波束形成算法及其新进展

关于波束形成算法及其新进展波束形成应用于：雷达声纳电子或通信干扰侦察移动通信医学领域等

引言波束形成是阵列信号处理、智能天线系统中一重要技术使用阵列天线的优点：

-提高系统的容量

-提高系统的性能

-抑制干扰和噪声

-节省功率第2页,共76页，2024年2月25日，星期天信源为远场、窄带信号。信源个数d小于阵源数m,d<m。信源为平稳、各态历经、零均值复随机过程。各通道噪声为加性噪声，彼此独立，也独立于信号。噪声为平稳高斯过程,均值为零。1.1、阵列信号数学模型

假设第3页,共76页，2024年2月25日，星期天阵元i接收到第n个信源的输出：其中：d:为信源数数学表达第4页,共76页，2024年2月25日，星期天*第5页,共76页，2024年2月25日，星期天第6页,共76页，2024年2月25日，星期天1.2、DOA估计（DirectionOfArrival）波达方向

MUSIC算法MultipleSignalClassification.

第7页,共76页，2024年2月25日，星期天第8页,共76页，2024年2月25日，星期天*第9页,共76页，2024年2月25日，星期天第10页,共76页，2024年2月25日，星期天DOAs=[102560];snr=20;图2-1第11页,共76页，2024年2月25日，星期天第二章常用的波束形成算法

2.1波束形成的最佳权向量

通过调整加权系数完成的，阵列的是对各阵元的接收信号向量x(n)在各阵元上分量的加权和。则输出可写作图2-1第12页,共76页，2024年2月25日，星期天这个问题很容易用Lagrange乘子法求解。波束形成器的最佳权向量为

该方法为LCMV此方法涉及到矩阵求逆，又称为SMI约束条件：第13页,共76页，2024年2月25日，星期天2.2Bartlett波束形成算法Bartlett波束形成算法是使得波束形成的输出功率相对于某个输入信号最大。第14页,共76页，2024年2月25日，星期天2.3波束形成的准则

·最大信号噪声比准则（MSNR）使期望信号分量功率与噪声分量功率之比为最大。但是必须知道噪声的统计量和期望信号的波达方向。·最大信干噪比准则（MSINR）使期望信号分量功率与干扰分量功率及噪声分量功率之和的比为最大。·最小均方误差准则（MMSE）在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望信号，基于此种情况提出的准则。使阵列输出与某期望响应的均方误差为最小，这种准则不需要知道期望信号的波达方向。·最大似然比准则（MLH）在对有用信号完全先验无知的情况，这时参考信号无法设置，因此，在干扰噪声背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。·线性约束最小方差准则（LCMV）对有用信号形式和来向完全已知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。第15页,共76页，2024年2月25日，星期天表1三种统计最佳波束形成方法的性能比较

第16页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真一：LCMV波束形成方法在不同信噪比情况下的比较仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在快拍数为200，SNR分别取-15，5和15的情况下，我们用计算机分别仿真出LCMV方法在不同SNR情况下得到的波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。图3-2DOA=20o的波束形成方向图

2.4仿真由图3-2可以看出随着信噪比的提高波束形成的效果下降。这是因为接收信号的协方差矩阵R中对应的小特征值的扰动引起的。第17页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真2：LCMV波束形成方法在不同快拍数情况下的比较仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在SNR为-15，快拍数分别为2000，200和20的情况下，我们用计算机分别仿真出LCMV方法在不同快拍数情况下得到的波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。

图3-3DOA=20o的波束形成方向图

由图3-3可以看出随着快拍数的减小波束形成的效果下降。第18页,共76页，2024年2月25日，星期天第三章自适应波束形成算法及其改进

4.1常用自适应波束形成算法

LMS最小均方RLS第19页,共76页，2024年2月25日，星期天自适应波束形成算法的比较

第20页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在SNR为30时，样本数为320的情况下，我们用计算机分别仿真出LMS方法和RLS方法的两种自适应波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。期望的DOA为30o。图3-1LMS和RLS的自适应波束形成方法的学习曲线

由图3-1可以看出RLS方法只需迭代十几次就收敛到满意的值，而LMS方法需要经过一百多次迭代才收敛。第21页,共76页，2024年2月25日，星期天最小均方(LMS)自适应波束形成算法是一种较简单、实用的自适应波束形成算法。LMS的优点是结构简单，算法复杂度低，易于实现，稳定性高；缺点主要是收敛速度较慢，因而其应用也受到一定的限制。分析表明，影响LMS自适应波束形成器收敛速度的主要因素是输入信号的最大、最小特征值之比，该值越小收敛就越快。为了提高收敛速度，人们把频域滤波的方法加以推广得到变换域的自适应滤波方法。3.2变换域自适应波束形成算法频域LMS自适应波束形成降维的频域自适应波束形成小波域自适应波束形成小波包变换自适应波束形成第22页,共76页，2024年2月25日，星期天3.2.1阵列接收信号分析

两个相邻阵元接收到的信号不同之处在于相位差，空域采样间隔，这决定了信号空域频率。从公式可以看出空域采样间隔与波达方向（DOA）有关。

不同DOA情况空域频率

当DOA较小时，空域采样间隔较小，空域采样率较高，空域频率高，见图（a）。而DOA很大时候，可以认为空域采样间隔较大，空间采样率较低，空域频率较低，见图（b）。所以在固定的阵列间距的情况下不同DOA对应于不同空域频率。第23页,共76页，2024年2月25日，星期天假设接收到信号的DOA不同，其空域频率也不同，DOA从[0，π/2]增加，其空域频率下降，所以，我们认为阵列接收到的信号是多种空域频率信号的叠加，如果对接收到的信号进行FFT变换(或其他变换)，得到其空域频谱，即不同DOA对应的空域频率就会显示出来。根据前面，空域频率为：

根据上式，我们知道空域频率是与波长、DOA、阵列间距等有关，与信源无关。阵列接收到的信号是各DOA对应的空域频率信号的叠加，则对接收信号进行FFT，在空域频谱只存在着各DOA对应的空间频率的谱峰。所以FFT变换后的信号为稀疏矩阵，在非DOA对应的空间频率上其值很小或为0，相关性下降。这是基于频域LMS的自适应波束形成算法的依据。第24页,共76页，2024年2月25日，星期天基于频域LMS的自适应算法结构见图3.2所示，该算法先对输入信号进行FFT变换，再通过LMS算法实现了在频域上进行波束形成。根据前面分析知道：通过对阵列天线接收到的信号x(n)进行FFT，经过FFT后的r(n)，自相关性下降，呈带状分布，这样LMS算法收敛速度就很快。当存在相干信源，假设它们DOA不同，相干信源在时域相干，但在频域是不相干的，所以基于频域LMS的自适应波束形成算法对相干信源具有鲁棒性。

图3.2基于频域LMS的自适应算法的结构

3.2.2基于频域LMS的自适应算法的结构

第25页,共76页，2024年2月25日，星期天基于频域LMS的自适应波束形成算法（FLMS-ABF）如下：1)对输入信号进行FFT，用矩阵表示为

(3.3)其中：W为频域变换矩阵，酉矩阵，表示为：

(3.4)对阵列接收信号进行N点FFT中，N为阵列中天线数，如果天线数是不为2的整数次幂，则采用补零的办法。2)LMS

算法

(3.5)其中：V为LMS算法中权向量。

(3.6)其中：d为训练序列

(3.7)其中：为学习步长。3)增加样本，循环(3.5)—(3.7)，权向量V更新。

第26页,共76页，2024年2月25日，星期天算法性能分析从变换域的角度来分析频域LMS的自适应波束形成的最佳解形式、收敛速度和计算复杂度等性能。

基于频域LMS的自适应波束形成算法与最小均方

(LMS)自适应波束形成算法相比，增加FFT的额外的计算量。但频域变换都有快速算法，计算量不大。设阵列中传感器数量M，LMS算法每迭代一次的复数加法次数2M，复数乘法的次数约为2M+1。FFT中复数加法次数M*log2M，复数乘法复杂度为M/2*log2M。当M=32，FFT只相当于数次LMS迭代。而且FFT已经有现成硬件，实现容易。经FFT变换后信号自相关性下降，之后的LMS算法收敛速度大大提高。总体而言，基于频域LMS的自适应波束形成算法的计算量与LMS自适应波束形成算法相比，增加的计算量较小

第27页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真中采用32天线的均匀线形阵列，阵列间距为λ/2。假设有6个信源，它们的DOA为5o、15o、25o、35o、65o、80o。信道为AWGN。为了与其它算法比较性能，采用相同初值和步长。仿真实验1：研究基于频域LMS的自适应波束形成算法（FLMS-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）性能对比。从图3.4可以看出，FLMS-ABF比LMS-ABF收敛速度要快，而且FLMS-ABF能收敛到很小的数值，所以具有较好的性能。图3.3无噪声时不同算法性能比较

图3.4SNR=20时不同算法性能比较

第28页,共76页，2024年2月25日，星期天实验2：研究基于频域LMS的自适应波束形成算法（FLMS-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）波束形成性能对比，在实验中SNR=20，迭代次数为500。图3.5给出了它们波束形成的方向图。从图3.5可以看出与LMS-ABF相比，FLMS-ABF在15o、65o等干扰方向具有较小值，即具有较好的干扰抑制的能力。所以与LMS-ABF相比，FLMS-ABF具有较好的波束形成性能。

图3.5算法的波束形成方向图

第29页,共76页，2024年2月25日，星期天我们发现FFT变换后信号中只有部分与期望信号有关，通过带通滤波，可以有效消除干扰信号，大大降低计算量和存储量，而且在频域上实现带通滤波比较容易。所以提出了一种新的频域自适应波束形成算法，即降维的频域自适应波束形成算法。3.2.3降维的频域自适应波束形成算法本文提出的降维的频域自适应波束形成算法结构见图3.6所示，该算法先对接收信号进行FFT，然后再带通滤波，最后通过LMS算法实现了频域的自适应波束形成。

图3.6降维的频域自适应波束形成的结构

第30页,共76页，2024年2月25日，星期天1空域频率的估计降维的频域自适应波束形成过程中的重要一步就是空域频率进行粗略估计，这是带通滤波的前提条件。根据前面分析：不同的DOA对应于不同的空域频率，通过对阵列天线接收到的信号进行FFT，得到接收信号的空域频谱，从空域频谱就可方便估计它们的空域频率。同样我们也可利用接收信号的功率谱来估计其空域频率。2带通滤波对接收信号进行频域变换，我们发现频域变换后信号中只有空域频率的附近和周围序列与期望信号有关，通过带通滤波，只提取空域频率的附近数据，这样做还可以有效消除干扰，大大降低计算量和存储量。而且在频域上进行带通滤波实现很容易，相当于加窗，我们只提取窗内的数据，而窗的中心就是期望用户信号的空域频率。这里的带通滤波是对空域频率进行滤波，提取一定范围的空域频率。根据空域频率与DOA一一对应的关系，也就是对一定范围的DOA进行提取，这样就可消除了带外DOA信号对带内DOA信号的干扰。

第31页,共76页，2024年2月25日，星期天

算法性能分析1收敛速度如前文分析在波束形成中引入FFT，实现频域上的波束形成的主要目的是提高收敛速度。频域自适应波束形成算法的收敛速度得到了提高。带通滤波可以消除带外的干扰信号。在频域上进行带通滤波，只截取了与期望信号有关的信息，所以带通滤波后的信号维数大大下降，导致LMS算法计算量和存储量大大降低，收敛速度进一步的提高。假设阵列中传感器数量M和带通滤波后的序列长M/4，则LMS算法本来有M-1个自由度，经过带通滤波后，只有M/4-1个自由度，所以LMS收敛速度大大提高。2复杂性分析与时域最小均方(LMS)自适应波束形成算法相比，本文提出这种降维的频域自适应波束形成算法增加FFT的额外的计算量。但频域变换都有快速算法，计算量不大。阵列中传感器数量M，LMS算法每迭代一次的复数加法次数2M，复数乘法的次数约为2M+1。FFT中复数加法次数M*log2M，复数乘法次数为复杂度M/2*log2M。当M=64，FFT只相当于2-3次LMS迭代。而且FFT已经有现成硬件，实现容易。经FFT变换后信号自相关性下降，之后的LMS算法收敛速度提高。同时在波束形成中引入带通滤波，带通滤波后信号的维数大大下降，使得LMS算法计算量和存储量大大降低。总体而言，本文提出的自适应波束形成算法的计算量与时域LMS自适应波束形成算法相比增加的计算量较少。

第32页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真中采用64天线的均匀线形阵列，阵列间距为λ/2。为了与其它算法比较性能，采用相同初值和步长。假设有6个信源，它们的DOA为5o

、15o

、25o

、35o

、65o

、80o。SNR=10；信道为AWGN。对阵列接收信号的一列进行FFT，得到它们的空域频谱，如图3.7所示，从空域频谱中我们很容易估计出信号的空域频率。谱峰在右边是因为负频率的原因。图3.7接收信号的空域频谱

第33页,共76页，2024年2月25日，星期天实验1：研究降维的频域自适应波束形成算法（RFD-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）收敛性能对比。图3.8给出了RFD-ABF和LMS-ABF的学习曲线。从图3.8可以看出：RFD-ABF比LMS-ABF收敛速度要快得多；LMS-ABF需要上千次迭代才能收敛到满意的数值，而且RFD-ABF只要几十次迭代就能收敛到较小的数值。

图3.8算法的收敛性能比较

第34页,共76页，2024年2月25日，星期天实验2：研究RFD-ABF和LMS-ABF性能对比。图3.9给出了它们波束形成的方向图。从图3.9可以看出与LMS-ABF相比，RFD-ABF具有较低的旁瓣，而且在5o

、15o

、35o

、65o

、80o等干扰方向具有较小值，即具有较好的干扰抑制的能力。这是因为采用了带通滤波，它可以消除带外信号对期望信号的干扰。所以与LMS-ABF相比，RFD-ABF具有较好的波束形成性能。

图3.9算法的波束形成方向图

第35页,共76页，2024年2月25日，星期天3.2.4小波域自适应波束形成算法

为了提高收敛速度，人们把频域滤波的方法加以推广得到变换域的自适应滤波方法，并在自适应波束形成等领域得到了应用。小波理论的出现为变换域的自适应滤波方法又增加了一种新的方法[104]，小波的优点主要表现在它良好的时频特性上，为了提高其收敛速度，可以对信号做变换，然后在变换域中进行波束形成。使用小波变换优点是信号经小波变换后自相关性下降，且近似呈特殊的带状分布，因此可以提高收敛速度。

在阵列处理中应用小波理论，其关键是如何理解阵列信号的多尺度特性，即信号具有多分辨率特性。根据前章的分析，阵列接收信号多分辨率特性。在固定的阵列间距的情况下不同DOA对应于不同空域分辨率。所以，我们认为阵列接收到的信号是多分辨率的叠加，如果对接收到的信号进行小波变换，可通过多分辨率分解将不同分辨率信号检测出来，实现了不同DOA信号的检测。第36页,共76页，2024年2月25日，星期天小波域的波束形成算法结构见图3.10所示，先多分辨率分解，再进行LMS算法。根据前面分析我们知道：不同的DOA对应于不同的空间分辨率，通过对阵列天线接收到的信号x(n)进行多分辨率分解，经过小波变换后的r(n)是稀疏矩阵，所以LMS算法收敛速度就很快。图3.10小波域的波束形成算法的结构

复杂性分析小波域的自适应波束形成算法与LMS自适应波束形成算法相比，增加小波变换的额外的计算量。但小波变换的计算量是与阵列数量M成线性的关系，假设小波基为DB2，分解尺度为4，乘法的次数大约为32M。LMS算法每迭代一次的复数加法次数2M，复数乘法的次数约为2M+1。小波变换运算量仅相当于几次LMS的迭代。经小波变换后信号自相关性下降，之后的LMS算法收敛速度提高，则与LMS自适应波束形成算法相比，增加的计算量较少。

第37页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真实验和分析仿真中采用32天线的均匀线阵，阵列间距为λ/2；采用Daubechies系列的小波基。阵列接收到6个不同DOA的信号，DOA为5O、20O、30O、40O、50O、60O；为了与其它算法比较性能，采用相同初值和步长。

实验1：研究小波域的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）收敛性能对比。实验中采用小波基为DB4，分解尺度为4；信道为AWGN。图3.12给出了小波域的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）在没有噪声情况下的学习曲线，从图3.12可以看出，WT-ABF比LMS-ABF收敛速度要快得多；图3.13给出了WT-ABF和LMS-ABF在SNR=15下的学习曲线，从图3.13可以看出，WT-ABF比LMS-ABF收敛速度要快得多，图3.14给出了WT-ABF和LMS-ABF在SNR=5下的学习曲线，从图3.14可以看出，WT-ABF比LMS-ABF收敛速度要快。

图3.12没有噪声时的收敛速度对比

第38页,共76页，2024年2月25日，星期天图3.14SNR=5时的收敛速度对比

图3.13SNR=15时的收敛速度对比

第39页,共76页，2024年2月25日，星期天图3.15波束形成性能对比

实验2：研究小波域的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）波束形成性能对比。在实验中SNR=15；期望信号的DOA为50。图3.15给出了小波域的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）的波束形成方向图，从图3.15可以看出在干扰方向20o、30o、40o、50o、60o上WT-ABF算法逼近为0，而LMS-ABF算法在这些干扰方向相对有着较大的值，所以WT-ABF算法具有较好干扰抑制性能，即具有较好的波束形成性能

第40页,共76页，2024年2月25日，星期天实验3：研究小波域的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）在相干信源下性能对比。在实验中SNR=15；假设在DOA为5O和20O方向为相干信源，图3.16给出WT-ABF和LMS-ABF算法在相干信源下波束形成方向图。从图3.16可以看出LMS-ABF在DOA为5O、20O上形成2个主瓣，不能正确进行波束形成，而WT-ABF算法在期望方向5O形成正确的波束。所以WT-ABF方法对相干信源有鲁棒性，其主要是因为在时域相干的信号在小波域是不相干的，所以能够形成正确波束。

图3.16存在相干信源时波束形成性能比较

第41页,共76页，2024年2月25日，星期天实验4：研究同一个小波基下的选择不同尺度时WT-ABF算法的收敛速度。采用小波基为DB4，结果如图3.17所示。从图3.17可看出尺度越大算法其收敛速度也越快。这是因为尺度越大，小波变换后信号的相关性进一步下降，收敛性越好。

图3.17不同尺度时收敛速度比较

第42页,共76页，2024年2月25日，星期天实验5：研究在相同的尺度条件下采用不同的小波基对WT-ABF算法收敛速度的影响。小波基采用Daubechies小波系列（DB2，DB4，DB8），其比较结果如图3.18所示。从图3.18可看出：DB8收敛速度比DB4快，而

DB4比DB2快。这是因为当小波的正则性增加时，收敛速度也会有所提高。此中DB2小波正则性差，收敛性要慢一点；这里DB8小波正则性最好，所以DB8的收敛速度最快。

图3.18不同小波基时收敛速度比较

第43页,共76页，2024年2月25日，星期天3.2.5基于小波包变换的自适应波束形成算法（WP-MUD）小波包变换是小波变换的进一步完善和发展，小波包分析能为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次的划分，对小波变换没有细分的高频部分可进一步分解，因此信号经小波包变换后收敛速度更快。为此，文中提出了基于小波包变换的自适应波束形成算法，该算法具有较快收敛性、良好的性能。

根据小波变换和小波包变换的特点(1)

由于不同小波基对应正交矩阵不同，对信号自相关矩阵特征值分布的影响也不同，所以基于不同小波基的WP-ABF算法收敛速度不同。(2)

随着小波包分解级数的增加，由于正交矩阵Ｗi的影响，信号的自相关矩阵更趋于对角分布，因此收敛速度加快。(3)

分解级数N(N>1)相同时，WP-ABF算法比基于小波变换的波束形成算法收敛速度快。通过实验再进行论证说明。第44页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真实验和分析仿真中采用32天线的均匀线形阵列，阵列间距为λ/2；小波基采用Daubechies系列，阵列接收到6个不同DOA的信号，DOA为

5o、20o、30o、40o、50o、60o。

实验1：研究基于小波包变换的自适应波束形成算法（WP-ABF）、基于小波变换的自适应波束形成算法（WT-ABF）和LMS自适应波束形成算法（LMS-ABF）性能对比。实验中采用DB5小波，分解尺度为4。图3.21为无噪声时WP-ABF、WT-ABF和LMS-ABF的算法性能比较，从图3.21可以看出，WT-ABF比LMS-ABF收敛速度要快，而WP-ABF比WT-ABF要快的多；图3.22给出了SNR=20时各种算法性能比较，其中LMS-ABF算法波束形成性能较差；WT-ABF收敛性好于LMS-ABF，而WP-ABF又好于WT-AB。WP-ABF算法收敛精度较高，能逼近较小值。图3.21无噪声时不同算法性能比较

图3.22SNR=20时不同算法性能比较

第45页,共76页，2024年2月25日，星期天图3.23不同分解级数时收敛速度比较

图3.24不同小波基时收敛速度比较

实验2：研究同一个小波基下的选择不同分解级数时WP-ABF算法的收敛速度。采用小波基为DB5，结果如图3.23所示。从图3.23可看出分解级数越大算法收敛速度也越快。这是因为分解级数越大，小波包变换后信号的相关性进一步下降，收敛性越好。实验3：研究在相同的分解级数条件下采用不同的小波基对WP-ABF算法收敛速度的影响。分解级数为3；小波基采用Daubechies系列（DB2，DB4，DB8），其比较结果如图3.24所示。从图3.24可看出：DB8收敛速度比DB4快，而DB4比DB2快。这是因为当小波的正则性增加时，收敛速度也会有所提高。此中DB2小波正则性差，收敛性要慢一点；DB8小波正则性最好，所以DB8的收敛速度最快。第46页,共76页，2024年2月25日，星期天1.经过正交变换后信号相关性下将，自适应算法的收敛速度提高2对相干信源有鲁棒性3.3变换域自适应波束形成算法的结构第47页,共76页，2024年2月25日，星期天第4章采样协方差求逆SMI算法改进

（对LCMV的改进）有限次快拍波束形成采样协方差求逆SMI存在有限次快拍引起波束畸变的问题。本质是小特征值的扰动问题。4.1自适应对角线加载法4.2投影预变换法4.3基于特征结构的自适应波束形成算法第48页,共76页，2024年2月25日，星期天4.1自适应对角线加载法对角线加载技术就是在协方差矩阵求逆之前，对其对角线上的值进行加载，起到压缩干扰信号提高收敛速度的目的。经过对角线加载后的自适应权矢量为：

对角线加载减弱了小特征值对应的噪声波束的影响，改善了方向图畸变。加载量越大，方向图改善越好，但加载量过大，会降低干扰抑制性能，导致SINR降低。所以载保证自适应阵列SINR损失较小的情况下，加载量越大越好，但在不同的干扰环境下，加载量该如何选取，为此，文中提出的是一种自适应的加载对角线方法，它能够在高信噪比和低信噪比情况下均能保持较好的性能，在高信噪比情况下加载量加大，在低信噪比情况下，加载量减小或为零。第49页,共76页，2024年2月25日，星期天自适应加载步骤如下：1.R作特征分解后，特征值从大到小排列2选取特征值中的这M-P个位于噪声子空间的小特征值做加权平均，设均值为与噪声的功率成正比3.在低信噪比的情况下，特征值的散度较小，此时对角线的加载量为0，当信噪比逐渐升高时，特征值的散度加大，小特征值的扰动性明显，设定门限值，此时当小于此门限时，加载一定的常数量。第50页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真：自适应加载对角线波束形成算法

仿真1采用16元均匀线阵，阵列间距为半波长，AWGN信道，快拍数为1000，比较了SMI和ADL-SMI方法的波束形成方向图的性能。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。从图4.1中我们可以看出，在低信噪比的情况下，小特征值扰动的问题不是很明显，所以ADL-SMI的加载量自适应的调节为0，ADL-SMI和SMI方法的波束形成方向图性能相近。图4.1SNR＝0dB波束形成方向图比较

第51页,共76页，2024年2月25日，星期天从图4.2中可以看出，当信噪比升高时，出现了小特征值的扰动问题，但是还不是很明显，此时的自适应加载量较小，方向图性能比较相近。从图4.3中可以看出，此时的SMI算法的波束形成方向图严重失真，自适应对角线加载的波束形成方向图仍然具有很好的保形性，克服了在高信噪比的情况下小特征值扰动的问题，降低了SMI算法对噪声的敏感度。图4.2SNR＝8dB波束形成方向图比较

图4.3SNR＝20dB波束形成方向图比较

第52页,共76页，2024年2月25日，星期天实验仿真2

实验仿真条件与实验仿真1相同，但是快拍仅为30，比较了SMI和ADL-SMI方法的波束形成方向图。当快拍数有限时，即使在如图4.4所示SNR＝－10dB的低信噪比情况下，SMI算法仍然不能很好的形成波束。而ADL-SMI算法仍然保持很好的波束形成能力。当快拍数较多的情况下，如图4.2所示SNR＝8dB时，SMI和ADL-SMI保持相近的波束形成能力，但是在快拍数有限的情况下，如图4.5所示同样的信噪比下，SMI算法已经失效。图4.4SNR＝－10dB波束形成方向图比较

图4.5SNR＝8dB波束形成方向图比较

第53页,共76页，2024年2月25日，星期天4.2投影预变换法

在改变自适应波束畸变问题上，人们还提出一种预变换处理方法，利用变换矩阵将接收到的阵列数据变换到另一个域中进行处理，来改善自适应副瓣性能，该方法主要式利用目标方向的初始估计和阵列流形的先验知识。

用T对阵列接收数据作变换

Z=TX。

由此得到变换域的协方差矩阵：

变换域的目标方向向量：

由此得到自适应权向量：

第54页,共76页，2024年2月25日，星期天变换矩阵为，其中特征分解后前d个大特征向量组成，即

由于T的维数为N*d维，变换域协方差矩阵为d*d维，为满秩矩阵，矩阵求逆不会出现病态问题。同时由于d<N，达到降维处理的效果，运算量大大降低

利用投影预变换方法，使得误差得到抑制，从而达到抑制小特征值扩散的目的，明显改善自适应方向图副瓣性能，并提高了自适应算法的收敛速度，对系统误差具有较强的稳健性。第55页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真：预投影波束形成算法

仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在SNR为25，快拍数为200的情况下，我们用计算机分别仿真出LCMV方法和预投影得到的波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。图4.6DOA=20o的波束形成方向图

从图4.6中我们可以看出，预投影方法（Proj）方法与LCMV波束形成方法相比具有较低的旁瓣，较好的主瓣和波束形成方向图。在低信噪比情况下，预投影方法与LCMV方法相近

第56页,共76页，2024年2月25日，星期天4.3基于特征结构的自适应波束形成算法

SMI算法的前提条件是数据协方差矩阵中不包含期望信号，为了克服SMI算法在期望信号较大时会产生波束畸变及性能下降等问题，人们提出了基于特征结构波束形成算法ESB（Eigenspace-BasedAlgorithm）。

4.3.1基于特征结构的算法

有限次快拍下的协方差矩阵作特征分解

我们知道,的列矢量张成信号子空间，而的列矢量张成噪声子空间。

第57页,共76页，2024年2月25日，星期天在SMI算法中，权为在理想情况下，期望信号位于信号子空间。

仅为信号子空间的分量，噪声子空间的分量为零

ESB算法就是基于这种原理，屏弃权矢量在噪声子空间中的分量而仅保留在信号子空间中的分量，成为基于特征结构的自适应波束形成方法或投影方法。优缺点：当数据协方差矩阵中含有较强的期望信号时，该方法较为有效。而当期望信号功率较小时，直接摈弃权矢量在噪声子空间中的分量将会有较大的误差。第58页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真：ESB波束形成算法仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在SNR分别为-25和25时，快拍数为200的情况下，我们用计算机分别仿真出LCMV方法和ESB方法得到的波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。期望的DOA为40o。

图4.7SNR=25的波束形成方向

第59页,共76页，2024年2月25日，星期天图4.8SNR=-25的波束形成方向图

不成立

原因：从图4.8中我们可以看出在低信噪比情况下，ESB方法与LCMV方法相比具有较高的旁瓣，波束形成图较差。这是因为在低信噪比情况下，噪声子空间与方向矢量不满足正交性。第60页,共76页，2024年2月25日，星期天4.3.2ESB算法的改进

作特征分解后，特征值从大到小排列，计算第P+1和P+2两个特征值之比大于某个门限值，则构成

将SMI方法求得的权矢量向的大特征值对应的左奇异矢量列空间投影，

由于引入了期望信号导向矢量，并且在期望信号功率与噪声功率相当或更弱时，去除了干扰较大的特征矢量，该方法能在输入信号较大时保持基于特征结构的自适应波束形成方法性能，又能在期望信号较小时（甚至为零）具有较好的波束保形能力。但是，该方法计算量较大，需要进行一次特征分解和一次奇异值分解。

第61页,共76页，2024年2月25日，星期天仿真：改进ESB波束形成算法

仿真中阵列中的天线数为16，阵列之间间距为半波长，信道为AWGN，在SNR分别为-25和25时，快拍数为200的情况下，我们用计算机分别仿真出LCMV方法和改进ESB方法（IESB）得到的波束形成方向图。DOA分别取5o，20o，30o，40o，50o和60o。期望的DOA为40o

。图4.9SNR=-25的波束形成方向图

第62页,共76页，2024年2月25日，星期天图4.9和4.10分别给出了DOA为40o，LCMV波束形成方法和改进ESB（IESB）算法在信噪比为25和-25的情况下的波束形成方向图。从图4.9中我们可以看出在低信噪比情况下，IESB方法与LCMV方法相比波束形成的效果相近。从图4.10中我们可以看出在高信噪比情况下，IESB方法与LCMV方法相比具有较低的旁瓣和较好的主瓣。这种方法具有很好的鲁棒性。图4.10SNR=25的波束形成方向图

第63页,共76页，2024年2月25日，星期天SMI（采样矩阵求逆）算法这些算法由于受到快拍数的限制，导致波束旁瓣电平升高，零陷变浅，求采样协方差矩阵要经常更新。一种极大抑制干扰的波束形成算法由于这种算法与接收信号无关仅仅和阵列天线的导向矢量有关，这就从根本上避免了矩阵求逆的扰动问题，可以形成精确指向的方向图，对噪声有很好的鲁棒性。置零条件5.1一种极大抑制干扰波束形成方法第5章其它波束形成算法第64页,共76页，2024年2月25日，星期天我们采用16元线阵，阵源间距为。实验仿真1快拍数为500，不考虑多径的影响，引入MVDR算法与新算法进行比较。从两种算法的方向图来看，新算法的权重对噪声具有鲁棒性，而MVDR算法在低信噪比（SNR<0）的情况下，波束形成的性能与新算法基本相同，但是随着SNR的增加，波束形成的方向图逐渐畸变，最后完全失效。仿真说明：新算法的波束形成的方向图对噪声具有鲁棒性的特点。

图5-1方向图

SNR＝－5dB500个快拍图5-2方向图SNR＝10dB500个快拍

备注

第65页,共76页，2024年2月25日，星期天实验仿真2

采用3个用户，每个用户2条多径的的模型，其它的实验条件与实验仿真1相同。新算法中的波束形成权矢量仅仅和阵列天线的导向矢量有关，与接收信号无关。在多径的情况下这种算法的优势就特别的明显，无论接收信号的DOA角度有多接近，多径信号间的相关性有多大，这种算法的权重都不受影响，如图5所示。而MVDR算法的方向图已经开始变差，旁瓣升高，主瓣偏移。仿真说明：多径情况下新算法波束形成方向图的良好性能。图5-3多径情况下的方向图SNR＝5dB500个快拍

第66页,共76页，2024年2月25日，星期天实验仿真3采样的快拍数为30，其他仿真条件与实验仿真1