第12讲 函数的基本性质-奇偶性（学生版）-高一数学同步讲义

第2课函数的奇偶性

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课程标准课标解读

1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函

数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象

对称性之间的关系.

2.利用函数的奇偶性求函数解析式，利用通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，

函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调

数的奇偶性求参数范围.性、周期性相关的综合问题.

3.能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有

关的综合问题.

阳:知井

3'知识点01函数的奇偶性

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（—X）=/（X）,那么函数/（X）就叫做偶函

数.

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（—x）=—/（X）,那么函数/（X）就叫做奇

函数.

【微点拨】（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶

函数；

②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定f{-x）是否等于±/（x）.

(2)分段函数的奇偶性应分段说明/(-x)与/(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关

系时，才能判定函数的奇偶性.

(3)若奇函数的定义域包括0,则/(())=().

【即学即练1】下列函数是偶函数且值域是(0,+8)的函数是()

A.y=2x+l(x>0)B.y=正_［

_12

c.y-inD.y=—

Vx2-1X

【即学即练2］函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：

①〃。)=0;

②若“X)在［0,+«))上有最小值—1,则“力在(―⑼上有最大值1；

③若“X)在上为增函数，则“X)在(-00,-1］上为减函数.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【即学即练3】(多选题)下列判断不正确的是()

A.函数=三且是奇函数

x-2

工2(yI1A

B.函数/(x)是偶函数

X+1

C.函数f(x)=x+冏是非奇非偶函数

D.函数/(x)=1既是奇函数又是偶函数

在'知识点02奇函数、偶函数的图象特征

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果

一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数

的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

【即学即练4］已知偶函数Ax)与奇函数g(x)的定义域都是(-2⑵，它们在［0,2］上的图象如图所示，则使

关于龙的不等式/(x).g(x)>0成立的x的取值范围为()

C.(-2,-1)50,1)D.(-1,0)5,2)

*,知识点03

奇、偶函数的单调性

根据奇、偶函数的图象特征，可以得到:

(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调

性.上述结论可简记为“奇同偶异

(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在

关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

【即学即练5】(多选题)若奇函数f(x)在［1,3］上为增函数，且有最小值0,则它在［-3,-1|上()

A.是减函数B.是增函数C.有最大值0D.有最小值0

【即学即练6】下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()

A.y=x+\B.y=-JCC.y=D.y

知识点04性质法判断函数的奇偶性

f(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

【即学即练7】已知函数/(x)的图象如图所示，则()

A./(x)可能是奇函数，但不可能是偶函数

B.f(x)可能是偶函数，但不可能是奇函数

C./(x)可能是奇函数，且可能是偶函数

D.f(x)不可能是奇函数，且不可能是偶函数

【即学即练8】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且〃6-8(尤)=/+3*+2,则/⑴的值为()

A.1B.3C.4D.6

【即学即练9】(多选题)设函数〃x),g(x)的定义域都为R,且〃x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列

结论中正确的是()

A.|/(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数

C.〃x)+|g(x)|是偶函数D.|/(x)|+g(x)是偶函数

【即学即练10](多选题)已知函数人r)的定义域为R,对任意实数x,y满足Hx+y)=/a)+Hy)+g,且/(；)

=0,当时，兀v)>0,则以下结论正确的是()

A.40)=一a，A-l)=-|

B.7U)为R上的减函数

C.以x)+g为奇函数

D.兀0+1为偶函数

口能力拓展

考法01

判断函数的奇偶性：

判断函数的奇偶性的常用方法：

(1)定义法

一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化

简，再利用定义进行判断.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

I结论I

(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于)，轴成轴对称.因此要证函数的图象关

于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于)，轴对称，只需证明此函数是偶函数即

可.反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.

(3)组合函数奇偶性的判定方法

①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数.

②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数.

③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”.

(4)分段函数的奇偶性判定

分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1.已知函数的奇偶性求函数的解析式.

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于/(x)的方程，从而可得/(%)

的解析式.

(4)性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

判断了(-x)与/(X)的关系时，也可以使用如下结论:

f(—

如果/(一划一/。)=0或尢：=1(/(幻#0),则函数/(X)为偶函数；

f(—x)

如果/(一x)+/(x)=O或尢：=一1(/(》)声0),则函数“X)为奇函数.

【典例1］判断下列函数的奇偶性：

⑴/(x)=x+J；

(2)/(x)=2x2+|x|；

⑶小)力

【即学即练11】下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是()

A.y=x3B.y=—C.y=y/\—xD.y=2"'-2'1

【即学即练12］设函数f(x)=x2-j,则/(x)()

A.是偶函数，且在(3,0)单调递增B.是偶函数，且在(—,0)单调递减

C.是奇函数，且在(—,())单调递增D.是奇函数，且在(-8,0)单调递减

考法02

奇偶函数图象对称性的应用

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数

另一部分的图象，进而研究函数的性质.

【典例2］已知函数F(X)与g(x)的部分图象如图1,则图2可能是下列哪个函数的部分图象()

A.y=f(g(x))B.y=f(x)g(x)c.y=g(/3)D.y=--

g(x)

【即学即练13］函数y=(e'-gcosx在上的图象可能是()

e22_

考法03

函数奇偶性的应用

（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函

数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解.

（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上

的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把

它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点

对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调

区间上比较大小.

【典例3】已知奇函数/（幻=奴2+笈+-（4867?）,且/（1）=3.

X

（1）求f（x）的解析式；

（2）用单调性的定义证明：/（x）在（0,&）上单调递减.

【典例4】已知定义在［-3,3］上的奇函数y=/（x）是增函数.

(1)若/(，"+1)+/(1-2利)>0,求』的取值范围;

(2)若f(2)=1,解不等式/(x+l)+l>0.

【即学即练14】已知定义域为R的奇函数/(x)满足+=当04x41时〃幻="-1,则

2"43时/")的解析式为()

A./(x)=1-e'-2B.f(x)=e"2-i

C.f(x)=］-e'-'D.f(x)=e'T—1

【即学即练15】已知/(X)=O?-加+1是定义域为［a,a+1］的偶函数，则/-储=()

3

A.0B.-

4

C.72D.4

【即学即练16】定义在R上的偶函数/(X),对任意％,x,e［0,+oo)(x产x,),有〃土匕也)<0,则()

Xl~X2

A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)

C./(3)</(-2)</(1)D.〃3)<川)<〃-2)

【即学即练17】已知"X)是定义在［帆-9,2〃z+3］上的奇函数，且当&0时,=f-X,则/(加)的值为

()

A.-2B.-6C.2D.6

考法04

易错提示-…判断函数奇偶性时，注意定义域

【典例4】判断函数/(力=/+3/,*6(-2,2］的奇偶性.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.若函数为冗)为R上的偶函数,且f(2)=3,则/(-2)=()

A.-3B.3C.2D.-2

2.下列函数具备奇偶性的函数是()

A./(x)=x+lB./(x)=

C.f(x)=x2D./(x)=x2+2x

3.已知定义域为R的函数f(x)在［1,+co)单调递增，且f(x+1)为偶函数，若/(3)=1,则不等式/(2x+l)<1

的解集为()

A.y,-i),(i,+^)B.(-1,+=»)

c.y,i)D.(—1,1)

5.设函数/(x)的定义域为R.且/(x+1)为偶函数，/(2x-l)为奇函数,则()

A./出=。

B./(0)=0

6.设F(x)是定义域为R的奇函数,)

AB

-4-433

7.已知函数/Xx)=H+6(氏/0),则“/(。)=0”是"函数"V)为奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知定义在R上的函数在(-1,+oo)上为增函数，且函数/(x-1)为偶函数，则的

大小关系为()

A./f-y]</(-4)</(3)

B./(-4)</</(3)

C./(3)</f-y]</(-4)

D./(-4)</(3)<

题组B能力提升练

1.已知定义在R上的偶函数/(x)满足在［0,+co)上单调递增，/(3)=0,则关于X的不等式

‘"2壮”士2)>0的解集为()

x

A.(-5,-2)(0,+8)B.;(0,1)

C.(-3,0)53,”)D.(-5,0-)

2.设函数的定义域为R,/(x+1)为奇函数,/(x+2)为偶函数，当xe［l,2］时，f(x)=ax2+b.若

9

/(0)+/(3)=6,则/()

97c5

A.——C.-D.-

442

3.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当X..0时，f(x)=x-x2,则下列说法正确的是()

A.八幻的最大值为工B./(x)在(-1,-3是增函数

42

C.f(x)>0的解集为(-1,1)D./(x)+2x..O的解集为［0,3］

4.(多选题)设函数y(x),g(x)的定义域都为R,且凡r)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A.y(x)g(x)是奇函数B.|/(x)|g(x)是偶函数

C.八x)|g(x)|是偶函数D.|/(x)g(x)|是偶函数

5.已知函数f(x),xe(y,0)u(0,+<»),对于任意的x,ye(7,0)」(0,”)，/Cyy)=/(x)+/(y),则()

A.f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)

B./(x)在定义域上为奇函数

C.若当x>l时，有/(力>0,则当-l<x<0时，/(x)<0

D.若当0<x<l时，有,f(x)<0,则f(x)>0的解集为(1,+8)

6.已知二次函数〃到=丁+区+c的图像经过点(1,13),且函数y