2023-2024学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）月考数学试卷（9月

份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.CB.<T5C.D.V-07

2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（）

A劳B动。光。荣

3.方程3/-4x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.3、-4、1B.3、1、-4C.3、-4、-1D.3、4、1

4.方程/-4x-4=0经过配方后，其结果正确的是（）

A.（%-2）2=8B.（x-2产=0C.（%+2）2=8D.（x+2）2=0

5.下列说法中，正确的是（）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.两条对角线相等的平行四边形是矩形

D.两边相等的平行四边形是菱形

6.对于抛物线y=—"（x-2）2+L下列说法中错误的是（）

A.抛物线与x轴没有交点B.抛物线开口向下

C.顶点坐标是（2,1）D,函数有最大值，且最大值为1

7.已知a、b是一元二次方程/—3x+1=0的根，则代数式&+期的值是（）

A.3B.1C.-3D.-1

8.设4（—2/1）,8（1,乃），。（2,、3）是抛物线丫=3（*+1）2+4巾0为常数）上的三点，则y2,'3的大小

关系为（）

A.yi<y2<丫3B,y2<yr<y3C.y3<<yzD.y3<y2<7i

9.如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同.在其中一个桥洞

中，水而宽度为12米，如图2,拱顶距离水面4米，并建立平面直角坐标系.若水位上涨2米，则每个拱桥内

水面的宽度是（）

图1图2

A.4米B.6c米C.6米D.4Vl米

10.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边48、BC的中点，

连接EC、FD,点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH,若AB=6,BC=8,

4BAD=120°,则GH的长度为（）

A.|B.旦C.@D.

222

2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.抛物线y=3（x-27-5的顶点坐标是.

12.某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次

降价的百分率都为x,降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：

13.关于x的方程（k-l）x2+2kx+k-3=0有实数根，则k的取值范围.

14.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有著行者行一百步，不善行

者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及之？”如图是善

行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则

两图象交点P的纵坐标是.

15.抛物线y=ax2+bx+c过点（1,0）,对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示，

下列判断中：①abc>0；@b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若函数图象上

有两点（t+1必）和（"），且yi>y2>贝此>-|,其中判断正确的序号是.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知2(4,0),点P为线段04上任意一点.在直线丫=

?无上取点E、使P。=PE,延长PE至IJ点F,使P4=PF,分别取0E、4F中点”、N,

连接MN,则MN的最小值是.

三、解答题(本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

(1)计算：G+零一"；

(2)解方程：x2-4x+l=0.

18.(本小题8.0分)

己知关于x的一元二次方程/+(2m-l)x+m2=0.

(1)若方程有实数根，求实数瓶的取值范围：

(2)若小满足工/2+%i+*2=4.求m的值.

19.(本小题8.0分)

某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：八)作为

样本，将收集的数据整理后分为儿B,C,D,E五个组别，其中4组的数据分别为：0.5,0.4,0.3,0.4,0.3,

绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表：

组别时间t/h频数

A0<t<0.55

B0.5<t<1a

C1<t<1.520

D1.5<t<215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

(1)A组数据的中位数是；

(2)本次调查的样本容量是,B组所在扇形的圆心角的大小是

(3)若该校有2400名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数.

各组劳动时间的扇形统计图

D组

25%

20.(本小题8.0分)

如图，在四边形4BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点0,AC平分/BAD,过点C作CEJL4B,

交4B的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABC。是菱形.

(2)若4B=5,BD=6,求0E的长.

21.(本小题8.0分)

如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，AABC为格点三角形，请仅用无

刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：

(1)如图(1)中，找格点。使4。1ABB.AD=AB,再在BC上画点E,使/B4E=4BCA；

(2)在图(2)中，M为非格点且在4C上，在BC上找点N,使4V+MN最小；然后在BC上找点P,使MP1BC.

图(1)图(2)

22.(本小题10.0分)

某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙(粗线4-B-C表示墙，墙足够高)改建室外篮球场，如图所示，己

知4B18C,48=8米，BC=70米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在

每个篮球场开一个宽3米的门(细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开)，为了充分利用墙体，点F必

须在线段BC上，设EF的长为x米.

(1)DE=米；(用含x的代数式表示)；

(2)若围成的篮球场BDEF的面积为1200平方米，求EF的长；(围网及墙体所占面积忽略不计)

(3)篮球场BDEF的面积是否能达到1900平方米？请说明理由.

A

DGE

23.(本小题10.0分)

(1)如图1,正方形48CD中，点E、F分别是边BC、CD上的点.4BAD=2^EAF,请你直接写出BE、DF、EF之

间的数量关系：.

(2)如图2,在四边形ABCD中，48=4。，NB40与NBCO互补，点E、尸分另I」是边BC、CO上的点，NBA。=2/.EAF,

请问：(1)中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；

(3)在(1)的条件下，若E、F分别在直线BC和直线CD上，若BE=2,48=5,则EF=.

24.(本小题12.0分)

如图，抛物线y=/+人工+c与％轴交于4B两点，与y轴交于点C,直线y=-x+4经过点B,C.

(1)求抛物线的表达式.

(2)直线x=m(其中0</n<4)与线段BC交于点P,与抛物线交于点Q,连接0Q,当线段PQ长的最大时，求

证：四边形OCPQ是平行四边形.

(3)在(2)的条件下，连接4Q,过点Q的直线与抛物线交于点。，若UQP=4DQP,求点。的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：1V~i=1,

・•・4选项不符合题意；

・・・E是最简二次根式，

・,.B选项符合题意；

•••的被开方数含有分母，

...不是最简二次根式，

C选项不符合题意；

•••的被开方数含有分母，

1声不是最简二次根式，

。选项不符合题意，

故选：B.

利用最简二次根式的定义解答即可.

本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：选项人8、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以不是轴对称图形，

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形，

故选：D.

根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫

做轴对称图形.

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

3.【答案】A

【解析】解：方程3x2—4x+1=0的二次项系数为3,一次项系数为一4,常数项为1,

故选：A.

根据一元二次方程的一般形式求解即可.

本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：X2—4%—4=0,

移项得：x2—4x=4,

配方得：x2-4%+4=4+4,即(x-2)2=8.

故选：A.

根据配方法的求解步骤，进行求解即可.

此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤.

5.【答案】C

【解析】解：4、只有对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；

8、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；

C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；

。、只有两组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误.

故选：C.

分别根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定分析得出即可.

此题主要考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练区分它们是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：抛物线y=-g(x—2/+1的开口向下，顶点坐标为(2,1),抛物线的对称轴为直线x=2,函

数有最大值，最大值为1;

令y=0,则一家x—2)2+1=0,即(久一2)2=3,

-

解得=2+x2=2—A/3,

・•・抛物线与光轴有两个交点.

故选：A.

根据二次函数的性质对B、C、。进行判断；通过判断方程-：。-2)2+1=0的实数解的个数可对4进行判

断.

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a芋0)与无轴的交点坐标问

题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次根式的性质.

7.【答案】B

【解析1解：由题知，

因为Q、b是一元二次方程/-3%+1=0的根，

所以小—3a+1=0,/?2—3b+1=0,

即小+1=3a,/+i=3b.

匚匚I”1.11,11,a+b、

协以西r+再7=品+五=§(谪)•

又Q+b=3,ab=1,

g、i1।113.

所以赤+再1=3>彳=1.

故选:B.

将％=a和x=b分别代入原方程可得出a?+1=3a,b2+1=3b,再利用跟与系数的关系即可解决问题.

本题考查根与系数的关系，整体思想的运用是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：•.•抛物线y=3(x+I)2+4m(7n为常数)的开口向上，对称轴为直线x=-1,

而。(2型)离直线％=-1的距离最远，4(一2,g)点离直线刀=一1最近，

•••yi<72<73-

故选:A.

根据二次函数的性质得到抛物线y=3。+1¥+4m(7n为常数)的开口向上，对称轴为直线％=-1,然后根

据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的

性质.

9.【答案】B

【解析】解：根据题意知，抛物线与x轴的交点为(0,0)、(12,0),其顶点坐标为(6,4),

设解析式为y=a(x-6)2+4,

将点(0,0)代入，得：36Q+4=0,

解得：a=—J，

则抛物线解析式为y=-1(x-6)2+4=-\x2+打

7yo

令y-2,解得x=6+或x=6—3V-2.

此时水面的宽度为6+3，歹-(6-3，茏)=(米).

每个拱桥内水面的宽度是6c米.

故选：B.

根据顶点坐标为(6,4),设其解析式为y=a(x-6)2+4,将(0,0)代入求出a的值，利用y=2时，求出x的值,

进而得出答案.

此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出函数关系式是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解：连接CH并延长交AD于M,过E作ENJLZM交D4延长线于

N,

.E是边4B的中点，AB=6,

1

.AE=^AB=3,

・・・LBAD=120°,

・•・LEAN=180°-乙BAD=60°,

13

•，AN=^AE=^

・•.EN=CAN=手，

,・•四边形/BCD是平行四边形，

:.AD//CB.AD=BC=8,

:•乙MDH=LCFH,Z.DMH=Z.FCH,

•・・FH=DH,

・•・DM=FC,CH=MH,

・・・F是BC中点，BC=8,

：・CF=3BC=4,

・・・DM=4,

・•・AM=AD-DM=8-4=4,

311

・・・MN=AM+AN=4+]=3,

•••ME=VMN2+NE2=y/~37,

■■■CH=MH,CG=EG,

..GH是△CEM的中位线，

・f•・GH=IE-E4M=V3—7.

故选：B.

连接C4并延长交4。于M，过E作ENJ.ZM交延长线于N,由中点定义求出4E==3,由直角三角形

的性质求出力N=^AE=|,EN=CAN=货，由44s证明△DMH=^CFH,得到。M=FC,CH=MH,

求出CF=；BC=4,得到DM=4,求出MN=AM+4N=4+1=芋，由勾股定理求出ME=

VMN2+NE2=C7，由三角形中位线定理得到GH==子.

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定

理，关键是通过作辅助线构造全等三角形，三角形的中位线.

11.【答案】(2,-5)

【解析】解：抛物线y=3(x-2/一5,

•••该抛物线的顶点坐标为(2,-5),

故答案为：(2,-5).

根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标.

12.【答案】400(1-x)2=144

【解析】解：根据题意得：400(1-%)2=144.

故答案为：400(1-x)2=144.

利用经过两次降价后的出厂价=原出厂价x(1-每次降价的百分率/，即可列出关于x的一元二次方程，此

题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

3

3答案>

-4-

【解析】解：当卜一1=0,2k#0,即k=l时，为一元一次方程，一定有实数根;

当k—1H0,即/cH1时，为一兀二次方程，

3

>且f

由方程有实数根可得：(2fc)2-4(fc-3)(fc-l)>0,解得:-4-c

综上，k的取值范围为kN%.

故答案为：/C>1.

当k—l=0,2kH0时，为一元一次方程，一定有实数根；当卜一1片0时，为一元二次方程，根据根的判

别式列不等式求解即可.

本题主要考查了一元二次方程a/+bx+c=0（a彳0）根的判别式4=力2-4ac：当4>0,方程有两个不

相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根是解题的关键.

14.【答案】250

【解析】解：由题意可知，不善行者函数解析式为s=60t+100,

善行者函数解析式为s=100t,

联立仁喘邙。,

解得忆氤，

两图象交点P的纵坐标为250,

故答案为：250.

根据题意/去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可.

本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键.

15.【答案】②③④

【解析】解：由开口向上得a>0；

由抛物线与y轴交点得c<0；

由对称轴芯=一2=一1,得b=2a>0；

故abc<0,即①错；

由抛物线与x轴2个交点得/-4ac>0；

故②对；

由抛物线与x轴一个交点为一1一[1一（-1）]=-3,

得当x=-3时y=9a—36+c=0；

故③对；

由一1一0.5=-1.5,-1+0.5=-0.5,

得当t=—1.5时，函数图象上两点（t+l,yi）和«Q2），有丫1=丫2，

故若函数图象上有两点（t+l,yi）和C%），且丫1>丫2,则t>-L5;

即④对；

总之判断正确的序号为②③④.

由开口向上得a>0；由抛物线与y轴交点得c<0；由对称轴％=-/=-1,得b=2a>0；故abc<0,

即①错；

由抛物线与X轴2个交点得炉-4ac>0；故②对；

由抛物线与x轴一个交点为—1一[1-(—1)]=-3,得当％=—3时y=9a-3b+c>0；故③错；

由一1—0.5=-1.5,-1+0.5——0.5,得当t=—1.5时，函数图象上两点(t+1,%)和(匕丫2)，有yi=y2.

故若函数图象上有两点(t+LyQ和(t,%)，且%>丫2,WJt>-1.5；即④对；

本题主要考查了二次函数的基本性质，关键是对顶点，对称轴，最值的理解与应用.

16.【答案】C

【解析】解：如图，连接PM,PN,设4F交EM于J,连接P/.

PO=PE,OM=ME,

PM1OE,4OPM=4EPM,

■：PF=PA,NF=NA,

：.PN1AF,乙APN=4FPN,

：.乙MPN=Z.EPM+乙FPN=g(zOPF+Z.FPA)=90°,4PMJ=4PNJ=90°,

，四边形PM/N是矩形，

MN=PJ,

:•当JP104时，P/的值最小此时MN的值最小,

•••AFI。”，A(4,0),直线OM的解析式为y=?x，

二直线4F的解析式为y=->f3(x-4).

<3

x=3

由、一『，解得,

y=>/-3

y=~3%+4V-3

・••/(3，G

P/的最小值为15，即MN的最小值为，与.

如图，连接PM,PN,设4F交EM于连接P/.证明四边形PM/N是矩形，推出MN=P),求出P/的最小值即

可解决问题.

本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考

问题，属于中考选择题中的压轴题.

17.【答案】解：(i)E+萼—«

=2「+浮咛

=2A/-3;

(2)X2-4X+1=0,

%2-4%=-1,

x2—4%+4=—14-4,

(%-2)2=3,

x—2=+V-3»

-

=2+A/3，x2=2—y/~~3-

【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答.

本题考查了解一元二次方程配方法，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：(1)由题意得4=(2m-I)2-4m2>0,

,1

・・.m<?

故实数m的取值范围为mW*

2

(2)依题意有X]+x2=-(2m-1),xrx2-m,

x1x2+乂1+亚=4,

m2—(2m-1)=4,

解得nil=-1,m2=3(舍去).

故m的值是-1.

【解析】(1)根据420,解不等式即可；

(2)由根与系数的关系得出久1+七和x/2的值，再代入+与+打=4得到关于ni的方程计算可得.

本题考查了一元二次方程。/+加:+©=0(£1工0)的根的判别式/=62-4就：当2>0,方程有两个不相

等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程根

与系数的关系.

19.【答案】0.46072°

【解析】解：(1);4组的数据分别为:0.5,0.4,0.4,0.3,0.3,

.•・4组数据的中位数是0.4；

故答案为：0.4；

(2)本次调查的样本容量是15—25%=60,

va=60-5-20-15-8=12,

B组所在扇形的圆心角的大小是360。=72°,

故答案为:60,72°；

(3)2400x2喘+8=1720(人)，

答：估计该校学生劳动时间超过小的大约有1720人.

(1)利用中位数的定义即可得出答案；

(2)由。组的人数及其所占百分比可得样本容量，用360。乘以B组所占百分比即可；

(3)用总人数乘以样本中学生劳动时间超过l/i的人数所占百分比即可.

本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本

次调查的样本容量是解决问题的关键.

20.【答案】⑴证明:"AB//CD,

・••Z.CAB=乙DCA,

••,AC为皿4B的平分线，

乙CAB=Z-DAC»

・•・Z.DCA=Z.DAC,

・•・CD=AD,

vAB=AD,

・•・AB=CD,

-AB//CD,

・•・四边形4BCD是平行四边形，

vAD=AB,

平行四边形4BCD是菱形；

(2)解：•••四边形4BCC是菱形，对角线AC,BD交于点0,

11

••AC1BD,0A=OC=^AC,OB=OD=^BD,

OB=3,

在RtAHOB中，Z.AOB=90°,

・•・OA=VAB2—OB2=752—32=4，

•・•CE1AB,

・•・/.AEC=90°,

在Rt△?!£•江,乙4EC=90°,。为AC中点,

1

•••OE=^AC=0A=4.

【解析】(1)根据题意先证明四边形4BCD是平行四边形，再由AB=4D可得平行四边形4BCD是菱形；

(2)根据菱形的性质得出0B的长以及N40B=90。，利用勾股定理求出。4的长，再根据直角三角形斜边中线

定理得出OE=AC,即可解答.

本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握

菱形的判定与性质是解题的关键.

【解析】⑴利用网格得MCA=45。，连接BD,找到BD的中点，进而可以得到满足条件的点E；

(2)利用轴对称的性质，作点M关于BC的对称点M',连接力M'交BC于点N,根据轴对称的性质MM'_LBC,

垂足即为点P.

本题考查了作图-复杂作图，等腰直角三角形，轴对称的性质，解决本题的关键是轴对称的性质.

22.【答案】(150-3x)

【解析】解：(1)根据题意得：DE=136+2x3-2x-(x-8)=(150-3尤)米.

故答案为：(150-3x)；

(2)根据题意得：x(150-3x)=1200,

整理得：x2-50x4-400=0,

解得：%!=10,x2=40,

当x=10时，150-3x=150-3x10=120>70,不符合题意，舍去；

当久=40时，150-3%=150-3x40=30<70,符合题意.

答：EF的长为40米；

(3)篮球场BDEF的面积不能达到1900平方米，理由如下：

假设篮球场BDEF的面积能达到1900平方米，根据题意得：x(150-3x)=1900,

整理得：3/-150%+1900=0,

-A=(-150)2-4x3x1900=-300<0,

•••原方程没有实数根，

•••假设不成立，即篮球场BDEF的面积不能达到1900平方米.

(1)利用DE的长=围网的总长+2个门的宽—EF的长X2-4D的长，即可用含x的代数式表示出DE的长；

(2)根据围成的篮球场BOEF的面积为1200平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值,

即可得出结论；

⑶篮球场BCEF的面积不能达到1900平方米，假设篮球场BDEF的面积能达到1900平方米，根据围成的篮

球场BOEF的面积为1900平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式4=-300<0,可得出原方

程没有实数根，进而可得出假设不成立，即篮球场BDEF的面积不能达到1900平方米.

本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，

用含x的代数式表示出DE的长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当A<0时，方程无

实数根”.

23.【答案】EF=DF+BE^或当

【解析】解：(1)EF=DF+BE,理由如下：

如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接4G,

图1

•••四边形ABCD是正方形，

■■■AB=AD,Z.B=/ADC=90°,

乙ADG=180°-Z.ADC=90°,

：•Z-B=Z-ADG,

在△/BE和△?WG中,

AB=AD

乙B=Z.ADG,

BE=DG

：・2ABE三AADG(SAS),

・•・Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

•・•乙BAD=2Z.EAF=90°,

・・・Z-EAF=45°,

・・・乙BAE+£.DAF=45°=Z-EAF,

・•・Z.DAG+Z.BAE=Z.GAF=45°=Z.EAFf

在△AEF和△4GF中，

(AE=AG

l/LEAF=L.GAF,

QF=AF

・••△AEF三△AGF(SAS),

・・・EF=GF,

：・EF=DG+DF=DF+BE；

故答案为：EF=DF+BE；

(2)(1)中结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长FD到点G,使。G=BE,连接AG,

图2

•・•乙BAD+乙BCD=180°,乙BAD+乙BCD++Z.ADC=360°,

・・・43+乙4。。=180。，

v/.ADG+Z.ADC=180°,

:.Z.B=Z.ADG1

在△ABE和△ADG中，

AB=AD

乙B=Z.ADG,

BE=DG

**.△ABEADG(^SAS'),

・•・Z-BAE=Z.DAG,AE=AG,

v乙BAD=2/.EAF,

:.Z.DAF+Z.BAE=NE/F,

，Z-DAF+Z.DAG=Z-GAF=Z-EAF,

在和△AGF中，

AE=AG

Z.EAF=Z.GAF,

AF=AF

•••△4EF三△4GF(SAS),

・•・EF=GF,

・・.EF=GF=DF+GD=DF+BE；

(3)当点E在线段8c上时，如图1,

•••BE=2,AB=5=CD=BC,

・••CE=3,

由(2)可知，EF=DF+BE,

・•・EF=DF+2,

vEF2=CF2+CF2,

・・・(D尸+2)2=9+(5—DF)2,

解得：DF=-y,

厂厂

・••EF=29—；

当点