第1课时图形面积的最大值课件北师大版数学九年级下册

2.4二次函数的应用第二章二次函数

第1课时图形面积的最大值写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=x2

-

4x

-

5；

(2)y=-x2

-

3x+4.

解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（

，

）；想一想思考

二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由什么决定？最小值最大值

二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由

a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.xyOxyO例1

写出下列抛物线的最值.（1）y=x2

-

4x

-

5;

解：(1)∵a=1＞0，对称轴为

x=2，顶点坐标为(2，-9),

∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;(2)y=-x2

-

3x

+

4.

(2)∵a=-1＜0，对称轴为

x=，顶点坐标为(，),

∴当x=时，y取最大值，最大值为;求二次函数的最大(或最小)值1例2已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3B．－1C．4D．4或－1解析：∵二次函数

y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.C引例

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示?2几何图形面积的最大面积解：(1)设

AD=h，由图可知

Rt△EDC∽Rt△CBF.∴∴EFGEF在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？解：如下图所示，过点

G

作

GM⊥EF，交

DA

于点

N，交

CB

于点

M.∵DA//CB，∴GN⊥DA.∵DA//EF，MN议一议(2)设矩形的面积为ym，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?（2）由题意可得∴当

x=20时，y有最大值300.(0＜x＜40)EF

在Rt△EGF中，由得

GM=24（m）∴当

x=12时，y有最大值

300.(0＜x＜40)GEFMN例3

如图，用一段长为

60m

的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？思考

这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？矩形面积与一边长的关系.60-

2xxx①

设未知数，用含未知数的代数式表示相关量解：设垂直于墙的一边长为

xm，则平行于墙的边长为(60−

2x)m.∴S

=x(60−

2x)

=−2x2＋60x.②

根据题意，求出自变量的取值范围∴14≤x＜30.60−2x≤32，x＞060−2x＞0③

写出二次函数解析式，并化为顶点式60-

2xxx∵S=−2x2＋60x=−2(x−15)2+450，④

结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值∴当

x=15m时，S取最大值，此时

S最大值

=450m2.(2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？60-

2xxx解：设垂直于墙的一边长为

xm，由(1)知

S=−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x

−15)2+450.∴21≤x＜30.60−2x≤18，x＞060−2x＞0想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？观察取值范围，你有什么发现？Oxy3021∵15＜21，x=

15∴当21≤

x＜30时，S随

x的增大而减小，故当x=21时，S取得最大值，此时

S最大值

=−2×(21−15)2+450=378(m2).归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值；3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值.

例4

用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为

15

m.当

x

等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到

0.01

m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到

0.01

m2)xxy典例精析解：∵7x+4y+πx=15，∵0＜x＜15，且0＜

＜15，∴0＜x＜1.48.设窗户的面积是Sm2，则∴当

x=≈1.07时，S最大=≈4.02.因此，当

x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2.几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定（二次函数的图象和性质）实际问题数学模型转化回归（实物中的抛物线形问题）1.如图

1，用长

8m的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是

.图12.如图1，在

△ABC中，∠B=90°，B=12cm，BC=24cm，动点

P从点

A开始沿

AB向

B以2cm/s的速度移动（不与点

B重合），动点

Q从点

B开始沿

BC以4cm/s的速度移动（不与点

C重合）.如果

P、Q分别从

A、B同时出发，那么经过

s，四边形

APQC的面积最小.3ABCPQ图1链接中考3.(河北期末)

如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长

15

m

的墙，想用长为

40

m

的网绳围成一个矩形

ABCD

给奶奶养鸡，怎样使矩形

ABCD

的面积最大呢?

同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设

BC

的边长为

xm.

矩形

ABCD

的面积为

S

m2不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)

求

S

与

x

的函数关系式.

直接写出

x

的取值范围；(2)

x

为何值时，矩形

ABCD