河南省各地（部分地区）2023年九年级上册数学期末考试试题含解析

河南省各地（部分地区）2023年九上数学期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺.同时立一根1.5尺

的小标杆，它的影长是0.5尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺

竹\

A.5（）B.45C.5D.4.5

2.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE_LAC,EF_LAB,FD_LBC,则4DEF的面积与4ABC

的面积之比等于（）

A.1：3B.2：3C.百：2D.百：3

3.关于x的一元二次方程X2—3X+〃?=O有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是（）

9999

A."7<—B.—C.根〉一D.m..—

4444

4.如图图形中，是中心对称图形的是（）

8

5.如图，点C在弧ACS上，若NQ4B=20。，则NAC8的度数为（)

H

A.50°B.60°C.70°D.80°

6.毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x名学生，那么所列方程为（）

A.1x（x+l）=1980B.1x（x-l）=1980

C.x（x+l）=1980D.1）=1980

7.关于抛物线y=%2—2x+l,下列说法错误的是（）

A.开口向上B.与x轴有唯一交点

C.对称轴是直线元=1D.当x>l时，y随x的增大而减小

8.如图，点A、B、C都在。。上，若NABC=60。，则NAOC的度数是（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

9.如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6机的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此

时，小猫正在5处，它要沿圆锥侧面到达尸处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）

A.3mB.3^3mC.3小mD.4/n

10.如图，点A,B,C,D,E都在。上，且舛E的度数为50°，则N8+N。等于（）

A.130°B.135°C.145°D.155°

11.要使式子J』有意义，则x的值可以是（）

A.2B.0C.1D.9

12.对于二次函数y=2（x-1）2-3,下列说法正确的是（）

A.图象开口向下

B.图象和y轴交点的纵坐标为-3

C.xVl时，y随x的增大而减小

D.图象的对称轴是直线x=-1

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标

为

14.如图，在A8C中，NC=90°,AC=8,AB=10,按以下步骤作图：①在A8,AC上分别截取AM,4V,使

AM=AN;②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在N84c内交于点P;③作射线AP交8c

2

于点O,则8=.

15.若点4（2,-1）与3（—2,加）关于原点对称，则团的值是.

16.如图，AC为圆O的弦，点B在弧AC上，若NCBO=58。，ZCAO=20°,则NAOB的度数为

17.将含有30。角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2,将三角板绕原点O

18.抛物线y=2/+8x+根与x轴只有一个公共点，则m的值为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，A3是的直径，弦C£>J_AB于点E,点用在上，MZ)恰好经过圆心。，连接MB.

(1)若CO=16,BE=4,求一。的直径；

(2)若NM=",求的度数.

20.(8分)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于

点O,且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40cm,N，M)E=3O°,DE=190cm,另一支架AB与水

平线夹角N84Z)=65°,求OB的长度(结果精确到1cm；温馨提示：sin65°«0.9bcos65°»0.42,tan650®2.14)

21.(8分)如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另

一交点为A,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点E,使AEDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得NAPB=NOCB?若存在，求出PB?的值；若不存在，请说明理由.

22.（10分）夏季多雨,在山坡CO处出现了滑坡,为了测量山体滑坡的坡面CD的长度,探测队在距离坡底C点1206

米处的E点用热气球进行数据监测，当热气球垂直上升到3点时观察滑坡的终端C点时，俯角为60。，当热气球继续

垂直上升9（）米到达A点时，探测到滑坡的始端。点，俯角为45。，若滑坡的山体坡角N£>CH=30。，求山体滑坡的

坡面CD的长度.（参考数据：1.732,结果精确到0』米）

23.（10分）如图，4B是。的直径，AC是的切线，切点为A，BC交。于点。，点E是AC的中点.

（1）试判断直线与。的位置关系，并说明理由;

（2）若）。的半径为2,ZB=50.AC=5,求图中阴影部分的周长.

24.（10分）求下列各式的值：

（1）2sin30°-3cos60°

1,

（2）16COS245°--tan-60°.

2

25.（12分）某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量）（件）与销售单价x（元

/件）的关系如下表：

x（元/件）15202530

y（件）550500450400

设这种产品在这段时间内的销售利润为卬（元），解答下列问题:

(1)如)'是X的一次函数，求y与X的函数关系式;

(2)求销售利润卬与销售单价X之间的函数关系式;

(3)求当x为何值时，w的值最大？最大是多少？

26.如图，四边形A5CD内接于。0,/8。。=14()。，求NBCZ)的度数.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,B

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】设竹竿的长度为x尺,

•.•太阳光为平行光,

x1.5

••—9

150.5

解得x=45(尺)..

故选:B.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

2、A

【解析】'.'DE1.AC,EFA.AB,FDLBC,

:.ZC+ZEZ)C=90°,NFDE+Z£Z)C=90°,

：.ZC=ZFDE,

同理可得：NB=NDFE,ZA=DEF,

:.△DEFs^CAB,

.♦.△OEF与△ABC的面积之比=(三］

UcJ

又•••△ABC为正三角形，

.•.ZB=ZC=ZA=60°

...△E尸。是等边三角形，

：.EF=DE=DF,

又；OEJ_AC,EFLAB,FDVBC,

：.AAEF^ACDE^ABFD,

：.BF=AE=CD,AF=BD=EC,

在RSOEC中，

Fi1

DE=DCxsinNC=JDC,EC=cosNCxDC=—DC,

22

—3C—AC—D(^9

2

y/3

,DEVV3

•-=—―--------=f

AClDC3

2

尸与△48C的面积之比等于:

故选A.

点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之

比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系(锐角三角形

DE

函数)即可得出对应边——之比，进而得到面积比.

AC

3、A

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于，"的不等式，求出，〃的取值范围即可.

【详解】•••关于x的一元二次方程x2-3x+,"=()有两个不相等的实数根，

△=Z>2-4ac=(-3)2-4XlX/n>0,

9

4

故选A.

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：(1)/\>00方程有

两个不相等的实数根；（2）△Ro方程有两个相等的实数根；（3）△<00方程没有实数根.

4、D

【分析】根据中心对称图形的概念和识别.

【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D是中心对称图形，A、C是轴对称图形，D既不是中心对称图形，

也不是轴对称图形.

故选D.

【点睛】

本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形.

5、C

【分析】根据圆周角定理可得NACB=《NAOB,先求出NAOB即可求出NACB的度数.

2

【详解】解：VZACB=-ZAOB,

2

而NAOB=180°-2X20°=140°,

/.ZACB=-X140°=70°.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半.

6、D

【分析】根据题意得：每人要赠送（X-1）张贺卡，有X个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=l.

【详解】解：根据题意得：每人要赠送（X-1）张贺卡，有X个人，

二全班共送：（x-1）x=l,

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人是

解决问题的关键.

7、D

【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令尸0,解关于x的方程即可判断B

项，进而可得答案.

【详解】解：y=x2-2x+l=（x-l）2；

A、•••a=l>0,.•.抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意;

B、令尸0,贝！|(x-1)2=0,该方程有两个相等的实数根玉=々=1，所以抛物线与x轴有唯一交点，说法正确，所以

本选项不符合题意；

C、抛物线的对称轴是直线x=l,说法正确，所以本选项不符合题意；

D、当x>l时，)，随x的增大而减小，说法错误，应该是当x>l时，)，随x的增大而增大，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.

8、C

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【详解】解：TNABC和NAOC所对的弧为AC，NABC=60。，

:.ZAOC=2ZABC=2x60°=120°.

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9,C

【详解】如图，由题意得：AP=3,AB=6,ZBAP=9Q.

二在圆锥侧面展开图中BP=732+62=入后机

故小猫经过的最短距离是3石机

故选C.

【分析】连接AB、DE,先求得NABE=NADE=25°,根据圆内接四边形的性质得出NABE+NEBC+NADC=18()°,

即可求得NCBE+NADC=155°.

【详解】解：如图所示

c

ZE

连接AB、DE,贝！|NABE=NADE

•••*=50。

.•.ZABE=ZADE=25"

•••点A,B,C,。都在。上

.*.ZADC+ZABC=180°

二ZABE+ZEBC+ZADC=180°

.•.ZEBC+ZADC=180o-ZABE=180o-25o=155°

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键.

11,D

【解析】式子为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可得x-520,解不等式就可得到答案.

【详解】•••式子有意义，

.,.x-5>0,

.,•x>5,

观察个选项，可以发现x的值可以是9.

故选D.

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件.

12、C

【解析】试题分析：A、y=2(x—1)2-3,

Va=2>0,

图象的开口向上，故本选项错误；

B、当x=0时，j=2(0-l)2-3=-l,

即图象和y轴的交点的纵坐标为一1,故本选项错误；

C、；对称轴是直线x=l,开口向上，

.•.当xVl时，y随x的增大而减少，故本选项正确；

C、图象的对称轴是直线x=L故本选项错误.

故选：C.

点睛：本题考查了二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，用了数形结合思想.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、（4,0）.

【分析】先把（1,0）代入y=B5x+力求出机得到抛物线解析式为尸XZ5X+4,然后解方程通5工+4=0得到抛物线与X

轴的另一个交点的坐标.

【详解】解：把（1,0）代入了=始-5工+，〃得1-5+"?=0,解得m=4,

所以抛物线解析式为厂炉-5*+4,

2

当y=0时，X-5X+4=0,解得XI=1,X2=4,

所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4,0）.

故答案为（4,0）.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为

解关于x的一元二次方程问题.

3

【分析】由已知可求5c=6,作由作图知AP平分NB4C,依据NC=NAE。=90°知8=止，再证

Rt^ACDMRt^AED得AC=4E可知BE=2,设CD=DE=x,则BO=6—%，在RrBDE中DE2+BE2=BD2得

X2+22=（6-X）2,解之可得答案.

【详解】解：如图所示，过点。作于点E,

由作图知A尸平分N84C,

ZC=ZA£D=90°,

:.CD=DE,

■：AD^AD,CD=DE,

RtAACD=RtAAED(HL),

AC=AE，

:.BE=AB-AE=2,

•・♦在ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,

BC=>]AB2-AC2=V102-82=6>

设CD=DE=x,则8D=6—x

在RrBDE中DE2+BE2=BD2

g

/.x2+22=(6-x)2,解得：%=—,

3

Q

即CZ)=「

3

,,8

故选：二.

3

【点睛】

本题综合考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理构建方程求解是解题关键.

15、1

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.

【详解】•••点A(2,-l)与3(—2,加)关于原点对称

m=1

故填：1.

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握点的变化规律是关键.

16>76°

【分析】如图，连接OC.根据NAOB=2NACB,求出NACB即可解决问题.

【详解】如图，连接OC.

VOA=OC=OB,

.*.ZA=ZOCA=20o,ZB=ZOCB=58°,

:.ZACB=ZOCB-ZOCA=58°-20o=38°,

AZAOB=2ZACB=76",

故答案为76°.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

17、（血，—0）

【解析】过A作A，CJ_x轴于C,根据旋转得出NAOA，=75。，OA=OA』2,求出NA9C=45。，推出OC=A，C,解直

角三角形求出OC和A，C,即可得出答案.

如图，过A作A，C_Lx轴于C,

•.•将三角板绕原点O顺时针旋转75。，

:.NAOA，=75o,OA=OA，=2,

VZAOB=30°,

:.NA9C=45。，

5

：.OC=A,C=OA,sin45°=2x—=J2>

2

.”，的坐标为（8,-逝）.

故答案为：（血,-V2）.

【点睛】

本题考查的知识点是坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形变化-旋转.

18、8

【解析】试题分析：由题意可得△=,•索一豌,=1忡即可得到关于m的方程，解出即可.

由题意得△=-Xc=8：-；］，"=0,解得3=8

考点：本题考查的是二次根式的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握当△=,，_%时：；岬时，抛物线与X轴有两个公共点；当△二•史-%嘘.-网时，抛

物线与x轴只有一个公共点；△=：,芦.%沐.•:则时，抛物线与x轴没有公共点.

三、解答题(共78分)

19、(1)1；(2)30°

【分析】(1)由CD=16,BE=4,根据垂径定理得出CE=DE=8,设。。的半径为r,则=4,根据勾股定

理即可求得结果；

(2)由NM=/D,ZDOB=2ZD,结合直角三角形可以求得结果；

(2)由OM=OB得到NB=NM,根据三角形外角性质得NDOB=NB+NM=2NB,则2NB+ND=90。，加上NB

=ND,所以2ND+ND=90。，然后解方程即可得ND的度数；

【详解】解：(1)VAB±CD,CD=16,

.*.CE=DE=8,

设OB=r,

又；BE=4,

：.OE=r—4

r2=(r-4)2+82,

解得：r=10,

的直径是1.

(2)VOM=OB,

.,.NB=NM,

...NDOB=NB+NM=2NB,

VZDOB+ZD=90°,

/.2ZB+ZD=90o,

VZM=NO,

/.ZB=ZD,

.,.2ZD+ZD=90°,

.,.ZD=30°；

【点睛】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.

20、OB«19cm.

【分析】设OE=OB=2x,根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.

【详解】设OE=OB=2x,

,OD=DE+OE=190+2x,

：/ADE=30°,

.,.OC=-OD=95+x,

2

:.BC=OC-OB=95+x-2x=95-x,

BC

；tan/BAD

AC

95-x

2.14=

40

解得：x=9.4,

:.OB=2x=18.8=19cm

【点睛】

本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键.

3

21、（1）y=-x2+2x+3；⑵点E（亍，0）；（3）PB?的值为16+8行.

【分析】（1）求出点B、C的坐标分别为（3,0）、（0,3）,将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）如图1,作点C关于x轴的对称点C，，连接CD，交x轴于点E,则此时EC+ED为最小，^EDC的周长最小，即可

求解；

（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解.

【详解】（1）直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，

令x=0,贝!|y=3,令y=0,则x=3,

...点B、C的坐标分别为（3,0）、（0,3）,

将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：

-9+3。+。=0b=2

解得：o,

c=3c=3

故函数的表达式为：y=-x2+2x+3；

⑵如图1,作点C关于x轴的对称点连接CD，交x轴于点E,此时EC+ED为最小，则AEDC的周长最小,

图1

令x=0,贝!J-X2+2X+3=0,

解得：玉=-1，々=3，

.•.点A的坐标为(-1,0),

Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

抛物线的顶点D的坐标为(1,4),则点C，的坐标为(0,-3),

设直线CD的表达式为y^kx+b,

伏+。=4

将C，、D的坐标代入得，。,

o=-3

k=7

解得：、，

二直线C，D的表达式为：y=7x-3,

3

当y=0时，x=亍,

故点E的坐标为(士3，0)；

7

(3)①当点P在x轴上方时，如图2,

图2

•.•点B、C的坐标分别为（3,0）、（0,3）,

.*.OB=OC=3,贝!|NOCB=45°=NAPB,

过点B作BHJ_AP于点H,设PH=BH=a,

则PB=PA=V2a,

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2,

16=a2+（V2a-a）2,解得:a2=8+4夜,

贝!IPB2=2aT6+8夜；

②当点P在x轴下方时,

同理可得依2=]6+80.

综合以上可得，PB2的值为16+8行.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质，点的对

称性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

22、C£＞的长为177.2米.

【分析】过点。作DFA.EH,垂足为尸，作。G，,垂足为G，设。尸，先根据30。的正切值得出CF=瓜,

再根据60°的正切值得出BE=360,进而计算出砂=G0=45O—a,最后根据。歹=石尸一£；。列出方程求解即得.

【详解】如下图，过点。作。尸_1_四，垂足为作0GJ_4E,垂足为G

;在RtADCF中,ZDCF=30°

CD=2a,CF=乖）a

•.•四边形GDEE为矩形

:.GE-DF=a.

VAM//GD,BN//EH

：.ADAM=ZADG=45°,4NBC=NBCE=60°

,在Rt_8CE中，EC=1206，NBCE=60。

BE=EC•tan60°=120百xG=360

4G=360+90-a=450-a

•.•在RLAGO中，ZADG=45°,AG=450—a

.♦.GO=450-a

•.•四边形GOFE为矩形

:.EF=GD=450—a

；•CF=450—a-120G

.•.450-。-1206=耳

解得。=285痒405

，CD=2a=570^-810®177.2.

答：CO的长为177.2米.

【点睛】

本题是解直角三角形题型，考查了特殊角三角函数，解题关键是将文字语言转化为几何语言，并找出等量关系列方程.

23、（1）直线OE与。。相切；理由见解析；（2）5+呼.

【分析】（1）连接OE、OD,根据切线的性质得到NOAC=90。，根据三角形中位线定理得到OE〃BC,证明

△AOE^ADOE,根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明：

（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5,由圆周角定理可得NAOD=100。，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可

求得结论.

【详解】解：（1）直线DE与。O相切，

理由如下：连接OE、OD,如