“平面几何”竞赛问题的简单剖析

“平面几何”竞赛问题的简单剖析平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科。初中重点学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，是学习逻辑分析、论证的方法，促使学生逐渐具备可持续发展的能力。本文选取一些试题作剖析，内容涵盖初中几何的大部分知识点，侧重归纳解题方法、探寻解题思想、期望以点带面起到抛砖引玉之作用，使大家能初步感受和把握初中数学竞赛试题在几何层面命题的一些脉络。[例1]如图1，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=1，在角的两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长的最小值为多少？[略解]如图1，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2、P1P2（P1P2分别交OA、OB于点Q、R）、P1P、P2P.易证P1O=P2O=PO=1,∠P1OP2=2×45°=90°且P1Q=PQ,P2R=PR,则△PQR的周长=P1P2图1而在Rt△P1OP2中,显然P1P2=图1则△PQR的周长的最小值为.关于最小此处证略.[点评]含45°(或135°)角的三角形与直角(90°)或正方形之间存在着内在联系.我们要善于挖掘题设中的隐含条件并及时总结；两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据之一，对称变换是研究此类问题较常用的方法.[例2]一个六边形的六个内角都是120°,连续四条边的边长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少?[略解]如图2，六边形ABCDEF的每个内角都为120°，且AF=1，AB=BC=3，CD=2.如图2延长相应的边分别交于三个点P、Q、R,易证△PAF、△QBC、△RED、△PQR均为等边三角形，而PQ=PA+AB+QB=AF+AB+BC=7，图2所以DE=DR=7-QC-CD=2，EF=7-PF-ER=4图2则该六边形的周长为15.[点评]把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法.本题是抓住六边形的每个内家为120°这个特性,将其转化为特殊三角形(等边三角形),从而使问题得解.[例3]如图3,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=2,PC=4.求△ABC的边长.[略解]将△PAB绕点B逆时针旋转60°等到△HCB,再连接HP,如图3易证△HPB为等边三角形,则有HP=BP=2,而HC=PA=2,PC=4所以HC2+HP2=PC2,即△HCP为Rt△而HC=2,PC=4,所以∠CPH=30°,则∠CPB=90°所以BC=2[点评]在特殊图形中(如正三角形、正方形、圆)探讨问题时,图3旋转是常用的方法之一.本题通过旋转后,巧妙地将三条长正好图3为勾股数的一组边置于同一个三角形,从而使问题迎刃而解.[例4]已知六边形ABCDEF中，M1，M2，M3，M4，M5，M6分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA的中点.又M1M4,M2M5,M3M6都分别平分六边形ABCDEF面积.如图4.求证:M1M4,M2M5,M3M6相交于一点.[证明]设M1M4,M2M5相交于点P,再连结PM3,PM6,以及PA,PB,PC,PD,PE,PF.易知四边形PABC的面积=2×四边形PM1BM2的面积……①四边形PDEF的面积=2×四边形PM4EM5的面积……②因为M1M4,M2M5都平分六边形ABCDEF面积所以五边形M1M4DCB的面积=五边形M2M5EDC的面积,除去公共部分五边形M2PM4DC的面积,可得四边形PM1BM2面积=四边形PM4EM5面积.由①,②得四边形PABC的面积=四边形PDEF的面积注意到△CPM3与△DPM3等积,△CPM6与△DPM6等积因此折线M3PM6平分六边形ABCDEF的面积,但直线段M3M6也平分六边形ABCDEF的面积,所以△M3PM6的面积为0,即点P应在M3M6上.所以M1M4,M2M5,M3M6相交于一点.图4图4[点评]“等底等高的两个三角形面积相等”、“三角形一边的中线平分这个三角形的面积”等定理或者推论在面积割补内容中既是基本知识点,运用又相当广泛,在推理中要根据题目条件恰当地加以运用,会比较轻松并有技巧地解决问题.[例5]已知：如图5，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:.[证明]作△ABC的外接圆及弦BD,使BD=BC图5则∠BAD=∠BAC,又∠CAB=∠CDB,∠BCD=∠CDB,图5∠CAD=2∠CAB=∠CBA=∠ADC,∠ABD=∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠ACB-∠CDB=∠ACB-∠CAB=3∠CAB=2∠CAB+∠CDB=∠CBA+∠CDB=∠ADC+∠CDB=∠ADB,∴由A、B、C、D四点共圆以及托勒密定理得BC·AD+BD·AC=AB·CD即BC·AB+BC·AC=AB·AC即[点评]形如这样的式子在转化为整式形式时变为:bc+ac=ab,其形式和托勒密定理类似,通常可以试试托勒密定理,从而需要构建以a、b、c、c为边及a、b为对角线的圆内接四边形.当然,这种形式的等式也可以采用其他证明方法,比如:转化为线段的比例式（1）可证和两个同分母的分式分别相等，例如.当m+n=p时等式成立（2）可证明c,a,b－c,b四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差（3）可证明a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和[例6]已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交⊙O于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于点E.如图6求证：CE＝CB[证明]过点P作两圆公切线PQ交AB于Q由切线长定理，得QP＝QA＝QB∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠∴BC是⊙O的直径，BC⊥AB根据射影定理，得BC2＝CP×CA∵CE切⊙O1于E，图6根据圆幂定理，得CE2＝CP×CA图6∴CE＝CB[点评]竞赛数学在课本知识的基础上补充一些知识是必要的,本例所涉及射影定理,亦即直角三角形中成比例线段定理,如图7.图7图7圆幂定理亦即圆中成比例线段定理,如图8.若ABCD四点共圆，AB、CD交于P，则PA×PB＝PC×PD＝PT2图8（PT切圆于T）图8[例7]已知：如图9,四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.求证：M，N平分AC和CD.[证明]设S△ABC＝1，则S△ABD＝3，S△BCD＝4，S△ACD＝3＋4－1＝6.设＝k(0<k<1).连结AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得，∴S△ACN＝6k；图9,∴S△AMN＝6k×k＝6k2；图9,∴S△BCN＝4k；,∴S△ABM＝k；S△BMC＝1－k.∵S△ACN－S△AMN＝S△MNC＝S△BCN－S△BMC∴6k－6k2=4k－(1－k).6k2－k－1=0.∴k=；或k=.(k=.不合题意，舍去.)∴＝k=.∴AM＝MC，CN＝ND.即M，N平分AC和CD.[点评]有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.[例8]已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.如图10.求证：AO⊥DE[证明]延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，图10即AO⊥DE.图10[点评]画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：同弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角；圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系；圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.因此在解题可以根据需要画出辅助圆.[同步练习]一、填空题1.如图11,△ABC中,∠BAC=135°,AD⊥BC,BD=4,DC=6.则S△ABC=___________.图11图11图12图122.凸八边形ABCDEFGH的八个内角相等,边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7、4、2、5、6、2，则该八边形的周长=__________.3.如图12,A、B、C、D是圆周上的四点,,且弦AB=8,弦CD=4,则图中两个弓形(阴影)的面积和=____________.4.(2010年全国)如图13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．图14图13图14图13图15二、选择题图155.(2010年全国)如图14，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）（A）（B）（C） （D）6.已知：如图15，圆内接四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的长分别为25，39，52，60，则圆的直径长为()(A)62(B)63（C）65（D）66三、解答题7.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E.如图16.求证：图17图16图17图168.设一直线截△ABC三边AB，BC，CA或延长线于D，E，F.如图17.那么（梅涅劳斯Menelaus定理）9.(2010年全国)如图18，△ABC为锐角三角形，P，Q为边BC上的两点，△ABP和△ACQ的外接圆圆心分别为O1和O2.试判断BO1的延长线与CO2的延长线的交点D是否可能在△ABC的外接圆上，并说明理由.图18图18[参考答案]1.【答】10.提示：如图19，分别作∠EBA=∠ABC，∠ECA=∠ACB，再过点A分别作AF⊥BE，AG⊥CE，易知∠E=90°，AD=AF=AG=EF=EG，利用勾股定理易求得AD的值，后略.图20图19图20图192.【答】32+.提示:易求该八边形每个内角为135°,则可以构造出矩形,且矩形每个顶点处得到一个等腰直角三角形,从而根据勾股定理可得解.3.【答】10-16.提示:如图20,作直径AE,连接BE.易得,相当于把通过一定角度的旋转而得到,后略.4.【答】.提示:如图21，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则图21解得故所求直线的函数表达式为．图215.【答】D提示:如图22，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得图22AD＝图226.【答】C猜测直径是BD且∠A＝Rt∠.根据勾股定理，得BD2＝252＋602＝4225＝652，把652代入△