD,8尸的中点，则PQ-MN=（）

8.已知NAC8=60°,P为平面ABC外一点，「。=2,。到445。两边4。、3c的距离都为J5,则尸到

面ABC的距离（）

A.—B.C.百D,273

33

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若直线/的方向向量为e=（1,0,3）,平面a的法向量为“=1-2,0,|）,则直线/〃e

111

B.若对空间中任意一点。，有OP=—OA+—O8+—OC,则尸、AB、。四点共面

442

C.若｛a/,c｝为空间的一个基底，则｛a+九人+c,c+.构成空间的另一个基底

D.同一问=卜+司是a功共线的充要条件

10.下列说法错误的是的是（）

9

A.直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是？

B.若三条直线%+>=0/->=0/+4>=3-。不能构成三角形，则实数a的取值集合为｛-1,1｝

C.经过点（1,2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或X->+1=0

D.过（王,凶）,（9,%）两点的直线方程为三互=三以

y2—M一工1

11.在正三棱柱ABC-4用G中，所有棱长为1,又8G与3。交于点O,则（)

A.B.AO±ByC

C.三棱锥A-880的体积为也冗

D.AO与所成为的角为一

246

12.已知正方体ABC。-qgGA的棱长为2,点E为棱CG的中点，点?在侧面5CC百上运动，且直线

A/平行于平面A"E,下列说法正确的（）

A.P的轨迹长度为J5

B.直线AJ与直线所成角记为。，贝Using的最小值为:

C.平面ARE与平面8CG4所成的锐二面角记为a，则cosa=g

7

D.平面ARE将正方体分成的两部分体积之比为一

16

第n卷非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线/|：（。一2）%+〉+1=0与直线/2：2工一（。+1）丁一2=0互相平行，则实数a的值为.

14.过点P（0,l）且和A（3,3）,3（5,-1）的距离相等的直线方程是.

15.长为4的线段AB的两端点在直二面角e-/一夕的两个面内，且与这两个面都成30°角，求异面直线

与/所成的角为.

16.如图所示在三棱锥。一ABC中，侧面PACJ_底面ABC,底面ABC是边长为1的正三角形，侧面PAC

中，PA=PC,且NAPC=90°,M为棱中点，则直线AB上任意一点与PM上任意一点距离的最小值

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线4:mx+3y+l-Q,l2:x+（＜m+2）y+2m-1=0.

（1）若4与4垂直，求实数机的值;

（2）若直线4在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，求实数加的值.

18.在棱长为2的正四面体ABCD中，BM=MC

(1)设A5=a,AM==C用a,表示C。；

8

(2)若AN=/IA。，且AM・CN=一-,求2

3

19.已知直线/:%-2〉+4=0,点4（0,4）,点8（—2,-4）,点尸（"?,〃）在直线/上移动,

(1)求加2+〃2-2m+2〃的最小值:

（2）求||P8|-|P4||的最大值，以及最大值时点P的坐标

20.如图，在正四棱锥P-ABCD中，。为底面中心，AB=3j5,PO=3,M为尸。的中点，BE=-EP.

2

（1）求证：DM〃平面E4C；

（2）求：（i）直线DW到平面E4C的距离；

（ii）求直线MA与平面E4c所成角的正弦值.

21.在八钻。中，已知4（3,-2）,B（5,4）,且边AB上的中线。。在丁轴上的截距为2.

（1）求直线8的一般式方程；

（2）若点C在x轴上方，AACD的面积为百，且过点C的直线/在x轴、y轴上的截距相等，求直线/的

方程.

22.如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，为等边三角形，平面尸45_1平

面ABCZ）,PB_LBC.

（1）求点A到平面PBC的距离；

（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面A88所成的角的正弦值为零，求平面AC陀与平面ABC。

夹角的余弦值.

23-2024学年度（上）沈阳市郊联体10月份考试

高二数学答案

一、单项选择题:

1.C2.D3.C4.D

5.A6.B7.A8.B

二、多选题：

9.BC10.BCD11.AC12.ABC

三、填空题

13.a=014.2x+y-l=0；>-1=0(或尸-2x+l；y=l)

V3

15.-(450)16.—

44

四、解答题

17.(1)4:mx+3y+1=0；/2:x+(m+2)y+2m-1=0

且直线4与4垂直

所以根xl+3（m+2）=0（1分）

3

解得机=—（3分）

2

（2）因为直线4在连个坐标釉截距的绝对值相等，

所以当直线在两个坐标轴截距为0时，2m-1=0,解得相=—(5分)

2

当直线在两个坐标轴截距相等且不为。时，m+2=-1,解得加=-3(7分)

当直线在两个坐标轴截距相反且不为0时，加+2=1,解得加=-1(9分)

综上所述〃?=4或加=-3或川=-1(10分)

2

18.(1)因为前=近，所以M是棱BC的中点，

所以四+同=2AM,

则前=2AM-AB=2b-a>

故而=同一而=2—(2»—五)=为一2»+下

(2)因为而Z=4而，所以丽=而一旅=4而一刀，

在棱长为2的正四面体4BC。中，ABAC=AB-AD=AC-AD=2

所以祠-CN=^(AB+AC)•(AAD-J?)=(2A-22+2A-2)=2A-3=-1,

解得4=I

o

(1)法一：因为直线点P(m,n)上,所以m-2n+4=0.

m-2M-4,所以旭2+〃2-2m+2〃=(2〃-4尸+n2-2(2〃—4)+2〃

g30

=5〃2一18〃+24所以当〃=二时，原式取得最小值y

法二：因为根2+〃2-2m+2〃=(加一1>+(〃+1)2-2

令d=Jo—1)2+(n+1)2,则原式为屋—2

所以d的最小值为(1,-1)与直线x—2y+4=0的距离，

即:毕1=述

V55

所以原式最小值为(手)2-2=g

(2)设A(0,4)关于直线/:%-2"4=0的对称点为4(0»

r-t।ci4+Z?Z?—41"j/日8.4

贝U2x----F4=0；----x—=—1解得〃=一,/?=一

22a255

所以仍用-归川的最大值为J(—2—|)2+(—4一§2=6

4

+4

5

并且取最小值时A'B所在直线方程为y+482)

-+2

5

44

即),=gx—将其与原直线联立可得取最值时R4,4)

所以最大值为6,此时P(4,4)

20.(1)证明：连接BD,则O是BD的中点，且4clBD.

在正四棱锥P-4BCD中，PO，平面ABCD,PO=3,AB=3&,所以4c=6,AO=3,以点O为坐标原点，

OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),4(3,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),M(0,0,|)-E(0,2,l),

DM=(0.3,1)，CA=(6,0,0),AE=(-3,2,1).

设平面EAC的法同量布=(x,y,z),则沅-CA=0,m-AE=0,B[jf_7v_n，取y=1,得记=(0,1,-2),

II乙yI4\J

,：DM-m=0,：.DMA.m,：DM在平面EAC外，，DM//平面EAC.

(2)(i)而=(一3,—3,0),.,.直线DM至U平面EAC的距高£/=^^=2=述.(8分)

\m\V55

(ii)6=(3。-》则cos(值词=端篇=京=|，

直线MA与平面EAC所成角的正弦值为|.

21：⑴根据题意得到点。(4,1).又直线CD过点(0,2).

根据两点式得直线CD的方程为曰=盲，即x+4y—8=0.

(2)因为AACC的面积为3点。是线段AB的中点，所以△ABC的面积为39.

设点C的坐标为(8-4t,t)(t>0),点C到直线AB的距离为d,

因为|AB|=J(5—3尸+(4+2尸=2710.

所以，48・d=39,解得d=第，

因为直线ZB的方程为y+2=(x—3),即3%—y—11=0,

所以点C到直线4B的距离d=[迎嘴匕叫.=磊，

解得t=4(t=—2舍去)，所以点C坐标为(—8,4).

当直线，过原点时，直线，的方程为y=即x+2y=0.

当直线/不过原点时，设直线I的方程为?+?=1,

将点C坐标代入得m+±=1,

aa

解得a=-4,

此时直线I的方程为x+y+4=0.

综上所述，直线I的方程为x+2y=0或x+y+4=0.

22(此题学生用空间向量法和几何法求距离，二面角都可以，判卷老师课酌情给分)

(1)取AD中点O,连接OB,OP.

P40为等边三角形，：.OP1AD,OA=1,OP=V3.

又•.・平面P40_L平面ABCD,平面PAOn平面ABCD=AD,

OPu平面PAD,：.0PL平面ABC.

又u平面ABCD,：.OP1OB.

"：PB1BC,：.BC//AD,：.PB171D.

XVOP1AD,OPu平面POB,

PBu平面POB,OPCPB=P,.MO1平