专题11 计数原理（选填题10种考法）（原卷版）

专题11计数原理（选填题10种考法）考法一排队问题【例1】（2023春·重庆沙坪坝）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（

）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法【变式】1．（2023秋·高二课时练习）(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（

）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（

）A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种3．（2023春·河北石家庄）（多选）现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（

）A．个空位全都相邻的坐法有种B．个空位中只有个相邻的坐法有种C．个空位均不相邻的坐法有种D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种考法二排数问题【例2】（2023春·江苏泰州）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（

）A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（

）A．可以组成个四位数B．可以组成个四位偶数C．可以组成个能被3整除的四位数D．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310考法三分组分配问题【例3】（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（

）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为【变式】1．（2023·全国·模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（

）A．54种 B．66种 C．90种 D．112种2．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建泉州）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（

）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为考法四涂色问题【例4】（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023春·江苏连云港）（多选）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（

）A．共有种不同方案B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案2.（2023·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有种．

3（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.考法五最短距离【例5】（2023云南）（多选）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（）

A．种 B．种 C．12种 D．32种【变式】1．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（

）条．A．23 B．24 C．25 D．262（2023·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（

）A．23条 B．24条 C．25条 D．26条3（2023·北京）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（

）A．种 B．种C．种 D．种考法六指定项系数【例6-1】（2023·天津·统考高考真题）在的展开式中，项的系数为．【例6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）的展开式中的系数为．（用数字作答）【例6-3】（2023·福建·校联考模拟预测）展开式中的常数项为.（用数字做答）【例6-4】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知，则.【变式】1（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为.2．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为（用数字作答）．3．（2023·福建龙岩·统考二模）已知的展开式中的系数为21，则．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若，则.5（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知的展开式中的系数为，则实数（

）A． B． C． D．考法七（二项式）系数和【例7-1】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若，，则（

）A．B．C．D．【例7-2】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知多项式，则（

）A． B．C． D．【变式】1．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）（多选）若，则（

）A． B．C． D．2．（2023·山东日照·三模）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．考法八二项式系数的性质【例8-1】（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为.【例8-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是.【例8-3】（2023·山东·模拟预测）（多选）的展开式中系数最大的项是（

）A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项【变式】1．（2023·湖南郴州·统考一模）在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为.2．（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项3（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4考法九二项式定理的应用【例9】（2023·江苏无锡）（多选）若，则（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余数为6D．的个位数为6【变式】1.（2022·潍坊模拟）除以7的余数是（）A．0 B．1 C．2 D．32.（2022广东）的计算结果精确到个位的近似值为A．106 B．107 C．108 D．1093．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若，则被5除所得的余数为．考法十二项式定理与其他知识综合【例10-1】（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（

）A．70 B．－70 C．56 D．－56【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（

）A．180 B．120 C．90 D．45【变式】1.（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（

）A．70 B．－70 C．56 D．－562.（2023·全国·高三专题练习）定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（

）A．180 B．120 C．90 D．453．（2023·上海·高三专题练习）已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（

）A． B．C． D．4．（2023·山西·统考一模）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______.一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．203．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种4．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种5．（2023·北京·统考高考真题）的展开式中的系数为（

）．A． B． C．40 D．806．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种7．（2022·北京·统考高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．8．（2023·全国·模拟预测）为躲过了新冠，躲过了甲流，没躲过呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才过去不久，呼吸道感染的老人又多起来.“最近，呼吸道合胞病毒感染处于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大儿院占据首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一种什么病毒？RSV为副黏病毒科肺炎病毒属的单股负链RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常见病原，RSV通常于上呼吸道中开始感染，引发的症状易与普通感冒相混淆，出现呼吸系统后遗症.5月3日，葛兰素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群体预防RSV感染导致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.该产品也是全球首款获批上市的RSV疫苗.为研究的临床试验，旨在评估单剂量和接种Arexvy对比安慰剂对RSV-LRTD的预防效果.该实验有3接种组，现有8名志愿者将被派往这3接种组安排接种工作，每个接种组至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种9．（2023·浙江·校联考二模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（

）A．120 B．210 C．211 D．21610．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（

）A． B．C． D．11．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）2023年元旦当天，某微信群中有小郭、小张、小陈、小李和小陆五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个66.66元、1个88.88元、1个99.99元（红包中金额相同视为相同红包），则小郭、小张都抢到红包的不同情况有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（

）种．A．128 B．132 C．156 D．18013．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种14．（2023·江西·校联考模拟预测）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（

）A．450种 B．72种 C．90种 D．360种15．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（

）A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．16．（2023·广西北海·统考一模）展开式中，的系数为（

）A．3 B．6 C．9 D．1217．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设，则等于（

）A．45 B．84 C．120 D．165二、多选题18．（2023春·江苏扬州）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（

）A．没有空盒子的方法共有24种B．可以有空盒子的方法共有128种C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种19．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）某校举办“新生杯”足球比赛，现分配A、B、C、D，4人到甲，乙，丙三场比赛中担任主裁判，每人最多担任其中一场比赛的主裁判，每场比赛主裁判有且只有一人担任则下列说法正确的是（

）A．不同的分配方案共有81种B．不同的分配方案共有24种C．若A，B两人都不能去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种D．若A，B两人必有一人去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种20．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（

）A．不同的摆放方法共有120种B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种21．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED），则下面正确的是（

）A．从5个AED中随机取出3个，共有10种不同的取法B．从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法C．把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，共有129种方法D．把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方法22．（2023·全国·高三专题练习）生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（

）A．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法23．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为24．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知展开式中的第三项的系数为45，则（

）A． B．展开式中所有系数和为C．二项式系数最大的项为中间项 D．含的项是第7项25．（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（

）A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1012项C． D．26．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．27．（2023·重庆·统考模拟预测）在展开式中（

）A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项28．（2023·山西晋中·统考二模），若，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．的展开式中第1012项的系数最大29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（

）A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256C．常数项为84 D．有理项有2项30．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．31．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（

）．A．B．第2022行的第1011个数最大C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3三、填空题32（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．33．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则，．33