垂径定理课件北师大版数学九年级下册2

3.3垂径定理九年级下

北师版1.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，理解并掌握垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决相关问题.学习目标重点难点新课引入如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？●

OABCDM●OABCDM└新知学习图中有哪些等量关系？说一说你的理由.思考③AM=BM，①CD是直径②CD⊥AB可推得条件结论④⑤

能不能用所学过的知识证明你的结论？探究●

OABCDM└证明：如图，连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，∴∴∠AOD=∠BOD.∴∵CD是直径，且CD⊥AB，∴AM=BM.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∴归纳●OABCDM└ABOCDEOABCABOEABDCOE下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心思考例1如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半径OC的长为5cm.涉及垂径定理时添加辅助线，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.OABC·rd归纳例2如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？

·OABCDE解：(1)连接AO,BO,则AO=BO,又

AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）

与

相等吗？

与

相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得

，.·OABCD圆的两条直径互相平分，但不一定互相垂直，如下图中，≠.只有平分非直径的弦才有上题的结论.

思考直径是弦吗？如果平分直径，上题的结论成立吗？归纳垂径逆定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.∵CD为⊙O的直径∴CD⊥AB又∵AE=BE∴·OABCDE几何语言：垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(

)A．3B．2.5C．4D．3.5C针对训练2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=

cm．16·OABE3.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴

AD=AB=×37=18.5，弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：

d+h=r

ABCDOhrd归纳弓形中重要数量关系例3如图,—条公路的转弯处是一段圆弧（即图中

,点O是

所在圆的圆心），其中CD=600m，E为

上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.EODCFEODCF设弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.∵OE

⊥CD，在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002

+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.解：连接OC.∴

CF=CD=×600=300(m).针对训练1.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺＝10寸）A．12寸

B．13寸

C．24寸 D．26寸D2.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为

5cm，油面宽

AB为

6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为

8cm，则油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D3.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围

.BAOP3cm≤OP≤5cm1.（2022云南省卷）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为()A.

B.C.

D.B随堂练习2.（2022四川泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4

，DE＝4，则BC的长是()A．1B．C．2D．4C

5.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．