2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷

（试卷满分150分.考试用时120分钟）2023.11

本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若钻<0,8C>0,则直线心-为-C=°不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若点P（“）在圆Ci+yLx-2），一氏=0的外部，则实数&的取值范围是（）

Ai）B6Tc卜高DC4）

OP=—OA+AOB+JLIOC（A^IGR）

3.已知°,A,B,C为空间中不共面的四点，且3\若A,B,

C四点共面，崛数/（"）=/-3（/+4）1（问-1,2]）的最小值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

4.已知A。：』）是平面a内一点，〃=（TT1）是平面a的法向量，若点以2，°，3）是平面a外一点，则

点尸到平面a的距离为（）

,26

A.2B.3c.6D.2®

5.已知点A（T3）,8（3,1）,直线/:n+y+2=°与线段AB有公共点，则实数机的取值范围为（）

A.（F-5]RM）B[-5,1]c（-oo,-l]kj[5,4^o）D[-1,5]

6.已知圆C：/+y2-8x+12=0,点尸在圆c上，点A（6,0）,M为”的中点，。为坐标原点，则tanZMOA

的最大值为（）

>/6"\[6R

A.12B.12C.4D.3

7.如图，在四面体A8C3中，平面ABC,CA1CB,CA=CB=AD,E为48的中点，尸为08上

靠近3的三等分点，则直线与CB所成角的余弦值为（）

D,

n

立立11

A.2B.3c.5D.6

8.已知圆C：（x-3）-+（y-4）-=9和两点A（f,O）,B（T,O）（"O）,若圆C上至少存在一点P,使得

PAPB<0,则实数r的取值范围是（）

2

A.（2,8）B,（>+°°）c.G”）D.。⑶

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在四棱锥P-AfiC。中，AP=a,AB=b,AD=c,若PE=ED,CF=2FP,则（）

11221212111

BE=-a——b+cBF--a——b+—cDF=—a+—b——cEF=—a——b+—c

A.22B.333c.333D.636

10.已知直线4.+y-3a=O,直线，2：2x+（a-l）y-6=0,则（）

A.当。=3时，4与4的交点为（3，°）B.直线4恒过点（二°）

C.若‘』2,则"3D,存在使《“A

II.已知X、y满足f+9-6工+2>+1=°,贝|J（）

2,y6尤-4

A.广+y的最小值为何一3B.鼠门的最大值为7

C.*+2y的最小值为1-3右D.J（x-3f+（y+l）2+Jx2+（y-3）2的最小值为§

12.如图，在正三棱柱MgA4a中，侧棱长为3,AB=2,空间中一点尸满足

AP=xAB+yAA,（x,ye[0,1]）则（）

A.若“-5,则三棱锥尸一的体积为定值

1

y=—

B.若2,则点P的轨迹长度为3

6届

C.若x+y=i,则尸片的最小值为R

3

D.若犬=旷，则点P到BC的距离的最小值为5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知直线/过点（［a）,且在V轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线/的方程是.

14.已知点A（°，5）,80,-2）,C（-3,-4）；D（2,a）四点共圆,则一

15.如图，已知二面角0-/_£的大小为60,Aea,Be/3,CDel,ACL/,如且AC=8£）=2,

CD=4,则48=.

16.在/BC中，顶点A（2,3）,点8在直线/：3x-y+l=°上，点C在x轴上，则SBC周长的最小值

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知"C的三个顶点是A（T2）,8（2,-2）,C（3,5）

（1）求边AC上的高所在直线的方程；

（2）求NBAC的角平分线所在直线的方程.

18.已知圆C（I）2+（）T）2=9

⑴直线4过点A（-2，0）,且与圆C相切，求直线4的方程；

⑵设直线仆3x+4y-2=°与圆C相交于E,尸两点，点尸为圆C上的一动点，求！PEE的面积S的最大

值.

19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，

使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体488-MNPQ,将正方体的上底面

平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点.

(1)求楔形体的表面积；

(2)求平面人。。与平面8NQ的夹角的余弦值.

20.已知圆C过M(T3),"(LI)两点，且圆心C在直线2x+y-5=0上

⑴求圆C的方程；

(2)设直线丫=丘+3与圆C交于A,8两点，在直线丫=3上是否存在定点。，使得直线AD,8。的倾斜

角互补？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

21.如图，在四棱锥中，底面从BCD是边长为2的正方形，侧面抬。为等边三角形，顶点尸在

底面上的射影在正方形钻8外部，设点E,F分别为P4,BC的中点，连接8E,PF.

⑴证明：8E〃平面尸。尸；

4&

(2)若四棱锥尸-的体积为亍，设点G为棱上的一个动点(不含端点)，求直线AG与平面PCO

所成角的正弦值的最大值.

因=2

22.已知点以"4⑼，*T°),动点尸满足归刊，设动点尸的轨迹为曲线C,过曲线C与x轴的负

半轴的交点。作两条直线分别交曲线C于点AB(异于。)，且直线A。，BO的斜率之积为3.

(1)求曲线C的方程；

(2)证明：直线AB过定点.

1.A

【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.

.„y=­x~——<0

【详解】由心D=n得’BB,又A8<0,8C>0,则直线的斜率B，在）’轴上的截距

所以直线加一向'-0=°经过第二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A

2.B

k>__I—

【分析】由方程表示圆可得4,再由点在圆外即可得左<-1,求得实数忆的取值范围是I4

（x-+（y-1）-=&+：4+工>0k>--

【详解】易知圆C可化为I214,可得4,即4.

又「（1」）在圆C外部，可得1+1—1—2—%>0,解得/<—1；

--<^<-1

可得4

故选：B.

3.D

【分析】根据点共面可得系数和为1,即可结合二次函数的性质求解最值.

【详解】因为P,A,B,C四点共面，所以存在x，yeR,使得AP=xAB+yAC,

故。。一3=、（。8一网+）3一码整理得

OP-OA={\-x-y）OA+xOB+yOCvOP=goA+2OB+〃OC（/l,〃eR）

,12

\--y=2+//=-

所以1X3,所以3,

所以〃X）=X2-2X-1=（X-1）--2,当x=l时，函数取最小值，且最小值为-2.

故选:D.

4.C

【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.

\n-AP\3厂

d=-pi-=—j==6

【详解】由题意得”=（1'-2,2）,故点尸到平面a的距离|〃|B,

故选：C.

5.C

【分析】先求出直线/的定点，再求出即…号＞3数形结合，得出结果.

【详解】如图

kr3一（_2）.§k=1-（-2）=]

由题意知直线/过定点一2）,易求出的斜率w-i-o尸8的斜率™3-0

直线/的斜率所以或-旭4-5,

即〃?＜一1或小25

故选：C.

6.A

【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M的轨迹方程为（x-5）-+V=1,即可根据相切求解最值.

【详解】由题意知圆C的方程为（I）'〉』，设尸（。儿），M（x,y）,

6+9

丁’

xQ=2x-6,

%=2y,，又p在圆C上，所以®一4）-+y=4,

即（2x-10）-+（2y）-=4,即〃的轨迹方程为（犬-5）-+y2=1如图所示，

当OM与圆（x一5）一+丁=1相切时，ZMOA取得最大值，

此时1训=后口=2何1an/MOA-亚-克，所以tanZMOA的最大值为77.

故选:A

7.D

【分析】以A为坐标原点，AC为y轴，AO为Z轴，过A垂直于平面C4O的直线为X轴建立空间直角坐

2_]_£

~'一二‘二

标系(如图所示)，设0=1,求得333，根据线线角的向量公式即可求

【详解】以A为坐标原点，AC为)轴，A。为z轴，过A垂直于平面。°的直线为x轴建立空间直角坐

标系(如图所示)，设8=1,

则8(1,1,0),C(O,l,O)£>(0,0,1)呜所以田(达，-1[C3=(l,0,0),

CF=CB+BF=CB+-BD=\-,--,^}

333

DECF

cos0=|cos(DE,CF

设直线。石与a7所成角的大小为。，则

故选：D.

8.B

【分析】根据题意可知，圆c与圆°"2+产=『。>0)的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和

两圆半径之间的关系即可求得/>2.

【详解】mCGT2+(y-4)2=9的圆心03,4),半径为y,

因为圆C上至少存在一点尸，使得尸4尸8<0,则NAPB>90。，

所以圆C与圆°：,+丁=”">0)的位置关系为相交、内切或内含，

所以可得因<3+。又因为1。。=心+42=5,

所以5<3+r,即t>2.

即实数，的取值范围是(工+8).

故选：B.

9.BC

【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE、BF、DE、EF关于｛"'"。｝的表达式.

BE=PE-PB=-PD-PB=-(AD-AP\-(AB-AP\

【详解】对于A选项，22、''>

=-AP-AB+-AD=-a-b+-c

2222,故A错误；

BF=BC^CF=AD-^-CP=AD+-(AP-AC\

对于B选项，33'7

2/\221221

=AD+-[AP-AB-AD]=-AP一一AB+-AD=-a-一b+-c

3',333333,故B正确；

DF=BF-BD=BF-(AD-AB]=-a一一b+-c-(c-b]=-a+-b一一c

对于C选项，',333、)333,

故C正确；

EF=BF-BE=—a——b+—c--a-b+—c\=—a+—h——c

对于D选项，（333J（22）636（故D错误.

故选：BC.

10.ABC

Jx-3=0,卜=3,

【分析】将“=3代入解得两直线交点坐标为（3，°）可判断A；令Iy=°，解得L'=°，可判断B,由直线

垂直的条件可判断C,由直线平行的条件可判断D.

【详解】对于A,当。=3时，直线小3*+»-9=0,直线（：2x+2y-6=0.

\3x+y-9=0,卜=3,

联立卜x+2y-6=0,解得卜=0,

所以两直线的交点为3°）,故A正确;

Jx—3=0,Jx=3,

对于B,直线4：（x-3"+y=O,令1y=0,解得b=0,即直线/，恒过点（3，°）,故B正确;

对于C：若4U,则"2+1x（“-1）=0,解得"?，故c正确;

对于D,假设存在“eR,使4〃4,则”（。一】）-2=0,解得q=2或a=-l,

当。=2时，4：2》+k6=0,4：2x+y-6=0,两直线重合，舍去,

当”=T时，直线「x-y-3=0,直线4：2>2尸6=0,两直线重合，舍去,

所以不存在“eR,使《”4,故D错误.

故选：ABC.

11.BCD

3-=%〃〃A

【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD选项；设X+1,可知直线区一y+A=°与

圆C有公共点，利用直线与圆的位置关系求出”的取值范围，可判断B选项；设x+2y=f,可知直线

x+2y-f=°与圆C有公共点，利用直线与圆的位置关系求出，的取值范围，可判断C选项.

【详解】方程八/3+2"1=0可变形为（x-3y+（y+l）2=9,

则方程/+）'-+2?+1=0表示的曲线是以C。，-1）为圆心，以3为半径的圆，

对于A选项，设点p（%y）,则二+「表示圆C上的点尸到原点。的距离的平方，

因为（°一3）一+（0+1）->9,则原点。在圆C外，

所以，叽=1。中3=^^7-3mM3,

当且仅当尸为线段℃与圆C的交点时，取最小值，

所以，f+尸的最小值为（加一3）236叫故人错误；

y八

对于B选项，设X+1,则"-y+A=o,

由题意知直线"―y+&=°与圆c有公共点，

俅+1+、-4-6&,一-4+6立

则52+1,即7二+诙一840,解得7一一7,

y6五-4

即77T的最大值为7,故B正确；

对于C选项，设犬+2丫=.,即x+2y-f=0,

由题意如直线x+2y—=°与圆C有公共点，

l3~2-fl<3

所以后，解得1-364r41+3后，故x+2），的最小值为1-3石，故c正确;

因为(x-3-(y+l)2=9,

所以J(x_3)+(y+l)2+Jf+(y_3)2=3+Jf+(y_3)2

表示点到点(o,3)的距离,

代数式PM

因为(0_3『+(3+1)2>9,所以，眼-3=4。一3)2+(3+1)2-3=5-3=2

当且仅当点尸为线段MC与圆C的交点时，1网取最小值，

所以，丸-3)2+()，+1)-+//+(\,_3)-的最小值为3+2=5,故D正确.

故选：BCD.

12.ACD

【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断尸到平面A4。的距离为定值，又AA41c的

面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到

直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出尸到BC的距离，再用二次函数的性质求出最

值.

【详解】

1

X=-

对A,若-2,分别作棱AB,A内的中点。，E,连接。E,则P在线段"E上，易知DK〃平面9。，

故点尸到平面A4。的距离为定值，又△“A。的面积为定值，所以三棱锥P-MC的体积为定值，故A

正确；

若分别作AA,84的中点M,N,则点尸的轨迹为线段MN,易知MV=A3=2,故B错误；

6屈

若x+y=i,则A,P,8三点共线，即点尸在线段A8上，易求点用到AB的距离为一下，故P片的

6如

最小值为13,故c正确；

若*=丫,则点尸在线段A片上，易证。8,DC,OE两两垂直，以。为坐标原点，DB,DC,所

在直线分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系，

则A（-l,O,O）,8（1,0,0）,C（0,6,0）,A（T，0,3）,线（1,0,3）,

所区A3=（2,（）,0）AC=（1,0,0）8c=卜1,6,0）惧=（0,0,3）AP=x（AB+〃）=（2苍0,3D

//1，，，，，

所以8尸=4尸_/15=(21_2,0,3元)

9

+

4-

1.3

x——d=—

所以当4时，mm2,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用

点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.

13,y=2x或2x+y-4=0

【分析】当纵截距为。时，设直线方程为丫=依，代入点（L2）求得k的值，当纵截距不为。时，设直线

的截距式方程，代入点已2）求解.

【详解】①当直线/在两坐标轴上的截距均为0时.，设直线方程为》=履，

因为直线过点（L2）,所以女=2,所以直线/的方程为丫=2元：

②当直线/在两坐标轴上的截距均不为。时，

Xy

-T-1I

设直线/在X轴上的截距为。，则在y轴上的截距为2a,则直线/的方程为a2a,

l+2_=l

又因为直线/过点0'2）,所以。+2〃一，

解得：。=2,

巧+上=1

所以直线/的方程为24,即2x+y-4=0,

综上所述：直线’的方程为丫=2》或2x+y—4=0,

故答案为：y=2x或2x+y-4=0.

14.1

【分析】设出圆的一般方程，带入A,B,C坐标，求出圆的方程，再带入点°(2M)求出答案.

【详解】设过A,B,C的圆的方程为一+丫2+6+或+尸=0,(犷+芯2-4八0),

'25+5E+F=0伊=6

<5+。—2七+尸=0E=—2

则以5-3D-4E+尸=。,解得[尸—5,

所以过A,B,C的圆的方程为V+y2+6x-2y—15=0,

2

又点。在此圆上，所以4+/+12-幼-15=0,g(ja-2a+l=0,所以。=1,

故答案为：1

15.

【分析】根据题意，得到AB=AC+CD+OB,利用.=(AC+CD+DB),结合向量的数量积的运算

公式，即可求解.

【详解】因为二面角0一/-£的大小为6。，所以4c与。8的夹角为120,

又因为A8=AC+CO+O4,

2/\2222

AB=(AC+CD+DB]=AC+CD+DB+2ACCD+2CD-DB+2DB-AC

所rrK以lv>

=4+16+4+0+0+2x2x2x|--|=2014nl/7

I2),所以o

故答案为：

16.2而

【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线，：3x-y+l=0同侧折线段化为直线异侧两定点间的折

线段之和，由两点之间线段最短可知.

【详解】设A关于直线/的对称点为尸，关于工轴的对称点为0,P。与/的交点即为8,与x轴的交点即

为C.

如图，RQ两点之间线段最短可知，P。的长即为JRC周长的最小值.

3X9_』=°,yJ,25,%5J

设p(xy),则122解得I5即I

A关于x轴的对称点为OR-3）,

\PQ\==2万

故.ABC周长的最小值为

故答案为：2岳.

[7（[）4x+3y—2=0（2）%+7y—13=。

【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，

（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.

k,—,5-2——3

【详解】（1）设AC边上的高所在直线的斜率为直线AC的斜率*'4,

,,.k=--

所以公化"=7,所以3,

4

y+2=—（x—2）

故所求直线方程为3,即4x+3y-2=0

（2）由题意得」AB|=卜3『+42=5,|AC|="+32=5,

所以圈=照=5,则为等腰三角形，

--21

,21

BC的中点为G2人故2,

由等腰三角形的性质知，A。为/B4C的平分线,

,即x+7y-13=0.

18.⑴x=-2或4x+3y+8=°⑵8近

【分析】（1）分类讨论直线4的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解;

（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.

【详解】（1）由题意得C0'l）,圆C的半径r=3,

当直线4的斜率存在时，设直线4的方程为、=可》+2）,即y+2A=o,

匕31=3A.__4

由直线4与圆C相切，得7^+1，解得一一3,

所以直线4的方程为4x+3y+8=°；

当直线4的斜率不存在时，直线4的方程为x=-2,显然与圆c相切;

综上，直线4的方程为x=-2或4x+3y+8=°.

"一.4一2|

（2）由题意得圆心C到直线4的距离后不

所以回|=2x乒F=4&

点尸到直线4的距离的最大值为r+d=3+1=4,

5™x=-x|EF|x（r+J）=-x4^x4=85/2

则！PE尸的面积的最大值-2।।，2.

3后

19.（1严+8而⑵26

【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+8加；

（2）以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面与

3底

平面BNQ的夹角的余弦值为百

【详解】（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，

侧面是等腰梯形，其上底面边长为1,下底面边长为3,腰的长为1'+（夜）=屈,

所以侧面等腰梯形的高为布，

1x1+3x3+4x1（1+3）x710=10+8710

所以该楔形体的表面积为2、

（2）以点。为坐标原点，分别以OA,DC,所在直线为x轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系,

如下图所示：

则A（3,0,0）,83,3,0）,p（l,2,3）,Q（l,l,3）,N（2,2,3）,

则”=（—2,2,3）,AQ=（—2,1,3）BN=（—1,—1,3）,B0=（-2,-2,3）

设平面APQ的法向量为4=（.如4）,平面BNQ的法向量为％=（占，％，z2）,

AP-n=-2Xj+2y+3z）=0

*}

则［A。玛=-2±+%+3Z|=0,解得M=0,令4=2,则演=3,,

所以平面AP。的一个法向量为勺=（3，。，2）,

-

BN-n2=-x2-y2+3z2=0

同理得=-2々-2必+322=0,解得Z2=0,令多=1,则％=T；

即平面BNQ的一个法向量为2=（LT，o）

八八%|33726

设平面与平面8AQ的夹角为，，则eX&26,

3届

所以平面APQ与平面BNQ的夹角的余弦值为方-.

20.⑴（I）'+（—f=4

⑵存在定点°（一3,3）满足条件

【分析】（1）先求MN的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果;

（2）设3（毛，％）,根据题意可得2例々一6（西+七）=（）,联立方程，利用韦达定理运算求解.

【详解】（1）由题意得出的中点E的坐标为（°，2）,直线用N的斜率为-1,

因为CELMN,所以直线CE的斜率为1,

Jy=x+2ix=\

所以直线CE的方程为y—2=x,即y=x+2,解方程组12x+y-5=°得［v=3,故C0，3）,

所以圆C的半径'T叫=J（l+l『+（3-3）2=2,所以圆c的方程为（1-3）』

y=去+3

⑵由标一1）一+（＞一3）-=4消去＞；整理得（1+产卜2-2%-3=0,

可得△=4+12（1+巧＞0,

2___3_

设月（%，%）,〃（孙必），则1+r，"I，"1+F.（*）

%=，-3=乃-3

H，＞

设°&3）,则“'占-f,x2-t（k%即。分别为直线AQ,的斜率）.

因为直线A。，8。的倾斜角互补，

所以&AD+L=。，即X-々T,即（乂-3）（wT）+（%-3）（%-。=0,

6k2kt_

即2g/一K（％+毛）=°,将（*）式代入得1+二1+二一，

攵«+3）_0

整理得］+/一对任意实数左恒成立，故『+3=0,解得/=-3,故点。的坐标为（-3,3）.

所以在直线＞'=3上存在定点0（-3,3）满足条件.

2&

21.（1）证明见解析;⑵3

【分析】（1）取4。的中点利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.

（2）利用给定体积求出锥体的高，以点加为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法

求解即得.

【详解】（1）取的中点连接EM,BM,如图，

由E为姑的中点，得EM//PD,而W平面下，P£>u平面PL尸，则EM//平面尸Ob,

又MDUBF,且初>=8/，即四边形85〃邛为平行四边形，则

又平面PDF,DFu平面PDF,于是MB//平面,

显然MBEM=M,MREMu平面晌/,因此平面BEM//平面PDF,又BEu平面BfiW,

所以BE//平面叨F.

（2）连接板，设该四棱锥的高为〃，则体积为3,h=五,

连接PM,则尸M_L_LAO,FMcPM=M,FM,PMu平面PMF,

于是AO,平面尸而ADu平面ABCD,则平面尸除_L平面A8C£>,

在平面PME内过M作Afe_LEM,而平面PA"7'平面从而Mz,平面ABC。，

显然两两垂直，以点M为坐标原点，直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

Mxyz

则P（（）,T及），A（l,0,0）,8（1,2,。），C（-l,2,0）0（—1,0,0）

则尸3=（1,3,-应）PC=（-1,3,-血）0c=（0,2,0）i5PG=2PB（0<A<l）

PG=(4,34-0/1)..0(71,32-1,5/2(1-2))AG=(A-l,3^-l,-«/2(l-Z))

z>J，AA，，

n-PC=-x+3y-\/2z=0

设平面PCD的一个法向量为"=(qZ),则［〃gc=2y=°,取z=i,得〃十万°』),

设直线AG与平面尸。所成的角为e,则

“=、〈〃,也|=哨=一旭心「迈•/T

|/?||/4G|v3,^y(l—+(3/1—1),*+2(1—A)"3\/34~—34+1

令1T=L