曲线的凹凸性及曲率

关于曲线的凹凸性及曲率问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第2页,共32页，2024年2月25日，星期天定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的．一、（一）曲线的凹凸性与拐点第3页,共32页，2024年2月25日，星期天曲线凹凸的判定:第4页,共32页，2024年2月25日，星期天定理设函数在区间内存在二阶导数，

(2)若时，恒有，则曲线在内凸的．

(1)若时，恒有，则曲线在内凹的；第5页,共32页，2024年2月25日，星期天例解注意到,第6页,共32页，2024年2月25日，星期天（二）曲线的拐点

第7页,共32页，2024年2月25日，星期天求拐点的一般步骤：②令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．第8页,共32页，2024年2月25日，星期天第9页,共32页，2024年2月25日，星期天第10页,共32页，2024年2月25日，星期天练习.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸第11页,共32页，2024年2月25日，星期天xoyl．二、渐近线

第12页,共32页，2024年2月25日，星期天15.04.202413

曲线渐近线的分类第13页,共32页，2024年2月25日，星期天第14页,共32页，2024年2月25日，星期天注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．第15页,共32页，2024年2月25日，星期天解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线．

例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.第16页,共32页，2024年2月25日，星期天例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为1和-1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线．第17页,共32页，2024年2月25日，星期天三、复杂函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性

;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间

,求出极值和拐点

;4.求渐近线

;5.确定某些特殊点

,描绘函数图形.为

0

和不存在的点;并考察其对称性及周第18页,共32页，2024年2月25日，星期天例3.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第19页,共32页，2024年2月25日，星期天第20页,共32页，2024年2月25日，星期天第21页,共32页，2024年2月25日，星期天2-

1-12o1第22页,共32页，2024年2月25日，星期天⌒⌒⌒⌒四、平面曲线的曲率---曲线的弯曲程度决定于描述曲线在一点的弯曲程度第23页,共32页，2024年2月25日，星期天4、1曲率及其计算公式在光滑弧上自点M

取弧段对应切线转角定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率曲率K的计算公式第24页,共32页，2024年2月25日，星期天例.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.第25页,共32页，2024年2月25日，星期天抛物线例上哪一点处的曲率最大？解：根据曲率的计算公式由代入公式得若a,b给定，则时，曲率K最大，即即抛物线的顶点处曲率最大第26页,共32页，2024年2月25日，星期天4、2曲率圆与曲率半径设P

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D

为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

P

处的曲率圆(密切圆

),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.P

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使第27页,共32页，2024年2月25日，星期天第28页,共32页，2024年2月25日，星期天第29页,共32页，2024年2月25日，星期天内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点曲线在I上向下凹第30页,共32页，2024年2月25日，星期天3.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负