2023-2024学年四川省巴中市高三（上）零诊数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省巴中市高三（上）零诊数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,1）,则z£+z=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

2.已知集合集={%|x+2N0},B={x\x2<9},则4nB=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|0<x<3}

C.{x|-2<%<3}D.{x|-2<%<3]

3.已知等差数列{斯}的前几项和右，且满足l-:=1,则数列5}的公差为（）

A.1B.2C.4D.3

4.已知向量益=（1,1）是=则“％=-量是“0+私1产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

2

5.双曲线？-必=1的两条渐近线与直线％=2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式

4

组是（）

%—2y>0%—2y>02%—y>02x—y<0

A.%+2y<0B.%4-2y>0C.2%4-y>0D.2%4-y>0

,0<%<2,0<%<2,0<%<2,0<%<2

6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

()

A.77r

B.87r

C.97r

D.(5+q)/r

俯视图

第届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”

7.31甲乙

为理念，向全世界送出来自中国的美好祝愿.某高校田径组拟从8119

甲，乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同4712565

10130

学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示.根据两

人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见.

①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会.

②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会.

③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会.

④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会.

其中合理推荐意见的编号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

8.已知函数/'（x）=2sin（a）x+（p）（3>0,\（p\<》的部分图象

如下图所示，则一招）=（）

A.\T~3

B.一口

C.1

D.-1

9.已知双曲线C：盘-《=19>0/>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,过&斜率为,的直线

与C的右支交于点P,若线段PF1恰被y轴平分，则C的离心率为（）

A.iB.2C.2D.3

23

10.已知正数X,y满足3+y=i,则;+：的最小值为()

Q7

A.5B.C.4D.

11.已知正数a,b满足0。+&=6+)力=2(6为自然对数的底数)，则下列关系式中不正确

的是()

A.beb=e2B.a+b=2C.eb+Ina=2D.ea+Inb=2

12.已知/'(x)=ex+e2-x,则不等式/(2x+1)>/(x)的解集为()

A.(1,1)B.(-1,11)

11

C.(一8,§)u(l,+8)D.(-00,-1)u(3，+°°)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知/(x)=ln(x-1),则曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线方程是

14.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

y2=4x的焦点为F,一条平行于“轴的光线从点45,4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再

经抛物线上的另一点C射出，则|BC|=.

15.已知正项等比数列｛aj的前n项和为%,若a2=2,且S3=2（^-1,则%=.

16.在三棱锥P-4BC中，AB=PC=2c，BC=PA=2,AP1PC,AB1BC,E,F,G,

H,M,N分别为棱AB,PC,AC,PB,BC,P4的中点.现有以下3个结论：①三棱锥P-ABC的

外接球表面积为16兀；@EF1MN；③GHJL平面EMFN.则其中正确结论的序号为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（

单位：岁）在［20,60］内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分

为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：

年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人数4012016080

男性

比较关注人数87211248

人数107010020

女性

比较关注人数5498016

（1）完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别

与对新能源汽车的关注有关；

比较关注不太关注总计

男性

女性

总计

（2）为了进一步了解年龄在［20,30）内不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽

样的方法选出5人进行访谈，最后从这5人中随机选出2人参与电视直播节目，求其中恰有一

位男性参与电视直播节目的概率.

2

附：依=V再'其中"a+b+c+d-

P(K2>fc0)0.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

18.(本小题12.0分)

在AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知4a=3b,B=2A.

(1)求cosB；

(2)若a=9,求△ABC的面积.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD<V,PA_L底面4BCD,AO〃BC,AB1AD,PA=AD=4,AB=BC=

2,E,F分别为CD,P4的中点.

(1)证明：EF//平面PBC；

(2)求三棱锥P-CDF的体积.

20.(本小题12.0分)

已知/⑶=%-W-(1+a)ln(x+1).

(1)当a=2时，求函数/(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x)+奈+1,若函数g(x)有两个零点，求a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：各，=l(a>b>0)的左、右顶点分别为凝力，点M(l,|)在椭圆C上,且西.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的右焦点为F,过点尸斜率不为0的直线I交椭圆C于P,Q两点，记直线MP与直线MQ

的斜率分别为七，k2,当七+七=0时，求：

①直线，的方程；

②△MPQ的面积.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为点(2,2),且半径长为2,直线，的参数方程为;常(t

为参数，0<戊<兀)，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)已知直线I与圆C相交于“，N两点,且|OM『+|ON『=16,求a.

23.(本小题12.0分)

已知/1(%)=2|x+2|-\ax\.

(1)当a=2时，求不等式/(x)>2的解集；

(2)若对任意xe(-1,1),不等式f(x)>x+1恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由题意知复数z对应的点的坐标是(一1,1),故z=—l+i,

所以z£+Z=(-1+i)(-l-i)+(-1+0=2+(-1+0=1+i.

故选:A.

根据复数的几何意义确定复数z,再根据共施复数的概念以及复数的运算，即可得答案.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：解不等式/<9,得一3<x<3,即B={x|-3<x<3},而集合4={x\x>-2},

所以4cB={x|-2<%<3}.

故选：C.

解不等式化简集合4,B,再利用交集的定义求解作答.

本题考查集合交集的运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意，等差数列{加}中，

若守一:=1,则有2s3-3s2=6,即6al+6d-6al-3d=6,

变形可得：d=2.

故选:B.

根据题意，在等式寺-多=1的两边同时乘以6,然后借助前几项和公式进行求解.

本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：当x=-l时，a=(1,1),K=(-1,-1)>则五+3=(0,0)，

所以(五+b)-b=0x(-1)+0x(-1)=0，故有伍+3)13，

当0+3)13时，因为五+3=(1+X,0)，

所以(五+h)-b=(l+x)xx+ox(-1)=0.即/+X=0,解得X=0或X=-1,

故“x=—l”是“伍+石)1皮’的充分不必要条件.

故选：A.

利用向量数量积的坐标表示，求出0+W1B对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.

本题主要考查向量的数量积，充分条件和必要条件，属于中档题.

5.【答案】B

2

【解析】解：双曲线菅_y2=i的渐近线方程为x-2y=0和x+2y=0,

故选:B.

求出渐近线方程，再同一坐标系内画出三条直线，得到表示三角形区域的不等式组.

本题主要考查双曲线的基本性质以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题.

6.【答案】4

【解析】解：由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2,高为2的圆柱，上接一个底面直径

为2,

高为C的圆锥构成的组合体，如图，

则有圆锥的母线为J12+方=2,圆锥的侧面积Si=兀x1x2=2兀，圆柱的侧面积S2=2兀x

1x2=4兀，

圆柱下底面圆面积S3=兀•1?=兀，

这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成,

所以这个几何体的表面积为S=Si+S2+S3=77r.

故选：A.

根据给定的三视图还原几何体，再按圆锥及圆柱表面积公式计算求解.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：根据题意，可得甲的训练数据为118,124,127,131,130,

所以甲的平均数为，五=1(118+124+127+131+130)=126,

方差为s；=1[(118-126)2+(124-126)2+(127-126)2+(131-126)2+(130-126)2]=

22.

甲的训练数据为119,125,126,125,130,

所以乙的平均数为&气Q19+125+126+125+130)=125,

方差为登=1[(125-119)2+(125-125)2+(125-126)2+(125-125)2+(125-130)2]=

12.4.

因为甲的平均数大于乙，且甲的方差大于乙，可知乙的成绩较好且发挥稳定，

所以无论从平均数还是方差的角度，都应该推荐乙参加，②③符合题意.

故选：C.

根据茎叶图的概念还原数据，再由平均数与方差的计算公式加以计算，即可得到本题的答案.

本题主要考查了平均数与方差、茎叶图的概念，考查了数据的处理能力，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由函数汽x)的图象，可得A=2,又由?=岩一”手,可得7=兀,所以3=竿=2,

所以f(x)=2sin(2x+s),因为小)=2,即sin(2x*+租)=sin^+@)=1,

解得与+@=q+2kn,kez,即w屋+2kn,keZ,

又因为101VI，可得3=l，所以函数/⑶的表达式为/(x)=2sin(2x+—

所以/(一第)=2sin(2x(书+)=2sin(一多=-<3.

故选：B.

根据函数/(X)的图象，由三角函数的性质求得力、3,在结合题意求得0,即可求解.

本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

9.【答案】C

【解析】解：如图，设PF1交y轴与4A为P0的中点,

因为。为F1F2的中点，

故A。为APF/z的中位线，

则40〃PF2，

而A。1"2,

则PF21F/2,

因为直线PF1的斜率为

故在Rt△PF2F1中，tan"F/2=j

设IPF2I=3t,

则|0尸2|=43|PF/=5t,

结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，

则4t=2c,仍居|一|PF2|=2a=2t,

则2a=c,

故选：C.

设P&交y轴与4可推出40〃PF2,从而「尸2，&尸2,结合P&的斜率，设|PFz|=3t可推出a,c之

间的关系，即可求得答案.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及离心率的求法，属基础题.

10.【答案】B

【解析】解：因为5+y=1，

则C+粉+刃=川+湾+2JTH，

当且仅当9=3,即x=y='时取等号.

故选:B.

利用“1”的代换思想，根据基本不等式求解即可.

本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】解：由题意得e。+lnea=b+Inb=2,

令/(%)=%+Inx,%>0,则/'(x)=1+：>0恒成立,

所以/(%)=%+仇%在(0,+8)上单调递增，

故e。=b,

所以e。+a=b+a=2,B正确；

baba+b2

be=e-e=e=efA正确；

ea4-Inb=64-Inb=2,D正确；

对C选项，/(^)=\T2+ln^=^+i/n2<^+|<2,

f(G)=y/~3+ln<3=+：〃3><3+g>2,

又/(x)=x+bix在(0,+8)上单调递增，f(b)=2,

故，7cb所以a=2-be(2-q,2-，7),

故e"+Ina>e—+ln(2—V3)=—ln(2+V~3)，

设g(x)=Inx-(黑葭",xG(0,+°o)>

Ijlllz,x_1_(2x+4)(4x+2)-4(x+5)(x-l)__4(%3_3/+3._1)_-曲%一］,

八9I)-x(4X+2)2.x(4x+2)2.x(4x+2)2

当0<%Vl时，g'(%)>0,当x>l.时，g'(x)V0,

故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

又g(l)=0,故g(x)W0,即。xW驾『，当且仅当x=1时，等号成立,

(2+5)x(2-l)_7

故仇2<-4x2+2-=10*

2ln2

则。>1.414>2x，>2伍2,所以ef>e=4，

又2+V~3<4<e2,故e"+Ina>e口—ln(2+V-3)>4—2=2»C错误.

故选：C.

构造/(x)=x+mx,由函数单调性得到〃=仇通过变换可得到A8O正确，。错误.

本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属难题.

12.【答案】D

【解析】解：•・•/(x)=e"+e2-x,/(I—x)=er~x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x

f(1+%)=e1+x+/-(i+")=e1+x+e1-x

•••/(I-x)=/(I+x)»即函数关于％=1对称,

又/'(x)=(ex)，+(e2-x)，=ex_1|，

2

根据函数的单调性，(Q)=e%—氐单调递增，

由尸。)=0得％=1,由((%)>0得%>1,由r(%)V0得％VI,

・・・当％G(-00,1),函数f(%)单调递减，

当％6(1,+8),函数/(%)单调递增,

••"(2%4-1)>/(x),

/.|2x4-1-1|>|x-1|,BP|2x|>|x-1|,解得xV—1或%>$

故原不等式的解集为(一8,-1)U0,+8).

故选：D.

首先确定函数关于久=1对称，根据导数求解函数的单调性，然后根据函数的增减性求解，即可得

出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

13.【答案】x-y-2=0

【解析】解：由/(x)=ln(x-1),得/(2)=0,

且(。)=白，得1(2)=白=1，

・・.所求切线方程为y-0=%-2,即％-y-2=0.

故答案为：x—y-2=0.

求出原函数的导函数，得到函数在％=2处的导数值，再求出”2),利用直线方程的点斜式得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

14.【答案】当

【解析】解：因为抛物线的方程为严=4x,可知焦点FQ0),

过4(5,4)平行于对称轴的入射光线为：y=4,代入抛物线的方程可得B(4,4),

由题意可知反射光线为BF,可得/CBF=士=：

4—JLo

所以直线BF的方程为x=^y+l,

=3

联立“一^、十:整理可得：y2-3y-4=0,

y2-4x

可得y=4或y=-1,将丫=-1代入抛物线的方程可得x=

即8(4,4),C(i,-1),

可得|BC|二J(4一扔+(4+1尸=今

故答案为：冬.

4

由抛物线的方程可知焦点F的坐标，由题意可得过A点的入射光线与抛物线的交点B的坐标，进而

求出反射光线BF的方程，与抛物线的方程联立可得C点的坐标，再求出|BC|的值.

本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.

15.【答案】2n-l

【解析】解：设公比为q，贝叼>0,

由。2=2,S3=2a3-l=a1+a2+a3=>｛黑一%一一°,

解之瞰工或(舍去)，

故%==2"-l(nGN*).

故答案为：2n-1.

根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题.

16.【答案】①③

【解析】解：在三棱锥P-ABC^,AB=PC=2/3,BC=PA=2,

AP1PC,AB1BC,E,F,G,H,M,N分别为棱4B,PC,AC,

PB,BC,P4的中点，

①因为AB1BC,

所以AC=VAB2+BC2=V12+4=4，

又因为G为AC的中点，AP1PC,

所以GP=GB=GC=GA=^AC=2,

所以G为三棱锥P-ABC的外接球球心，半径为2,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为47rX22=16兀，故①正确:

②因为N,F分别为P4,PC的中点，

所以NF〃4C,且NF=：4C,

又因为E,M分别为AB,BC的中点，

所以EM〃4C,且EM="c,

所以EM//NF,EM=NF,

所以四边形NFME为平行四边形，

若EF1MN,则四边形NFME为菱形，则NE=N尸，

因为N,E分别为P448的中点，所以NE=^PB,

因此PB=4C,而由题可知PB长度未知，

所以EF1MN不一定成立，故②错误；

③由①知GP=GB,”为PB中点，所以GHJ.PB,

又因为F,M分别为PC,BC的中点，所以FM〃PB,

所以GH1.FM,

义AB=PC,PA=BC,BP=BP,所以△PBAw^BPC,

所以AH=CH,

而G为4c的中点，所以GH1AC,

又EM11AC,所以GHJ.EM,

又FMnEM=M,且FM,EMu平面EMFN,

所以GH1平面EMFN,故③正确.

故答案为：①③.

利用直角三角形的性质，结合球的面积公式、线面垂直逐一分析即可.

本题考查了直角三角形的性质、球的面积公式和线面垂直的应用，属于中档题.

17.【答案】解：（1）列联如下表：

比较关注不太关注总计

男性240160400

女性15050200

总计390210600

ni|l„2600(240x50-160x150)21200、仃、DU

W=3薪21。碗。X2。。一=b>1°>.635‘

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.

（2）由题意知，年龄在［20,30）内的50人中男性与女性的比为4：1

所抽男性人数为5x/=4人，所抽女性人数为5x2=1人

记“选出的5人中恰有一位男性”为事件A,

设4位男性分别为B2,B3,B4,一位女性为D,

则所有结果为：B$2,B$3,B$4,B2B3,B2B4,B3B4,B、D,B2D,B3D,B4D,共10种.

事件4包含的基本事件为Bl。，B2D,B3D,B4D,共4种，

由古典概型的概率公式得：p（a）=R=|.

【解析】（1）由已知表格中数据可得列联表；计算《2的值，与临界值表比较可得结论；

（2）利用列举法，根据古典概型的概率公式即可求得答案.

本题考查独立性检验相关知识，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由4a=3b及正弦定理得：4sinA=3sinB,

由8=2A得:sinB—sin2A=2sinAcosA.

所以4sin4=6sinAcosA,

因为0<4<兀，所以sinA>0,

所以cosA=I，

所以cosB=cos2A=2COS2A-1=--；

（2）法一：当a=9时，代入4a=3b得：b=12,

由（1）知cosB=

由余弦定理/=a2+c2—2clecosB得:144=81+c2+2c,

整理得：c2+2c—63=0,解得：c=7,

由（1）知：sinA=V1—cos2i4=/1—

y93

所以SfBc=\besinA=1x7x12x=14V-5:

法二：当Q=9时，代入4a=3匕得：b=12,

由（1）得：sinA=V1—cos2y4=/1—

\93

所以sinB=sin2A=2xx|=生住，

由A+8+C=n得C=TT-（A+8）,

2殍

X+X

所以sinC=sinM+B)=sinAcosB+cosAsinB(-3-=

所以S/UBC=\ccbsinC=1x9x12x=14V~~5;

法三：当a=9时，代入4a=3b得：b=12,

由(1)得:cosA=

由余弦定理a?=b2+c2—2bccos4得：81=144+c2—16c,

整理得：。2-16c+63=0,解得：c=9或c=7,

若c=9,则△ABC为等腰三角形，此时4=C,

由8=24及内角和定理得：A=l，与cosA=|矛盾，不合题意，

所以c=7,

因为sinA=V1—cos2/l=/1—^=卒，

所以S“BC=\bcsinA=x7x12xf=14，T.

223

【解析】(1)由正弦定理和二倍角公式得到4sizh4=6sinAcosA,故cosA=求出cosB；

(2)法一：由a=9求出b=12,结合(1)中cosB=由余弦定理得到c=7,结合(1)中所求得

V

到利用三角形面积公式求出答案；

法二：由Q=9求出b=12,结合(1)中所求得至iJsizM,sinB,利用sin。=sin(A+B)=sinAcosB4-

cosAsinB,求出.•.sinC=W，利用三角形面积公式求出答案；

法三：由a-9求出b-12,结合⑴中cosA=由余弦定理得到c-7或9,排除c-9,结合s讥4=

号，求出三角形面积.

本题考查正余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题.

19.【答案】（1）证明：方法一：取的中点M,连结ME,MF（如图）,

BC

由E,F分别为C。，P4的中点及中位线定理得ME〃8C,MF//PB,

因为BC,PBu平面PBC,FM,EMC平面PBC,

所以ME〃平面PBC,MF〃平面PBC.

又MEflMF=M,ME,MFu平面EFM,

所以平面EFM〃平面PBC.

因为EFu平面EFM,

所以EF〃平面PBC.

方法二：取PD的中点Q,连结QE,QF（如图），

BC

由E,尸分别为CD,PA的中点及中位线定理得QF〃AD,QE//PC,

因为PCu平面PBC,QE，平面PBC,

所以QE〃平面PBC.

因为4D//BC,QF//AD,

所以

因为BCu平面PBC,QFC平面PBC,

所以QF〃平面PBC.

又QEnQF=Q,QE,QFu平面EFQ,

所以平面EFQ〃平面PBC.

因为EFu平面EFQ,

所以EF〃平面PBC,

方法三：连结4E延长交BC的延长线于N,连结PN,

因为AD〃BC,CE=ED,

所以4E=EN,

又4F=FP,

所以EF〃PN,

因为PNu平面PBC,EF,平面PBC

所以EF〃平面PBC

(2)解：方法一：因为PA1底面4BC。，

所以PA1AD,PAA.AB,

又PAClAD=A,PA,ADu平面PAD,

所以AB1平面PAD,

所以点B到平面P/W的距离为4B=2,

因为力C〃BC,ADu平面24。，

所以BC〃平面PAD,

所以B,C到平面P4D等距，故三棱锥C-PDF的高为2,

又S^PDF=gxPFxAD=4,

所以Vp-COF=^C-PDF=EXSAPDFX2=§；

方法二：由F为P4的中点及体积的性质知：Vp_CDF=VC_DFP=^Vp_ACD，

由PA_L底面4BCD及4D//BC,AB1AD,PA=AD=4,4B=BC=2知:

111

Vp-ABCD=5x-x(AD+BC)Xi4BxP?l=-x6x2x4=8,

Vp_ABC=^x-xSCXi4^xPy4=7X2x2x4=5,

rH人3263

_16

所以％-4CD—^P-ABCD~^P-ABC=9，

所以4-CDF=2^P-ACD；=J'

方法三：连结4C,由4B14。，AD〃BC得:AB1BC,

BC

因为4B=BC=2,

所以AC=VAB2+BC2=2szeAB=CAD=45。，

在小ACD中，AD=4,由余弦定理得：CD=VAC2+AD2-2ADxACxcos45°=2「，

即加=+CD2,

所以ACJ.CD,

因为241底面4BC0,PAu平面PAC,

所以平面P力CJ_平面4BCD,PA}.AC,

因为平面PACn平面ABCD=AC,CDu平面ABCD,

所以COJ■平面P4C,

所以/_的=%_CFP=|XSKFPXCD=^XPFXACXCD=^X2Xx20=|.

【解析】(1)方法一、取AB的中点，利用中位线性质构造面面平行证明线面平行；方法二、取P0的

中点，利用中位线性质构造面面平行证明线面平行；方法三、延长4E交BC的延长线，利用中位线

性质直接证线面平行即可.

(2)方法一、利用BC〃平面P4D,判定C到面PDF的距离，求得%_。0尸即可；方法二、利用几何性

质求即可；方法三、先证CCJ•平面P4C，求VD-FPC即可.

本题主要考查线面平行的证明，棱锥体积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档

题.

20.【答案】解：(1)已知/(x)=x-3—(l+a)ln(x+l),函数定义域为(-1,+8),

当a=2时，/(%)—X—-3/n(x+1),

可得/'(%)=1+-47=必字，

0+1)2X+l(X+1产

当一l<x<0时,f'(x)>0,/(x)单调递增；

当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

当#>1时,/'(%)>0,/(%)单调递增,

综上，当a=2时，函数/Q)的单调递减区间为(0,1)；

单调递增区间为(-1,0),(1,+8);

(2)易知g(x)=f(x)+3+l=x+l-(a+l)ln(x+1),

若函数g(x)有两个零点，

此时。+1=患缶有两个解，

不妨令t=x+1,t>0,

此时函数h(t)=已与直线y=a+1的图象有两个交点，

易知〃(t)=般，

当OVtVe时,h'(t)<0,/i(£)单调递减；

当时，h!(t)>0,h(t)单调递增,

所以九⑴N/i(e)=e,

当£71+时，h(t)->4-00；当£T+8时，九(£)t+8,

所以要使函数/I(t)=需与直线y=a+1的图象有两个交点，

此时a+1>e,

解得a>e—1,

则满足条件的a的取值范围为(e-l,+oo).

【解析】(1)由题意，将a=2代入函数f(x)的解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何

意义进行求解即可；

(2)将函数g(x)有两个零点转化成函数八(t)=热与直线y=a+1的图象有两个交点,对函数h(t)进

行求导，利用导数得到函数h(t)的单调性和最值，进而即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

21.【答案】解：(1)由椭圆方程可得Ai(—a,0),&(a,0),

点在椭圆C上，可得去+3=1，

可得M4]♦=(-a—1,一令,(a—1,—.=1—a?+：=—；,

解得a=2,

由M(l3在椭圆C上及a=2得;+白=1,解得炉=3,

•••椭圆c的方程为[+9=1；

由(1)知，右焦点为F(l,0),

据题意设直线I的方程为％=my+l(mH0),「(卬为)，。(如力)，

则七=二=衿,七=二=/，

%］一］2my^2my2

于是由的+k2=。得绦言+鬣?=仇化简得4yly2=3(yi+y2)(*)'

①由｛；［+4y2)12=0'消去工整理得(3m2+4)必+6my-9=0,

4=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,

由根与系数的关系得：+y=--^L-,y=--4-7-

Jyi1J2乙3mz+4y八i八23序+4

代入(*)式得：一晶=一禹,解得爪=2,

.••直线/的方程为x-2y-l=0,

②方法一：由①可知:4=144(22+1)=720,%+=一九月及=一卷

由求根公式与弦长公式得：|PQ|=-丫21=生守=竽.

|l-2x1-l|3

设点M到直线I的距离为d,则d=I,=每一.

J1+(-2)2

「151153159NT5

=XX-a

：•S^MPQx=L2PQZ|d4,2□V-qO=~R~

方法二：由题意可知，时PQ=S^MPF+ShMQF=+|x2|)=2氏|+%1)，

2

由①知，联立《222,可得4/+2x-11=0,

上+匕=1

143

AJ=22—4X4X(-11)=180>0,久1+右=—=—孝<0，

24

S^MPQ+%1)=1lXlfl=亨.

【解析】(1)利用平面向量的数量积公式计算可得a的值，代入点M坐标即可得椭圆方程；

(2)①设直线，方程，与椭圆方程联立根据韦达定理计算斜率求解即可；

②方法一、求出|PQ|及M到，的距离计算即可；方法二、采用割补法由点P、Q的横坐标计算SAMPQ=

S^MPF+SAMQF即可•

本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档

题.

22.【答案】解：(1)方法一：由已知，圆C的标准方程为：(x-2)2+(y-2)2=4.

可将其化为：x2+y2—4%—4y+4=0；

将{；;为需代入以上方程可得：圆C的极坐标方程为p2-4pcos8-4Ps讥。+4=0.

方法二：点C的极坐标为(2日,今，

在圆C上任取点P的极坐标为(p,。)，当C,0,P不共线时，

由余弦定理得：p2+(2「)2-2x2>n.pcos^一。)=22,

化简得：p2-4qpcos(e-$+4=0,

当C,0,P共线时，点P(2£±2,》的坐标也适合上面的方程.

即圆C的极坐标方程为p2-4Hpeos@一》+4=0.

(2)方法一，由己知，直线［的极坐标