2023-2024学年浙江省杭州吴山区高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州吴山区高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.若某圆的标准方程为(x-i)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为()

A.(-1,5),有B.(1,-5),6

C.(-15),3D.(L-5),3

【正确答案】B

【分析】直接利用圆的标准方程得到答案.

【详解】圆的标准方程为(x-l『+e+5)2=3

则圆心为(1,-5),半径为为

故选：B

2.双曲线片--=1的渐近线方程为()

2

A.y—i2xB.y=C.y=±V2xD.y=±——x

22

【正确答案】C

【分析】根据双曲线方程，求得即可直接写出渐近线方程.

【详解】对双曲线匕-V=l,焦点在》轴上，且/=26=1,故”=五,6=[,

2

则其渐近线方程为.y=±Cx

故选：C.

3.若直线4、4的方向向量分别为1=(1，2,-2),5=(-2,3,2),则4与人的位置关系是()

A./,1/2B.C.4相交不垂直D.不能确定

【正确答案】A

【分析】由题可得万万=0,即可判断.

【详解】由题意，直线4、4的方向向量分别为a=(l，2,-2),6=(-2,3,2),

lZ=-2+6-4=0，

•••4与4的位置关系是4

故选：A.

4.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0C.2x+y-2=0D.x+2y-l=0

【正确答案】A

【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.

【详解】设与直线x-2j；-2=0平行的直线方程为x-2y+c=0」c#—2）,

将点（L0）代入直线方程X-2y+c=。可得l-2x0+c=0.解得c=—1.

则所求直线方程为工一2丁一1=0.故人正确.

本题主要考查两直线的平行问题，属容易题.两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不

存在.所以与直线,依+By+C=0平行的直线方程可设为Jx+5>+C'=0.

5.三棱锥0-48C中，M,N分别是OC的中点，且7=d,OB^h.OC^c,

用3,b>万表示直7，则而7等于（)

B.

D.否+c

【正确答案】B

【分析】根据空间向量运算求得正确答案.

【详解】77M=OM-ON=^（OA+OB^-^OC

2222、'

故选：B

6.已知数列满足q+2a2+34+…=，尸，设则数列I的前2023项和为

【匕也+iJ

2022404640442023

I.----B.----

4045404740454047

【正确答案】D

【分析】根据题意得到a=2〃-1,再利用裂项法求和即可.

【详解】由题知：数列满足q+2a2+3%+…+=/，设。=〃/，

所以也｝的前〃项和为小则7；=/

当〃=1时，A="=1,

当〃22时，"Hi=/-3-咛=2〃-1,

检验：当〃=1时，，4=1=（,符合.

所以

令6=£=（2〃-1）；2〃+1）三（由"）前〃项和为

则%__q］=/__q=2里

20232［\3jU5）（40454047）\2（4047J4047

故选：D

7.1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，

其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间［0,1］平均分成三段，去掉中间的一段,

12

剩下两个闭区间［0,§］和弓,1］；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉

中间的一段，剩下四段闭区间：［0,』，4,』，己,马，。,1］；如此不断的构造下去，最后

剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历”步构造后，所有去掉的区间长度和为（）

（注:（%注或3句或协或回的区间长度均为6-4）

【正确答案】B

【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公

式，可得第〃次操作剩余区间的长度和，即可得解.

【详解】解：将定义［。,句的区间长度为根据“康托尔三分集”的定义可得:

每次去掉的区间长组成的数为以1（b-a）为首项，；为公比的等比数列，

19

第1次操作去掉的区间长为?方-。），剩余区间的长度和为:伍-a）,

第2次操作去掉两个区间长为g9-a）的区间，剩余区间的长度和为《他-”），

第3次操作去掉四个区间长为（e-a）的区间，剩余区间的长度和为/传-a）,

第4次操作去掉8个区间长为白伍-。），剩余区间的长度和为震（方-“），

O1O1

第〃次操作去掉2"T个区间长为"伍-a），剩余区间的长度和为争伍-"），

2”

所以见=1■伍-。）；

设定义区间为［0』，则区间长度为1,

所以第〃次操作剩余区间的长度和为〃=彳，

“3"

则去掉的区间长度和为1-j2”.

3”

故选：B

工2

8.已知椭圆C*+=1（“>6>0）的左、右焦点分别是耳（-c,0），E（c,0）,若椭圆C的离

心率e=Yl二L,则称椭圆C为“黄金椭圆”.。为坐标原点，P为椭圆C上一点，4和8分

2

别为椭圆C的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（）

A.a,b,c成等比数列B./月48=90°

C.—+——D.若。尸1-Lx轴，则0P//AB

【正确答案】D

【分析】对于A,根据离心率公式，验证/=改即可；

对于B,根据勾股定理以及离心率公式判断B是否正确；

对于C,根据A的结论，即可验证；

对于D,根据右。=心,结合斜率公式以及离心率公式判断D是否正确;

【详解】对于

A..。V5—1—112222^5—1y/S—17,2-kA.

A,-e=-=-----,c=-----a,.b=a-c=a----a=-----a=ac:.b=ac

a22[2)29

成等比数列，故A正确；

对于B,因为e=亚2],所以/?2=ac即，2b2=(a+c)~—a?一。2,

所以(〃+c)2=/+/+〃，故/耳=90。，故B正确；

对于C,要证二+4=二，只需证4=]-二，只需证1=七里，即二=乜，

a2b2c-b2c2a'b2a2c2b2a2c2

只需证l=2，由A得，显然成立，故C正确；

bac

对于D,P片J_x轴，且PO〃/8,所以P(-c,H),kp°=k*B，

所以W'解得』‘所以"冬

故D不正确.

故选:D.

二、多选题

IILU

9.已知后为直线/的方向向量，%,"2分别为平面a,£的法向量（a,£不重合），那么下列

选项中，正确的是（）

11UflULUi

A.n]//n20cdi0B.n}_Ln20aif}

_a._UL

C.v//n}o/〃aD.v_Lo/〃a

【正确答案】AB

根据线面直线的位置关系逐一判断即可.

【详解】解：，为直线/的方向向量，片UA

公分别为平面。，尸的法向量（a，夕不重合）,

UUIULUu_u

则nx//n2B，々_Ln20alB，//n1<=>/J_a,y_L〃1o/〃[或/Ua.

因此正确.

故选：AB.

10.设等差数列{叫的前“项和为s,,其公差d>l,且%+“9=16,则（）.

A.6=8B.S[5=120

C.%<1D.a2>2

【正确答案】ABC

【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.

【详解】对于A：因为%+为=16,所以%+为=2/=16,解得./=8故A正确；

对于B.S15=(%+；)'15=2a;15=次15=120故B正确：

对于C：因为做=8,所以％+7d=8,所以q=8-7d.

因为">1,所以q<1.故C正确：

对于D：因为&=8,所以4+6〃=8,所以见=8-6".

因为">1,所以《<2.故D错误.

故选：ABC

11.已知圆G+(y-3)2=11与圆G：X2+y2+2x-2my+m2-3=0,则下列说法正确

的是()

A.若圆C2与x轴相切，则"?=2

B.若，"=-3,则圆C/与圆C2相离

C.若圆。与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+(6-2,”)y+"+2=0

D.直线丘-y-2k+l=0与圆G始终有两个交点

【正确答案】BD

【分析】对A,圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B,根据圆心间的距离与半径之和

的关系判断即可；对C,根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解

即可；对D,根据直线船7-2左+1=0过定点(2,1)以及(2,1)在圆。内判断即可.

【详解】因为G：(x-iy+(y-3)2=ll,G：(x+l)2+(y-w)2=4,

对A,故若圆G与x轴相切，则有|刈=2,故A错误；

对B,当力=-3时，，或|="+1)2+(3+3)2=2标>6>2+”,两圆相离，故B正确;

对C,由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4》+(6-2〃?亚+评-2=0,

故C错误；

对D,直线依-y-2左+1=0过定点(2,1),而(2-1>+(1-3)2=5<11,故点(2,1)在圆

£:(x-l)2+(y-3)2=ll内部，所以直线丘-y-2%+l=0与圆C始终有两个交点，故D正

确.

故选：BD

12.数列｛%｝中，q=0,。2=1,q+2=；(4向+幻(〃€刈，则下列结论中正确的是()

A.0<a„<lB.｛。用-%｝是等比数列

C.<。10<09D.。9<60<4

【正确答案】ABD

【分析】由题意可得到限-。用=弓(-—可)，得到是等比数列，进而得到

a„+1-an=f-|Y再利用累加法得到a”=：1-(^-^,然后逐项判断.

【详解】因为数列｛%｝中，a,=0,a2=l,an+2=1(a„+l+a„)(«GN-),

所以2(a,*-%)=-(。的一。“)，即氏+2-。向=-g(%+i一%)，

则｛%./%｝是以1为首项，以-g为公比的等比数列，

所以％M-a“=(-；)‘，故B正确;

当〃为奇数时，«„=|1-[1]是递增数列，所以0=%<。,,<|,

当〃为偶数时，«„=|1+是递减数列，所以|<*4%=1,

所以04《41,故A正确;

又"（J）吗0=g>fl9=-|J］；）'所以。9<a|0<。8,故C不正确,D

正确，

故选：ABD

三、填空题

13.在平面直角坐标系中，直线限-y+1=0的倾斜角是

【正确答案】60。（或g）

【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可.

【详解】设直线岳-y+l=0的倾斜角为a（0。4a<180。），

将直线方程怎-产1=0化为斜截式得：广岳+1,

该直线的斜率无=百=tana，

V0°<a<180°,

a=60°.

故60°（或1）.

14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒

、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数

列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影

子长为尺.

【正确答案】6.5

【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.

【详解】解：由题意得

•••从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节

气的日影子长依次成等差数列{《,},设其公差为d

q+4+%=%1+州=37.5

解得d=-l,q=15.5

=q+1Id=4.5

an

io=a[+9d=15.5—9=6.5

故立夏的日影子长为6.5尺.

故6.5

15.已知椭圆方程为]+F=l,且椭圆内有一条以点尸为中点的弦则弦力8所

在的直线/的方程是.

【正确答案】2x+2y-3=0

【分析】由点差法得ZB斜率后求解直线方程，

【详解】设4（国,凶）,例程8），由题意得看+*=逐+员=1，

两式相减化简得铝^”2=一；,而p是48中点，得玉+马=2,必+%=1,

代入得人二比121：一1，故直线48方程为y-：=-（x-l）,即2x+2y-3=0,

x,-x22

点P在椭圆内，故直线与椭圆相交，

故2x+2y-3=0

16.如图，正方体Z5C。-44GA的棱长为4,点尸在正方形/BCD的边界及其内部运动.

平面区域力由所有满足4414Pl42右的点尸组成，则四面体P-48c的体积的取值范围

，_j__XI/

I/p;---XIZ

AB

【正确答案】件予

【分析】连接ZP,由线面垂直的性质得到44，/尸，再由勾股定理求出04Mp区2,即可

得到P以A为圆心2为半径的；圆面上，再根据匕―风=y,,-PBC=1•S，得到当p在边

上时四面体的体积最大，当P在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积

公式计算可得取值范围.

【详解】连接/P,如图所示,

因为4/*1"平面/8CO,力尸匚平面/8。£）,所以4/_1_/尸，

•••|4旬=4,由4<4片426,|4P|=J|/P|2+.4/，则04Mp42；

所以尸在以A为圆心2为半径的;圆面上，由题意可知，七一48C==gM4|,SPBC

1132

所以当尸在边上时，四面体尸—43C的体积的最大值是：X：X4X4X4=舁.

323

所以当P在边相的中点时，5咏的面积取得最小值，此时S》C=；X4X2=4,

所以四面体P-48c的体积的最小值是:x4x4答，所以*，…y,y],

故答案为.争三

思路点睛：

求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式U=；S/7,

通常会有以下两种：

①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；

②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.

四、解答题

17.已知S.是等差数列｛《,｝的前〃项和，4=-5,a3+/=0.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若S,,=40,求〃的值.

【正确答案】⑴4=2"-7

⑵10

【分析】(1)根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解;

(2)先求前〃项和，再建立方程求解即可.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为"，因为％=-5,

所以2+%=(q+24)+(q+3d)=2q+5d=-10+5d=0.

解得d=2.

所以a“=a1+(«-l)t/=2/j-7.

⑵[-5+(2〃-7),〃=“一〃.

'2

因为S〃=40,所以/?-6〃=40，解得〃=10或"=-4.

因为所以”=10.

18.已知圆C：(x-2)2+(广3)2=4外有一点尸(4,-1),过点尸作直线/.

(1)当直线/与圆C相切时，求直线/的方程；

(2)当直线/的倾斜角为135。时，求直线/被圆C所截得的弦长.

【正确答案】(l)x=4或3x+4y-8=0.

(2)272

【分析】(1)对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求

得直线方程；

(2)由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】(1)由题意知，圆C的圆心为(2,3),半径r=2

当斜率不存在时，直线/的方程为x=4,此时圆C与直线/相切；

当斜率存在时，设直线/的方程为y+1=左(x—4),即Ax—y—4k—1=0,

|2左_3_4左_1|3

则圆心到直线的距离为d=厂即=2,解得八%

Jl+k2

所以此时直线/的方程为3x+4v-8=0.

综上，直线/的方程为x=4或3x+4y-8=0.

(2)当直线/的倾斜角为135。时，直线/的方程为x+y-3=0,

圆心到直线/的距离d=口+尸=72

,x/2

故所求弦长为•Z，,-"2=2122-&2=2应

19.已知抛物线『=2px（p>0）的焦点为尸，点4（2,为）为抛物线上一点，且可=4.

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线/：夕=》+机与抛物线交于不同两点户，Q,若OPLOQ,求〃?的值.

【正确答案】（l）_/=8x

⑵-8

【分析】（1）根据抛物线过点42,%）,且|//|=4,利用抛物线的定义求解：

fV=X+W_

（2）设产区，必）,。（々,力），联立,2o，根据。尸，。。，由。尸。0=0,结合韦达定

[y=8x

理求解.

【详解】（1）由抛物线。=2/5>0）过点4（2,%）,且同=4,

得2+片4/=4

所以抛物线方程为V=8x；

（2）由不过原点的直线/：夕=》+“与抛物线交于不同两点p,。

fy=x+tn

设产（七））。（々必），联立1；2=8x

得工2+（2/n-8）x+优2=0,

所以A=（2加一8）2-4加2=64-32m〉0,

所以加<2,

2

所以西+々=8—27M,X|X2=tn

因为OP，。。，

所以丽・丽=0,

则x[x2+yxy2=X\X?+（为+勿）（x2+m）=lxxx2+勿（$+x2）+m0,

2m'+/n(8-2m)+m2=0,BP/n2+8w=0>

解得/n=0或加=-8,

又当机=0时，直线与抛物线的交点中有一点与原点。重合，

不符合题意，故舍去；

所以实数机的值为-8.

20.如图，正三棱柱Z5C-4AG的棱长都为2,。为CG的中点.

(1)求证：/gJ■平面

(2)求直线CG与平面所成角的大小：

(3)求点C到平面48。的距离.

【正确答案】⑴详见解析；(2)(3)正.

42

【分析】(1)以8c的中点。为原点，建立空间直角坐标系，求得丽，而，前的坐标，由

丽.丽=0,福.萩=0证明;

(2)由(1)知：福=(1,2,5)是平面4初的一个法向量，设直线CG与平面4即所成角

为由sin人需国府•西求I解;

\AB.-B6

(3)根据元=(-2,0,0),由d=l二I求解.

僧

【详解】(1)以BC的中点。为原点，建立如图所示空间直角坐标系:

则/(0,0,有),8(1,0,0),£>(T,1,0),凡Q,2,0)4H2,3),

所以函=(1,2,力),而=(-2,1,0),萩=(T,2月，

因为福.诙=0,布.可=0,且8。仆54=8,

所以/用1平面48。：

(2)由(1)知：花=。,2,-6)是平面48。的一个法向量，又出=(0,2,0),

设直线CC,与平面A｝BD所成角为0,

..|福-KI4£

…二国画=尸不尸，

TT

因为北0,-,

所以；

4

(3)因为就=(-2,0,0),

国.园2V2

则点C到平面ABD的距离为"=|而|=I,，/e=T.

21.已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，卬=-：，且2S,,+a.+2=0.

(1)求数列｛"“｝的通项公式，

(2)设数列出｝满足约+(〃-3""=0UN*列求数列也｝的前〃项和为北

【正确答案】(l)(-2)x(；)"

QR=］专冲

【分析】(1)利用s,与。“的关系，分"=1和〃22讨论，得到数列｛%｝为等比数列，即可求解;

(2)结合(1)的结论，利用错位相减法即可求出数列抄“｝的前〃项和为4.

【详解】(1)因为2S,,+q,+2=0,

2

当〃=1时，2E+q+2=0,解得：a,=-p

当〃22时，则有2s"61+2=0,

两式相减可得：2a“+g-4T=°，所以4=31，

因为q=-(2。0,所以数列｛凡｝是以为2首项，以;1为公比的等比数歹IJ,

o11

所以数列｛凡｝的通项公式为4=(->q尸=(-2"(?”.

(2)由2"+("-3)。“=。可得：。=(〃-3)(?",

所以7；=(-2)x1+(-l)x(I)2+0x(1)3+…+(〃-4)x(；)i+(〃-3)x(；)〃

；北=(一2)X(；)2+(-1)X(I)-+0x(1)4+…+(〃-4)X(；)〃+(〃一3)X(1)n+1

o_o111।1

两式相减可得：—T„=—+(-)2+(§)'+(§)4+…+(§)"

3

数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

22.阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也

是著名的数学家，他利用“逼近法'’得到椭圆面积除以圆周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴

一+/

长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C:/十尸=l(a>6>0)的面积等于2万，且椭圆C的焦

距为2G.

(1)求椭圆C的标准方程;

（2）点P（4,0）是x轴上的定点，直线/与椭圆C交于不同的两点48,己知/关于>轴的对

称点为M,8点关于原点的对称点为N,已知P、M、N三点共线，试探究直线/是否过定

点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【正确答案】（1）C:—+/=1；（2）直线恒过定点（-1,0）.

4