北京师大附中2024届八年级数学第二学期期末联考模拟试题含解析

北京师大附中2024届八年级数学第二学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．为打击毒品犯罪，我县缉毒警察乘警车，对同时从县城乘汽车出发到A地的两名毒犯实行抓捕，警车比汽车提前15分钟到A地，A地距离县城8千米，警车的平均速度是汽车平均速度的2.5倍，若设汽车的平均速度是每小时x千米，根据题意可列方程为()A．+15＝ B．＝+15C．＝ D．＝2．在矩形中，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．3．一次函数y1=kx+b与y2=x+a图象如图：则下列结论①k<0;②a>0;③不等式x+a<kx+b的解集是x<3;④a−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．75．下列各式中，能与合并的二次根式是()A． B． C． D．6．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是A． B． C． D．7．下列命题中，正确的是（）A．矩形的邻边不能相等 B．菱形的对角线不能相等C．矩形的对角线不能相互垂直 D．平行四边形的对角线可以互相垂直8．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（）A． B． C．3 D．2.89．如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是()A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（）A． B． C． D．11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则两次降价的平均百分率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%12．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表:一户居民每月用电量x(度)电费价格(元/度)0.480.530.78七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，则李叔家七月份最多可用电的度数是().A．100 B．400 C．396 D．397二、填空题（每题4分，共24分）13．函数中，当满足__________时，它是一次函数.14．已知等腰三角形的周长为24，底边长y关于腰长x的函数表达式(不写出x的取值范围)是________．15．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝________.16．若等腰三角形的两条边长分别为8cm和16cm，则它的周长为_____cm．17．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=45°，AE⊥BC于点E，则菱形ABCD的面积为_____cm2。18．方程x2＝x的解是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为P′(x1+6，y1+4)．（1）请写出三角形ABC平移的过程；（2）分别写出点A′，B′，C′的坐标．（3）求△A′B′C′的面积．20．（8分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．21．（8分）关于的一元二次方程为(1)求证:无论为何实数，方程总有实数根;(2)为何整数时，此方程的两个根都为正数.22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．(1)直接写出点B和点D的坐标．(2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系，并指出x的取值范围．(3)当S＝10时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，共有几个这样的点？请求出其中一个点的坐标（写出求解过程）；若不存在，请说明理由．23．（10分）在矩形中，，，将沿着对角线对折得到.（1）如图，交于点，于点，求的长.（2）如图，再将沿着对角线对折得到，顺次连接、、、，求：四边形的面积.24．（10分）如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.①求证：;②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.25．（12分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC=4，BE=1，直接写出菱形AECF的边长．26．如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果∠ABE=∠ABD=60°，AD=2，求AC的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】

设汽车的平均速度是每小时x千米，则警车的平均速度是每小时2.5x千米，根据时间＝路程÷速度结合警车比汽车提前小时(15分钟)到A地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】设汽车的平均速度是每小时x千米，则警车的平均速度是每小时2.5x千米，依题意，得：＝+．故选D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2、C【解析】

根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可．【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量．A.，故该选项错误；B.，但方向不同，故该选项错误；C.根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确；D.，故该选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．3、C【解析】

根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用两函数图象的位置对③进行判断，联立方程解答即可．【详解】∵一次函数y1=kx+b的图象经过第二、四象限，∴k<0，所以①正确；∵一次函数y2=x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，∴a<0，所以②错误；∵x<3时,一次函数y1=kx+b的图象都在函数y2=x+a的图象下方，∴不等式kx+b<x+a的解集为x<3，所以③正确。∵a=y−x，b=y−kx，∴a−b=3k−3，正确；故选C【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题关键.4、A【解析】设多边形的边数为n，根据题意得（n-2）•180°=360°，解得n=1．所以这个多边形是四边形．故选A．5、B【解析】

先化成最简二次根式，再判断即可．【详解】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；B、=，能与合并，故本选项符合题意；C、=，不能与合并，故本选项不符合题意；D、=4，不能与合并，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了同类二次根式和二次根式的性质等知识点，能理解同类二次根式的定义是解此题的关键．6、D【解析】

根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=kx（k≠0），可以判定函数的类型．【详解】A.是一次函数，故此选项错误；B.是正比例函数，故此选项错误；C.不是反比例函数，故此选项错误；D.是反比例函数，故此选项正确。故选D.【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义对选项进行判断是解题关键.7、D【解析】

根据矩形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．【详解】A、矩形的邻边能相等，若相等，则矩形变为正方形，故A错误；B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，故B错误；C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，故C错误；D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，故D正确．故选D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8、B【解析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数．在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．【详解】设BE=x，∵AE为折痕，∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，Rt△ABC中，AC==5，∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣x，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=．所以CE=4﹣．故选B．【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．9、C【解析】试题分析：平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分.考点：平行四边形的性质.10、D【解析】

由勾股定理的逆定理可判定△BAC是直角三角形，继而根据求出平行四边形ABCD的面积即可求解．【详解】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，∵AB＝，∴AB2+AO2＝BO2，∴∠BAC＝90°，∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，∴×2＝AE，∴AE＝，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．11、C【解析】

根据商品的原来的价格（1-每次降价的百分数）2=现在的价格，设出未知数，列方程求解即可.【详解】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x根据题意列方程得：解得（舍）故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于根据题意列方程.12、C【解析】

先判断出电费是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，列不等式计算即可．【详解】解：0.48×200+0.53×200

=96+106

=202（元），

故七月份电费支出不超过200元时电费不超过400度，

依题意有0.48×200+0.53（x-200）≤200，

解得x≤1．

答：李叔家七月份最多可用电的度数是1．

故选：C．【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．二、填空题（每题4分，共24分）13、k≠﹣1【解析】分析:根据一次函数的定义解答即可，一般地，形如y=kx+b,（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数.详解:由题意得，k+1≠0,∴k≠-1.故答案为k≠-1.点睛:本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键.14、y=24-2x【解析】分析：根据周长等于三边之和可得出底边长y关于腰长x的函数表达式.详解：由题意得,y+x+x=24,∴y=24-2x.故答案为：y=24-2x.点睛：本题考查了列一次函数关系式，熟练掌握周长等于三边之和是解答本题的关键.15、45°【解析】

试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，且故答案为点睛：平行四边形的对角相等，邻角互补.16、1；【解析】

根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为8cm，依此即可求得等腰三角形的周长．【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为3cm，8cm，

∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为8cm，只能为16cm，

∴等腰三角形的周长=16+16+8=1cm．

故答案为1．【点睛】本题考查了三角形三边关系及等腰三角形的性质，关键是要分两种情况解答．17、32【解析】

根据AE⊥BC,∠B=45°知△AEB为等腰直角三角形.在Rt△AEB中,根据勾股定理即可得出AE的长度,根据面积公式即可得出菱形ABCD的面积.【详解】四边形ABCD为菱形，则AB=BC=CD=DA=8cm，∵AE⊥BC且∠B=45°,∴△AEB为等腰直角三角形,∴AE=BE,在△AEB中，根据勾股定理可以得出+=，∴2=，∴AE====4，∴菱形ABCD的面积即为BC×AE=8×4=32.【点睛】本题目主要考查菱形的性质及面积公式，本题的解题关键在于通过勾股定理得出菱形的高AE的长度.18、x1＝0，x2＝1【解析】

利用因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）A′(2，3)B′（1，0）C′（5，1）；（3）5.5【解析】

(1)由x1+6-x1=6，y1+4-y1=4得平移规律；(2)根据(1)中的平移规律即可得到点A′，B′，C′的坐标；(3)把△A′B′C′补形为一个长方形后，利用面积的和差关系求△A′B′C′的面积.【详解】(1)△ABC先向右平移6个单位,再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位,再向右平移6个单位得到△A′B′C′(2)A′(2，3)B′（1，0）C′（5，1）;(3)S△A′B′C′=4×3−×3×1−×3×2−×1×4=12−1.5−3−2=5.5.20、（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】

（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则，解得∴直线PR为y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.21、（1）为任何实数方程总有实数根；（2）.【解析】

（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系列出方程，结合题目条件求解即可.【详解】（1）∴为任何实数方程总有实数根。（2）设方程两根为，，则由题可得，∴或∴∵是整数，∴【点睛】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．22、（1）B（0，4），D（0，－1）；（2）（）；（3）存在，共有3个，E点为（4，）、（－6，－4）和【解析】

（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论．（2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论．（3）分三种情况，根据题意只写出其中一个求解过程即可，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论．【详解】（1）将x=0代入y＝x＋4，y＝＋4解得将y=0代入y＝－x－1，y＝－－1解得∴B（0，4），D（0，－1）（2）在解方程组得M点的坐标是，∵BD＝5，当P点在轴左侧时，如图（1）：；当P点在轴右侧时，如图（2）：．总之，所求的函数关系式是（）（3）存在，共有3个．当S＝10时，求得P点为（－1，），若平行四边形以MB、MP为邻边，如图，BE∥MD，PE∥MB，可设直线BE的解析式为，将B点坐标代入得，所以BE的解析式为；同样可求得PE的解析式为，解方程组得E点为（4，）[{备注：同理可证另外两个点，另两个点的坐标为（－6，－4）和}【点睛】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质、三角形的面积公式、对角线互相平分的四边形是平行四边形、线段的中点坐标的确定方法是解题的关键．23、（1）；（2）的面积是.【解析】

（1）由矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，由勾股定理可求AC＝5，由折叠的性质和平行线的性质可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长，由三角形面积公式可求EF的长；（2）由折叠的性质可得AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，由“SAS”可证△BAM≌△DCN，△AMD≌△CNB可得MD＝BN，BM＝DN，可得四边形MDNB是平行四边形，通过证明四边形MDNB是矩形，可得∠BND＝90°，由三角形面积公式可求DF的长，由勾股定理可求BN的长，即可求四边形BMDN的面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC∴AC＝＝5，∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC．∴∠BCA＝∠ACE，∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA∴∠EAC＝∠ECA∴AE＝EC∵EC2＝ED2＋CD2，∴AE2＝（4−AE）2＋9，∴AE＝，∵S△AEC＝×AE×DC＝×AC×EF，∴×3＝5×EF，∴EF＝；（2）如图所示：∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC，将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，∴AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，∵AB∥CD∴∠BAC＝∠ACD∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAM＝∠ACN∴∠BAM＝∠DCN，且BA＝AM＝CD＝CN∴△BAM≌△DCN（SAS）∴BM＝DN∵∠BAM＝∠DCN∴∠BAM−90°＝∠DCN−90°∴∠MAD＝∠BCN，且AD＝BC，AM＝CN∴△AMD≌△CNB（SAS）∴MD＝BN，且BM＝DN∴四边形MDNB是平行四边形连接BD，由（1）可知：∠EAC＝∠ECA，∵∠AMC＝∠ADC＝90°∴点A，点C，点D，点M四点共圆，∴∠ADM＝∠ACM，∴∠ADM＝∠CAD∴AC∥MD，且AC⊥DN∴MD⊥DN，∴四边形BNDM是矩形∴∠BND＝90°∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DF∴DF＝∴DN＝∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD＝5，∴BN＝∴四边形BMDN的面积＝BN×DN＝×＝.【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明四边形BNDM是矩形是本题的关键．24、(1)①见解析；②；（2）见解析【解析】

（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴EB=ED，∠CBE=∠1，∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°，∵∠EFC+∠2=180°，∴∠EBC=∠