2023年秋季高一入学分班考试模拟卷 数学（新高考地区专用）

2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考地区专用）

数学试题

本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.2023年I月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的

研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（）

A.2.03x108年B.2.03x109年C.2.03x10'°^D.20.3xl（）9年

2.下列运算正确的是（）

A.（-2a）2=-4a2B.（a-b）2=a2-b2C.（-m+2'）（-m-2'）=m2-4D.（叫一=，

3.下列说法正确的是（）

A.甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是Sj=4,Sj=14,则乙的成绩更稳定

B.某奖券的中奖率为荒，买100张奖券，一定会中奖1次

C.要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查

D.x=3是不等式2（x-1）＞3的解，这是一个必然事件

4.如图，点P是.的重心，点。是边AC的中点，PE〃AC交BC于点、E,。尸〃8C交EP于点F,若

四边形CDEE的面积为6,则，A3C的面积为（）

A.15B.18C.24D.36

5.从〃个不同元素中取出机（机W〃）个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的组

合数，用符号C；"表示,C：；J〃一1）（〃一2）…（〃—一〃2+1）…，"、m为正整数）；例如：C,-5x-4）

8x7x6

则c：+c；=()

3x2x1

A.C；B.品C.3D.《

6.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（。+4展开式的

系数规律.

1

11(a+b)i=a+b

121

(a+h)2=a2+2ah+b2

1331

(a+bf=/+3a26+3加2+/

当代数式12^+54x2-108X+81的值为1时，则x的值为（）

A.2B.-4C.2或4D.2或T

7.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为“、

b、C的.A5c的面积为5△/=g/片」.ABC的边〃、AC所对的角分别是N4、/B、

NC,则5^友＞=；出^布。=；。以布8=；/7以布/4,下列结论中正确的是（）

a2-+b，2--c~)a~0+,h2--2ca~>>+b.-~>-c~2

A.cosC=B.cosC=-----------C.cosC=------------D.cosC=

2ablablac2bc

8.定义：在平面直角坐标系中，对于点尸（3,yj,当点。（吃,必）满足2（玉+w）=%+%时，称点Q仇,必）

是点P（X，yJ的“倍增点”，已知点6（1,0），有下列结论：①点2（3,8）,2（-2,-2）都是点《的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点A是点片的“倍增点”，则点A的坐标为（2,4）；

③抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点P,的“倍增点”；

④若点B是点片的“倍增点”，则的最小值是竽.其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入.小

莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站,查询到/2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿

元），并对数据进行整理和分析.图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，

且在2Q,xv40这一组分配的额度分别是:25,28,28,30,37,37,38,39,39.图2是反映2016-2020

年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区8的分配额度变化折线图.则下列说法中正确的是（）

—♦-自治区4

图1图2

A.2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元

B.2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名

C.2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加

D.2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度比对自治区8的稳定

10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②

中，点A在直线/上往复运动，推动点B做圆周运动形成。，A8与8。表示曲柄连杆的两直杆，点C、

。是直线/与。的交点；当点A运动到E时，点8到达C；当点A运动到F时，点B到达D若A8=12,

OB=5,则下列结论正确的是（）

EAF\COD：

图I图2

A.FC=2B.EF=\2

C.当A8与：O相切时，E4=4D.当O8_LCD时，EA=AF

11.如图，在菱形ABC。中，按以下步骤作图：

①分别以点c和点。为圆心，大于gc。为半径作弧，两弧交于点〃，N；

②作直线MN,且MN恰好经过点A,与C。交于点E,连接BE.

则下列说法正确的是()

A.ZABC=60°B.S&ABE=2SMDEC.若他=4,则8£=4gD.sinZCBE=—

14

12.二次函数y=ox2+fex+c(a>0)的顶点为P,其图像与x轴有两个交点A(-m,0),B(1,0),交y

轴于点C(0,-3〃机+6a),以下说法中正确的是()

A.m=3

B.当24PB=120。时，a=&

3

C.当4尸8=120。时，抛物线上存在点M(M与尸不重合)，使得4ABM是顶角为120。的等腰三角形

D.抛物线上存在点N,当ZABN为直角三角形时，有

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图，在YMC。中，AB=6,4)=4,以A为圆心，AO的长为半径画弧交A8于点E,连接OE,

分别以DE为圆心，以大于;DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF,交DE于点M,过点〃

作MN〃AB交BC于点、N.则MN的长为.

DC

-----<4ci—\4

14.若关于x的一元一次不等式组2-，至少有2个整数解，且关于y的分式方程三+h=2有

非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是.

2

15.直线y=△+b与函数y=-—（x<0）的图象只有一个公共点A,且直线与X轴、》轴分别交于8、C

x

两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E,则下列说法正确的有（将正确的序号填

在横线上）.

®AB^AO-,②点（。㈤恒在抛物线）'=：炉上；③。3+OC是定值；

O

④矩形ADOE面积为定值；⑤和△AEC的面积之和为定值.

16.某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度〃（米）与球运行时间r（秒）之间满足函

数关系式/1=-5/+皿+〃，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米.如图，若某次投球正

好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度〃（米）与球运行

时间，（秒）之间满足的函数关系式为.（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的

最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母"L”表示.那么在这次投球过程

中，球入筐前L的取值范围是.（第1空2分，第2空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（1）计算：|3-疝-4sin60°+（V2）2.

5x-l<3（x+l）①

（2）求不等式组x+12犬+1否的解集.

----2-----②

25

（3）先化简，再求值+j其中x的值是方程d-2x-3=0的根.

（X+1）x~+2x+l

18.（12分）如图1,是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此

展板的最高点到地面的高度.他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得4?=12（）cm,B£>=80cm,

ZABZ）=105°,ZW=60°,底座四边形EFPQ为矩形，EF=5cm.请帮助该数学学习小组求出展板最

高点A到地面P尸的距离.（结果精确到1cm.参考数据：72®1,41.91.73）

19.（12分）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母

亲河”的社会实践活动.A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两

个小区居民的用水量x（n?）分为5组，第一组：5<x<7,第二组：74x<9,第三组：9<x<ll,第四

组：114x<13,第五组：13Vx<15,并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：

信息一:

甲小区3月份用水量频数分布表

用水量（x/m）频数（户）

5<x<74

7<x<99

9<x<ll10

ll<x<135

13<x<152

乙小区3月份用水量频数分布直方图

频

数

2

0

8

6

4

2

0

15用水量/n?

信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下:

甲小区乙小区

平均数9.09.1

中位数9.2a

信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为:9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)"=;

(2)在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为乙，在乙小区抽取的

用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为4,比较伪，%大小，并说明理由；

(3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数;

(4)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名

女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率.

20.(12分)某企业准备对4,B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析

2

得知：投资A项目一年后的收益〃(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为：)％=M工，投资B项

目一年后的收益力(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为：力=-(f+2x.

(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？

(2)若对48两个项目投入相同的资金(〃?>())万元，一年后两者获得的收益相等，则，"的值是多少？

(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金

共计32万元，全部投入到A,8两个项目中，当4,8两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益

之和最大？最大值是多少万元？

21.(12分)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

2.如图，在正方形ABC。中，CE工DF.求证：CE=DF.

证明：设CE与。F交于点0,

•••四边形ABC。是正方形，

/.ZB=ZDCF=90°,BC=CD.

：.ZBCE+NDCE=90。.

'：CELDF,：.ZCOD=90°.

二ZCDF+ZDCE=90°.；.ZCDF=/BCE.

：.△CBEg/XOFC.CE=DF.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

⑴【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG_L尸〃.试

猜想E名G的值，并证明你的猜想.

FH

(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=n，点、E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD,

DA±,且EGLF”.则E7=.

(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，ZZMB=90°,ZA5C=60°,AB=BC,点E、F分别在线段

的值.

22.(12分)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=*2(«>0)型抛物线图象.发现：如图1所

示，该类型图象上任意一点M到定点F(0,j)的距离ME始终等于它到定直线/：y=-j上的距

离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线/为图象的准线，叫做抛物

线的准线方程.其中原点。为FH的中点，FH=20F=J,例如，抛物线y=；N,其焦点坐标为尸（0,

1）,准线方程为/：y=-g.其中FH=2OH=\.

图1图2图3图4

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线/的方程：,.

（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线丫=:尤2上一点2到准线/的距离为6,求点P的坐标；

⑶【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y=»2Q>0）的焦点厂的直线依次交抛物线及准线/于点4、

B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将

一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：

空=器=止！.后人把避二1这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

ABAC22

如图4所示，抛物线的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点”（0,-1）,E为线段，尸的黄金分

4

割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当综=&时，请直接写出△印WE的面积值.

2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考地区专用）

数学•答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

12345678

BCDBCCAC

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9101112

ABCACABDABCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、4_14._4_15、①②④⑤

16、〃=-5产+30/+13：0ML440（第］空2分，第2空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

【答案】⑴2；⑵-34x<2；（3）x+1,4

【详解】解：⑴原式=26-3+3-4x3+2（2分）

2

=2百-2石+2

=2；（3分）

（2）由不等式①得：x<2；（4分）

由不等式②得：x>-3；（5分）

•••原不等式组的解集为：-34x<2；（6分）

（3）原式=

X4-1）X

x2（x+1）2

=---X-----

X+1X2

=x+\；（8分）

解方程/一2工一3二0

得玉=3x2=-\（9分）

,x2（x+l）200

xwO,xw-l；

x--3,

「•原式=3+1=4.（10分）

18.（12分）

【答案】159cm

【详解】解：如图，过点A作/于点G,与直线QE交于点儿过点8作8MLAG于点M,过点。

作。于点N,（1分）

，四边形QMWN,四边形ENG”均为矩形，（3分）

:.MH=ND,EF=HG=5,BM//DH,:.NNBD=NBDQ=60。,

：.ZABM=ZABD-ANBD=105°-60°=45°,（5分）

在RtAftW中，ZAMB=90°,,：sinZABM=sin45°=—,

AB

A>4A7=AB-sin45°=120x—=6072,（7分）

2

ND

在中，ZBND=90°,Vsin=sin60°=——，

BD

N£>=BZ>sin60°=80x±^=40jJ,MH=ND=40^,（9分）

2

/./\G=AM+M//+G/7=60x/2+4073+5=60x1.41+40x1.73+5*159（cm）,（11分）

答:展板最高点A到地面PF•的距离为159cm.（12分）

19.（12分）

【答案】（1）9.1（2）H>4,理由见解析（3）甲小区有40户，乙小区有50户（4）弓

O

【详解】（1）解：•••随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数;

根据条形统计图可知：用水量在5Wx<7的有3户，用水量在7Vx<9的有11户，用水量在94x<ll的有

10户，用水量在llVx<13的有4户，用水量在134x<15的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组

中第1个和第2个的平均数，

♦.•乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6.

.••乙小区3月份用水量的中位数9是+史92/=9.1；故答案为：9.1.（2分）

（2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；

低于本小区平均用水量的户数为4+9=13（户），故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均

用水量的户数所占百分比为三“43.3%,即々=43.3%；（3分）

在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：91；低于本小区平均用水量的户数为3+11+1=15（户）,

故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为'=50%,即

4=50%；

V50%>43.3%,故4>a.（5分）

2

（3）解：甲小区3月份用水量不低于13m,的总户数为600x^=40（户），（6分）

2

乙小区3月份用水量不低于13m,的总户数为750x^=50（户），（7分）

即甲小区3月份用水量不低于13m3的总户数有40户，乙小区3月份用水量不低于13m的总户数有50户.（8

分）

（4）解：画树状图如图：

开始

B组男男男女（10分）

A小AA

C组男男女女男男女女男男女女男男女女

共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，（11分）

...抽取的两名同学都是男生的概率为三=1.（12分）

168

20.（12分）

【答案】（1）4万元（2）加=8

（3）当4,B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.

2

【详解】（1）解：:•投资A项目一年后的收益力（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA=-x,

2

当x=10时，^=-xl0=4（万元）；（2分）

（2）•.•对A,8两个项目投入相同的资金相（相>0）万元，一年后两者获得的收益相等，

21

2

/.-m=--m+2m,整理得：,/-8〃?=0,解得：见=8,w2=0（不符合题意），的值为8.（6分）

=

（3）yB—x~+2.x

设投入到8项目的资金为*万元，则投入到A项目的资金为（32-力万元，设总收益为y万元，

2।jo64

「・y=YA+%=q（32-x）-彳%?+2工=—彳厂+彳工+-^~,而04x<32,（9分）

8

S13264

・・・当］=——^75=4时，y最大=一£X16+Z+W=16（万元）；（11分）

555

...当A,8两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.（12分）

21.（12分）

【答案】（1）1;证明见解析（2）2（3）也

m2

EG

【详解】（1）票=1，（1分）

理由为：过点A作AM〃族交2C于点M,作AN〃EG交CD的延长线于点N,（2分）

:四边形ABCD是正方形，J.AB//CD,AD//BC,

二四边形是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，：.AM=HF,AN=EG,

在正方形ABC。中，AB=AD,ZABM=ZBAD=ZADN=90°

EG.LFH,：.ZNAM=90°,：.NBAM=NDAN,（3分）

在△ABM和△AON中，NBAM=NDAN,AB=AD,NABM=NADN

：.^\ABM^/\ADN：.AM=AN,即EG=FH,：.—=1；（4分）

kH

（2）解：过点A作AM〃///交5c于点M,作AN〃EC交CD的延长线于点N,（5分）

:四边形A8CZ）是矩形，J.AB//CD,AD//BC,

四边形AMF”是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，.,.AM=HF',AN—EG,（6分）

在矩形ABC。中，BC^AD,ZABM^ZBAD^ZADN=90°,

"JEGYFH,.・・NM4M=90。，：・/BAM=NDAN.：./\ABM^/\ADN：.—禁（7分）

tAN

VAB=m,BC=AD=n,AM=HF,AN=EG,

.HF_mEGn

,•=—故答案为：-（8分）

EGn~FHmm

（3）解：VZABC=60°,AB=BC,

，AABC是等边三角形，，设AB=BC=AC=a,（9分）

过点CN_LAB,垂足为N,交BF于点〃，则AN=BN=ga,

在RtABCN中,CN=>jBC2-BN2=a,（10分）

,:CNLAB,CEA.BF,:.ZABF+NBMN=90°,ZECN+ZCMF=90°,

又,：ZCMF=4BMN,：.ZABF=ZECN,（11分）

VCNLAB,ADAB=90°,:.NDAB=NCNE=9QP,：.ANCE^AABF,

.空立.（12分）

"BF

BFa

22.（12分）

【答案】⑴（0,—）（y―――,（2）4>/2>4）或（—,4）（3）a=1（4）石-1或3—石

oo4

【解析】（1）解；由题意得抛物线y=2x2的焦点坐标和准线/的方程分别为（0,