2023-2024学年初中数学12 将军饮马模型培优训练

专题12将军饮马模型

模型1、将军饮马-两定一动求线段和的最小值

【模型探究】4B为定点，%为定直线，P为直线加上的一个动点，求NP+8尸的最小。

A.

4<

•J•

6■•♦・A*

图1图2

(1)如图1,点4、5在直线〃，两侧：

辅助线：连接43交直线机于点尸，则4P+AP的最小值为48.

(2)如图2,点4、5在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A',连接A'B交直线m于点P,则AP+BP的最小值为A'B.

例1.如图，在上△NBC中，ZACB=90a,NC=BC,点C在直线MV上，NBCN=30。，点、P为MN上一

动点，连结4P,BP.当4P+AP的值最小时，NCBP的度数为.

例2.如图，等边三角形/3C的边3c上的高为6,是8C边上的中线，M是线段AD上的-一个动点，E

是/C中点，则EM+CW的最小值为

例3.如图，等边三角形/3C的边长为5,/、2、4三点在一条直线上，且A/8C2A4BC1.若。为线段8Q

上一动点，则4D+CD的最小值是.

例4.如图，等边4ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE

=2,当EF+CF取得最小值时，则/ECF的度数为多少？

模型2、将军饮马-两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点/位于定直线机,”的内侧，在直线加、〃分别上求点P、。点B4+PQ+Q4周长最短.

辅助线：过点/作关于定直线加、〃的对称点/'、A",连接ZN”交直线〃?、及于点、P、Q,则E4+PQ+Q4

的最小值为

例L如图，已知/N08的大小为a,尸是内部的一个定点，且。尸=4,点£、/分别是。/、。8上

的动点，若周长的最小值等于4,贝lja=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.如图，在四边形N3CD中，/B4D=100。,NB=/D=90。.在BC,CD上分别找一点M,N,使A4W

周长最小，则NAMN+ZANM的度数为.

C

例3.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分另U是AB,BC,AC边上的动点,贝必OEF的周长

例4.如图所示，NAOB=30。，点、P为/4OB内一点,0P=8,点MN分别在CM,上，求APACV周长

的最小值.

模型3、将军饮马-两动两定求线段和的最小值

【模型探究】4B为定点，在定直线加、〃上分别找两点尸、Q,使我+尸。+。8最小。

(1)如图1,两个点都在直线外侧：

辅助线：连接48交直线加、〃于点尸、Q,则出+尸0+。2的最小值为48.

(2)如图2,一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点3作关于定直线"的对称点夕，连接48'交直线叭”于点P、Q,则以+尸的最小值为

AB,.

图1图2

(3)如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点48作关于定直线加、"的对称点/‘、8,，连接/'8,交直线小〃于点P、Q,贝UB1+PQ+。/

的最小值为/'8'.

(4)如图4,台球两次碰壁模型:

辅助线：同图3辅助线作法。

例L如图，NAOB=25°,点、M,N分别是边CM,上的定点，点P,Q分别是边08,CM上的动点,

记=ZPQN=p,当"P+尸。+QV的值最小时，6-c的大小=—.

例2.如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G(-3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对称,

ZGAH=60°,P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是()

例3.如图，在Rt"BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边△BCE,点。为中

点，连接CO,点P、Q分别为CE、CD上的动点.

(1)求证：△ADC为等边三角形；(2)求PD+PQ+QE的最小值.

模型4、将军饮马-线段差的最大值

【模型探究】/,8为定点，在定直线加上分别找两点尸，使我与网的差最大。

(1)如图1,点4、3在直线，"同侧：

辅助线：延长48交直线机于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P'A—P'B<AB,而出一产2=45此时

最大，因此点尸为所求的点。

(2)如图2,点4、5在直线“，异侧：

辅助线：过B作关于直线m的对称点9,连接48'交点直线m于尸，此时PB=PB',PA-PB最大值为AB'

/,『•

一~~fF**aH

图1图2

例1.如图，在等边中，E是/C边的中点，尸是“8C的中线上的动点，S.AB=6,则3尸-尸£

的最大值是

例2.如图，AB=AC=5,N8/C=110。，是/A4c内的一条射线，且48/。=25。，尸为上一动

点，则附-尸C|的最大值是

例3.如图，4B//DP,E为DP上一动点,4B=C3=CD,过A作/N_L£C交直线EC于N,过。作。河_L£C

交直线EC于点若NB=114。，当ZN-DM的值最大时，则NNCE=.

课后专项训练

1.如图，在锐角三角形N3C中，AB=4,A4BC的面积为10,BD平分NABC,若W、N分别是B。、BC

上的动点，则CA/+跖V的最小值为（）

A.4B.5C.4.5D.6

2.如图，在A48C中，ABLAC,AB=3,BC=5,AC=4,即垂直平分2C,点尸为直线所上的任意

一点，则△AS尸周长的最小值是（）

3.如图，在AZBC中，DE是边/C的垂直平分线，交/C于点。，交45于点E,点尸是直线上的一

个动点，若48=5,则P8+尸C的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

4如图，在四边形48co中，ZC=70°,NB=ND=90°,E、F分别是BC、DC上的点，当△《£下的周长最

小时，/EAF的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

5.如图，已知NZO3的大小为a,尸是NZO5内部的一个定点，且。尸=4,点、E、尸分别是04、。5上的

动点，若△尸斯周长的最小值等于4,贝布=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.如图，在等边△43C中，3C边上的高40=6,E是高4。上的一个动点，厂是边48的中点，在点E运

动的过程中，酸+E/存在最小值，则这个最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

7.如图，在△ZBC中，AC=BC,AB=6,△48C的面积为12,于点D,直线EF垂直平

分8c交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点，则△尸AD的周长的最小值是（）

A.6B.7C.10D.12

8.如图，在锐角三角形ZBC中，AB=4,△/3c的面积为8,BD平分NZBC.若M、/V分别是8。、BC上的

A.2B.4C.6D.8

9.如图，在A4BC中，AB=AC,边NC的垂直平分线MN分别交,/C于点M,N,点。是边5c的

中点，点尸是上任意一点，连接PD,PC,若NX=tz,NCPD=。，APCD周长最小时，a,夕之间

B.a</3C.a=PD.a=90°-。

10.如图，点。是内的定点且/D=2,若点C、E分别是射线NR上异于点4的动点，且△COE

周长的最小值是2时，/科3的度数是（)

C.60°D.90°

11.如图，/AOB=30。，点P是它内部一点,OP=2,如果点Q、点R分别是。4OB上的两个动点，那么

90°,NC=3C,点C在直线MN上，/BCN=30。，点、P为MN上一动

点，连结/P,BP.当4P+AP的值最小时，/C3P的度数为

MP

13.如图，AB=AC=5,N8/C=110。，/D是乙B/C内的一条射线，且/B4D=25。，P为/。上一动点,

则户3-PC\的最大值是

14.如图，在等边A4BC中，E是4C边的中点，尸是A48C的中线上的动点，且48=6,则8尸-尸E的

最大值是.

15.如图，在RtZkABC中，4c3=90。，AC=3,BC=4,AB=5,4D平分NC4B交BC于点,D,E,F分

别是4D,/C边上的动点，则CE+斯的最小值为.

16.如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于;长为半径作弧，两弧交于点〃和点N,在直线

儿加上取一点C,连接C4,C8,点。是线段/C的延长线上一点，且CD=g/C,点尸是直线儿W上一动

点，连接尸。，PB,若3C=4,则尸£>+尸8的最小值为

17.如图，在Rt44BC中.AC1BC,若/C=5,8c=12,/2=13,将Rt4/BC折叠，使得点C恰好

落在AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD上一动点，则△PE2的周长最小值为—.

18.如图，AB//DP,E为DP上一动点、,/8=C8=C。，过A作ZNLEC交