高中数学讲义（人教A版必修二）：第02讲 平面向量的加法运算（教师版）

第2课平面向量的加法运算

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课程标准课标解读

1、通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法

与数量加法的异同.

1.理解并掌握向量加法的概念.

2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形

2.掌握向量加法的三角形法则和平行四

法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两

边形法则，并能熟练地运用这两个法则作

个向量的加法运算.

两个向量的加法运算.

3、.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连

3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作

接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算

图解释向量加法运算律的合理性.律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.

班;知识精讲

知识点01向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作油

=a,BC^b,则向量元叫做a与b的和，记作a+

b,即诵+诙=启.

向量求和

三角形法则这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

的法则

对于零向量与任意向量规定a+0=0+a=a

以同一点。为起点的两个已知向量a,b,以OA,

OB为邻边作口0AC8,则以O为起点的向量5aoe

是口。的对角线）就是向量a与b的和.把这种作

平行四边形

两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

法则

B,a.

产---------<4

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的

物理模型.

【即学即练1】化简CB+AD+3A等于（）

A.DBB.CAC.CDD.DC

答案C

…「CB+AD+BA=（CB+BA\+AD=CA+AD=CD工人但

解析\）.故选:C.

知识点02向量加法的运算律

交换律a~\~b=b~\~a

结合律(a+5)+c=a+3+c)

【即学即练21［多选］如图，在平行四边形428中，下列计算正确的是（）

B.AB+CD+DO=OA

UCIUUUIUUlUUUUU1

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

解析：选ACD由平行四边形加法法则可得：AB+A£»=AC,A正确;

由三角形力口法法贝ljAB+Cr>+£>O=A2+CO=A2+OA=O8，B错误；

AB+AD+CD=AC+CD=AD，C正确；

AC+BA+DA=BC+DA=O>D正确.

故选：ACD

知识点03向量加法的实际应用

【即学即练3】在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为lOm/min,若船沿垂直于水流的方向航行,

求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）.

答案答案见解析.

解析如图所示，

A。表示船速，AB表示水速，以AD、为邻边作YABCD,则AC表示船实际航行的方向.

所以卜卜20m/min,卜目=10m/min,

BC

在RtZ\ABC中，tanZBAC=——=2.

AB

所以船实际行进的方向的正切值为2.

初拓展

考法01向量的加法法则

【典例1］已知在边长为2的等边ABC中，向量£,6满足=BC=a+b，则|卜（）

A.2B.272C.2A/3D.3

答案C

解析如图所示:

设点。是AC的中点，

由题可知：b=BC-AB=BC+BA=2BD

W=2即=2V22-!1=26.

故选：C.

【变式训练】

1.已知a,仇c是非零向量，则(a+c)+6,b+(a+c),b+^c+aj,c+(a+6),c+(6+a)中，与向量q+6+c

相等的向量的个数为()

A.5B.4

C.3D.2

答案A

解析因为向量的加法满足交换律和结合律，

所以(a+c)+b,6+(a+c),6+(c+a),c+(a+6),c+(b+a)都等于°+6+c，

故选：A

2.在,.ABC中，。是BC边上的点且AC+2AB=3AD，若8C=/IDC则2=

3

答案y##1.5

解析因为在，ABC中，。是8c边上的点且AC+2AB=3A。，

所以2(AD-AB)=AC-AD,即。C=23D,

133

所以，BC=BD+DC=—DC+DC=—DC,即；l=—

222

3

故答案为：—

考法02相等加法运算律的应用

【典例2】如图所示，在,AfiC中，AQ=QC,AR=gA3,B。与CR相交于点/.

⑴用AB和AC分别表示BQ和CR;

(2)若AI=mAB+nAC,求实数m和”的值.

答案(1)BQ^-AB+^AC,CR^-AC+^AB

,、12

(2)m=—,n=—

AQ=-ACBQ=BA+AQ=-AB+-AC

解析(1)由2,可得2

AR=-AB,:.CR=CA+AR=-AC+-AB

33

(2)

(2)^AI=AB+ABQ=AC+JuCR,BQ=-AB+^AC,CR=-AC+^AB

代入AB+^BQ=AC+fdCR,贝U有AB+21AB+—=AC+〃1AC+—AB

',1

1—A=—£/,

11Qr5

即+—4AC=—+-〃)AC,：.<解得<

23」/=]_〃，3'

〔2尸

"1A1212

i^AI=AB+-\-AB+-AC\=-AB+-AC,即m=

【变式训练】

1.如图，正六边形ABCDEF中，则3A+CD+EF=（）

E

C

BA

A.0B-EBC.ADD.CF

答案D

解析由已知，ABCDEP为正六边形，所以CD=AF,EF=CB,

所以BA+8+EF=BA+A尸+C3=8P+C8=C尸.

故选：D.

2.（多选）在平行四边形ABCD中，点、E,厂分别是边BC和0c的中点，P是。E与8尸的交点，则有（)

uunuuniuun

A.AE=AB+-ADB.AF=-AB+-AD

222

22

C.AP=-AB+-ADD.CP=-CD+-CB

3322

答案AC

解析如图所示:

对A,AE=AB+BE=AB+-BC,

2

又，BC=AD，

uunuuniuun

即AE=A8+—AO,故A正确；

2

对B,AF=AD+-DC=-AB+AD,故B错误;

22

对C,设。为AC与BD的交点,

由题意可得：尸是△CBD的重心,

故。尸=2PO,

222

AP=AO+OP=-AC=-AB+-AD,故C正确；

对D,CP-|cO-|xf|cB+|cDK|cB+|cr>,故D错误.

J乙乙JJJ

故选：AC.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.已知平面向量〃、b、C，下列结论中正确的是（）

A.若〃〃贝1］々=办B.若k+0=忖+忖，贝！Ja〃b

C.若a〃b,bllc,则a//cD.若则a=b

答案B

解析对于选项A：若“、6为非零向量，a//b,但口不一定等于忖，故°=万不成立，A错误;

对于选项B：,+0=忖+忖可知〃、。同向，于是可知°、匕共线，即°〃6,故B正确；

对于选项C：若匕为零向量，allb,A//c不一定能推出Q〃c,故C错误；

对于选项D：M=W，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出“=》，故D错误；

故选：B

2.下列说法错误的是（）

A.向量CO与向量。C长度相等B.单位向量都相等

C.0的长度为0,且方向是任意的D.任一非零向量都可以平行移动

答案B

解析因为CD=-OC，所以C。和。C互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为1,但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

3.如图所示，已知在&ABC中，。是边A3上的中点，则CD=（）

A

B.-BC+-BA

2

D.BC+-BA

2

解析由于。是边AB上的中点，则80=1胡.

2

CD=CB+BD^-BC+-BA.

2

故选：B.

4.ABC中，M,N分别为AC,BC的中点，AN与BM交于点,0,下列表达正确的是（）

A.CO^-NO+-MOB.CO=NO+MO

22

33

C.CO=-NO+-MOD.CO^2NO+2MO

22

答案D

取AB中点E,连CE,则点。为ABC的重心，

uunuuruumriuuinuuuruumruuuuuruum

:.OE+OM+ON=0,——OC+OM+ON=0OC=2OM+2ON,

2

即CO=2MO+2NO,

故选：D.

5.在2ABe中，已知。为A3上一点，若AD=3DB，则C£>=(

3113

A.-CA+-CBB.-CA+-CBC.3CA-CBD.CA-3CB

4444

答案B

解析因为AO=3DB，

13

所以CD=C3+3D=A3—AC——AB=-AB-AC

44

=-(CB-CA\+CA=-CA+-CB.

4、>44

故选：B.

6.若“IBC的边3C上两点O,E满足5O=0E=EC，贝J()

A.|AB|+|AC|=|AD|+|AE|B.|AB|.|AC|=|AD|.|A£|

c.AB+AC^AD+AED.ABAC^ADAE

答案C

解析若是等边三角形时，k.=kc卜|A4=|AE|,故A,B错误

因为BD=DE=EC，所以RE是3c的三等分点，

设3C的中点“，则〃也是OE的中点，

所以AB+AC=2A^，AD+AE=2AM,即AB+AC=AD+4乃•故C正确;

若ZBAC=90,则AB.AC=0，ADAE^O,D错误

故选：C

7.（多选）下列说法中，正确的是（）

A.若向量AB,CD满足IAB|=|C£）|,AB与CD同向，则AB＞C。

B.若两个非零向量AB,CD满足AB+CD=O,则AS,C£＞是互为相反向量

C.A2=CD的充要条件是A与C重合，8与。重合

D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件

答案BD

解析对A：向量不可比较大小，故A错误；

对B：若两个非零向量AB，C£＞满足AB+CD=0，则,台卜口“，且方向相反，故AB，CD互为相反向量，

B正确；

对C：A与C重合，3与。重合，故AB=C_D，充分性成立；但AB=C。，根据向量可平移性，不一定有A

与C重合，8与。重合，必要性不满足，C错误；

对D：模为。的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为0,

必要性成立，

即模为0是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.

故选：BD.

8.（多选）下列说法中，正确的是（）

A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件

B.若向量AB，C。满足|4B|=|C£>I，AB与CO同向，则AB>CD

C.若两个非零向量AB，CO满足48+8=0,则AB，CO是互为相反向量

D.AB=CZ）的充要条件是A与C重合，5与。重合

答案AC

解析解：对于A,只有零向量的模长为0,且方向是任意的，

因为模长为。的向量方向是不确定的，所以充分性成立，

因为一个方向不确定的向量的模长为0,所以必要性成立，故A正确，

对于B,表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比

较大小，故B错误，

对于C,由AB+C£）=0可得=即A8与CD模长相等，方向相反，所以AB，CO互为相

反向量，故C正确，

对于D,由于向量可以平行移动，所以由=C£>不一定能得到A与C重合，3与。重合，故D

错误，

故选：AC.

9.在一ABC中，点P满足A8+Ae=4AP，贝UABP与ABC的面积比为

答案y##0.25

4

解析取3c边的中点。，连接AO,如图所示，

因为A3+AC=4AP,即AB+AC=2AD=4AP,所以AD=2AP，即P点为AD的中点，所以

SABP=/$ABD=W$ABC-

故答案为：—

4

10.如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面A5C。是平行四边形，E为尸。中点，若P4=〃，PB=b，PC=c，

贝13E=.

P

解析解：

111111131

BE=—(BP+BD)=-(-b+BA+BC)=一一b+—(PA—PB+PC—PB)=——b+-(a+c-2b)=-a——b+-c.

131

故答案为：；。一？+/.

222

11.向量的和、向量的加法：已知向量a和6，,则向量OB叫作a与6的和，记作：

.求两个向量_________的运算叫作向量的加法.

答案在平面内取任取一点。，作。4=a，AB=ba+b和

12.在一ABC中，。是3c边上的点且AC+2AB=3AD,若BC=；IOC则2=.

3

答案-##1.5

2

解析解：因为在，ABC中，。是8C边上的点且AC+2A3=3A。，

所以2(AD-A3)=AC-AO,即。C=2BD,

133

所以，BC=BD+DC=-DC+DC=-DC,即;l=—

222

3

故答案为：—

题组B能力提升练

1.若非零向量。力满足卜+可=忖，则()

A.|2^|>|2tz+Z?|B.\2a\<\2a+b

C.|2&|>|a+2Z?|D,网斗+24

【答案】C

【详解】因为k+小阵

...卜+2司=卜+6+司4,+司+忖=2忖.

若a+6与6共线，由卜+同州则中有一个必为零向量，

;.a+6与6不共线，即卜+2万卜国，

|2Z>|>|a+2Z?|.

同理知无法判断|24|,|2。+可之间的大小关系.

故选：C.

2.已知ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是（）

A.|AB+BC|=|BC+C4|B,\AC+CB\=\BA+BC\

c.\AB+AC\=\CA+CB\D.|AB+BC+AC|=|CB+BA+CA|

【答案】B

【详解】解：对于A,因为卜2+叫=|AC|,忸。+司=|BA|=|AC|,

所以k2+Bc|=kc+C4],故正确；

对于B,因为,。+（7q=,目,忸4+24=2|3。|=一|43|（。为AC中点），故错误;

对于C,因为|A2+AC|=2|AE1否|AB|（E为3c中点），

|C4+Cq=2|C尸|=642|（歹为四中点），

所以|A2+AC|=|C4+C@,故正确；

对于D,因为|AB+2C+Aq=|0|=0,|CB+BA+G4|=|O|=O,

所以网+20+4。卜[2+胡+叫故正确.

3.若非零不共线的向量商力满足1。+石1=1〃1,则（）.

A.|la|>|2a+b\B.12a|<|2a+b\C.12b|>|a+2b\D.12b|<|a+2b\

【答案】c

(2)

由非零向量a,万满足卜+*W

当a,6不共线时，可考虑构造等腰三角形，如图（1）所示，OA=a,AB=b,

则=d+在图（1）中,CA=2a,CB=2a+b,

不能比较|2司与忸+0的大小;

在图（2）中，由43=8。=6,。8=。+6,,+“=怜|,得OB=AB=BD,

所以△04。为NAOD=90的直角三角形.

易知AD-2b,OD=a+2b,

由三角形中大角对大边,得设卜卜+2%

故选：C

4.a,b为非零向量，且卜+@=k|+忖，则（）

l

A.a/lb，且“与6方向相同B.a,6是共线向量且方向相反

C.a=bD.无论什么关系均可

【答案】A

【详解】当两个非零向量a,6不共线时，a+b的方向与6的方向都不相同，且卜+6卜门+卜卜

当两个非零向量6同向时，6的方向与a,6的方向都相同，且,+0=忖+忖；

当两个非零向量a,6反向时且卜|＜卜|,a+6的方向与B的方向相同，且|2+0=忖-卜|,

所以对于非零向量^A,且卜+0=忖+忖，贝心/苏，且3与6方向相同.

故选：A.

5.（多选）下列关于向量的叙述正确的是（）

A.向量,8的相反向量是区4

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且AB=CD,则=

D.若向量a与6满足关系a+6=0，则a与很共线

【答案】ABD

【详解】解：A向量AB的相反向量是BA，正确：

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：

C.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且AB=CD,则A2=C£）,不正确，因为A8与C。可能方向相反;

D.若向量0与b满足关系a+6=0，,a=，则a与方共线，正确.

故选：ABD

6.（多选）设尸是二。钻内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）

24

A.OP=-OA+-OBB.OP=-OA+-OB

5555

24

C.OP=-OA+-ABD.OP=-OA+-AB

5555

【答案】AC

【详解】对于A：如下图所示，可知P在一。43内部，故成立;

对于B：如下图所示，可知尸在。钻外部，故不成立;

如下图所示，可知尸在一。4B内部，故成立;

如下图所示，可知P在.。旬外部，故不成立;

故选：AC.

7.一架救援直升飞机从A地沿北偏东60。方向飞行了40km到达8地，再由2地沿正北方向飞行40km到

达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.

【答案】直升飞机位于A地北偏东30。方向，且距离A地406km处

【详解】如图所示,

设"，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC=AB+3C.

在RtZkABD中，阿卜20km,|叫=2(X/5km.

在RtAACD中，=^|AD|2+|DC|=40辰m，ZCAD=60°,

即此时直升飞机位于A地北偏东30。方向，且距离A地404km处.

8.在静水中船的速度是40mzmin,水流的速度是20m/min.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对

岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？

【答案】船的航行方向与水流方向成120。，船的实际航速为20国/min

【详解】解：设A8表示水流的速度，表示船实际航行的速度，AO表示船行驶的速度,

则四边形ABCD为平行四边形.

所以AB=OC，ZDCA=90°,

因为/OC4=90。，于是|902-1CD『="o?-20?=20人,

所以ZZMC=30。，NC4B=120°,

故船的航行方向与水流方向成120。，船的实际航速为20&/min.

题组C培优拔尖练

1.如图，D,E,P分别为ABC的边AB,BC,CA的中点，贝U()

C.AD+CE+CF=0D.BD+BE+FC=O

答案A

解析解：D,E,P分别是-MC的边45,BC,C4的中点，

111

AD=-AB,BE=—BC,CF=—CA,

222

贝［jAD+BE+CF=^CA+^AB+^CA=^(CA+AB+CA)=O,故A正确；

BD+CF+DF=-BA+-CA+-BC=-BA+-(BC+CA\=BA,故B错误；

22222、'

AD+CE+CF=-AB+-CB+-CA=-(CA+AB)+-CB=CB,故C错误；

2222、'2

BD+BE+FC=-BA+-BC+-AC=-(BA+AC)+-BC=BC,故D错误;

2222、'2

故选：A.

2.如图所示，点。是正六边形ABCDEF的中心，贝UOA+OC+O£=()

A.0B.0C.AED.EA

答案A

解析连接OB.

由正六边形的性质，可知OAB与△OBC都是等边三角形,

：.OA^AB^BC=OC

四边形0A8C是平行四边形,

:.OA+OC=OB，

/.OA+OC+OE=OB+OE=0,

故选:A.

3.（多选）在YABCD中，设AB=a,AD=b,AC=c，BD=d，则下列等式中成立的是（）

A.a+b=cB.a+d=bC.b+d=aD.|a+Z?|=|c|

答案ABD

解析由向量加法的平行四边形法则，知a+6=c成立，

故卜+母=口也成立；

由向量加法的三角形法则，知q+d=b成立，6+d=q不成立.

故选：ABD

4.（多选）设「=（矗+&>]+[启+&],了是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（）

A,aHba+b=a

C.2+b=bD.,

答案AC

解析由题意，a=AB+BC+CD+DA=AC+cb+DA=^>+DA=O'易知A,C正确，B错误；平面向量

不能比较大小，故D错误.

故选：AC.

5.在AABC中，AC=BC=^-AB=1,且CE=JCCA，CF=yCB,（其中x,ye（0,1））,且无+4y=l,若M,

N分别为线段政，A3中点，当线段MN取最小值时尤='=

委案31

77

解析连接CM,CN,如图所示：

由等腰三角形中，AC=BC=1,AB=若知/AC3=120°

所以

2

CM是ACE尸的中线，

CM=g(CE+CP)=*CA+yC8)

同理可得CN=-(CA+CB)

2

MN=CN-CM=^(l-x)CA+^(l-y)CB

-1,111,

MN=4(1_尤)-+5(1_彳)(1_〉)*(-5)+^(1_)0-

又x+4y=l,

,21231

MN=—y---y+-,x,y^(fi,11)

i3

故当》时，政「有最小值，此时x=l-4y=,.

故填三3」1.

77

6.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，

风向是北偏东30。，风速是30km/h；水的流向是正东方向，流速是30km/h,若不考虑其他因素，救生艇

在洪水中漂行的速度的方向是北