重难点专项训练-专题02 尺规作图训练（讲义）（解析版）

专题02尺规作图训练核心知识点精讲理解尺规作图的定义．理解掌握基本作图的方法；理解掌握复杂作图点的方法；理解掌握应用与设计作图的方法。1．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．4.作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．5.作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【题型1：作图—尺规作图的定义】【典例1】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】见试题解答内容【分析】利用尺规作∠CAE＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．【解答】解：图象如图所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB（SAS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．【题型2：作图—基本作图（选择题）】【典例2】（2023•南山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．52 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面积为10，∴12×4×AD=解得AD＝5．故选：D．1．（2023•南山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDEA．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【分析】根据“垂线段最短”可得DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据全等三角形的性质得到AE＝AC，求得BE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短，∴DE⊥AB，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝2，∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝1，∴△BDE的面积=12BE•DE=12×1故选：B．2．（2023•罗湖区校级模拟）如图，已知AB＝AC，BC＝6，尺规作图痕迹可求出BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可得到答案．【解答】解：由题意，AB＝AC，BC＝6，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝3，故选：B．3．（2023•龙岗区校级四模）如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACBA．90° B．100° C．120° D．140°【答案】B【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，所以∠CBA＝∠CAB＝40°，进而可得结果．【解答】解：∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，根据基本作图可知：MN垂直平分AB，∴CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝40°，∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°．故选：B．【题型3：作图—基本作图（作图题）】（2023•东莞市校级一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．（1）尺规作图：作∠ACB的角平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，延长CA至点E，使AE＝AD，连接BE．求证：CD＝BE，且CD⊥BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用基本尺规作图作角平分线即可；（2）证明△BAE≌△CAD解题即可．【解答】解：（1）如图，CD即为所作，（2）如图，延长CD，交BE于F，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠EAB＝∠BAC＝90°，又∵AE＝AD，∴△BAE≌△CAD，∴CD＝BE，∠ABE＝∠ACD，∴∠ABE+∠E＝90°，∴∠ECF+∠E＝90°，∴∠EFC＝90°，即CD⊥BE．1.（2023•花都区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；（1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．【答案】（1）见解答；（2）45【分析】（1）利用基本作图，过C点AB的垂线即可；（2）先根据菱形的性质得到OA＝OC＝2，OB＝OD＝1，AC⊥BD，AB＝BC，则利用勾股定理可计算出AB=5，则BC=5，再利用面积法计算出CE【解答】解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC=12AC＝2，OB＝OD=12BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OAB中，AB=O∵AB•CE=12AC•∴CE=1∵BC＝AB=5∴cos∠BCE=CE2．（2023•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：BE＝2CE．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．（2）连接AE，结合线段垂直平分线的性质，求出∠CAE＝30°，即可得CE＝DE，再根据BE＝2DE，即可得出答案．【解答】（1）解：如图，DE即为所求.（2）证明：连接AE，∵DE为线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∴BE＝2CE．【题型4：科学记数法】【典例4】（2023•南海区模拟）如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接（2）在（1）的条件下，若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为多少？【答案】（1）见解答；（2）17．【分析】（1）根据题中步骤作图；（2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解．【解答】解：（1）如图：（2）由作图得：MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，即：AC+CD+AD＝10，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝AC+CD+BD+AB＝AC+CD+AD+AB＝10+7＝17，所以△ABC的周长为17．1．（2023•开平市二模）如图，∠AOB＜60°．（1）以点O为圆心，任意长为半径作MN，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（）A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB【答案】D【分析】利用基本作图得到OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，则可对A选项进行判断；先证明△PCD为等边三角形得到∠CPD＝60°，再证明OP垂直平分CD，则可对C选项进行判断；由于CQ＝DQ，则PC＝2CQ，于是可对B选项进行判断；利用∠CPO＝30°，∠BOP＜30°可对D选项进行判断．【解答】解：由作法得OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项不符合题意；∵PC＝PD＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠CPD＝60°，∵OC＝OD，PC＝PD，∴OP垂直平分CD，所以C选项不符合题意；∴CQ＝DQ，∴PC＝2CQ，所以B选项不符合题意；∵∠CPO＝30°，∠BOP＜30°，∴PC与OB不平行，所以D选项符合题意．故选：D．2．（2023•禅城区三模）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；第三步：连接DE．则下列结论正确的是（）A．DE∥AB B．EF平分AC C．CD＝DE D．CD＝BD【答案】A【分析】根据等腰三角形及平行线的性质判定求解．【解答】解：设AD、EF相交于点O，∵∠BAC的平分线AD交BC于点D；∴∠BAD＝∠CAD，∵AD的垂直平分线EF，交AC于点E，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE∴DE∥AB，故A是正确的；∵AB＞AC＞BC，∠BAC的平分线AD，∴CD≠BD，AD与BC不垂直，∴EF与BC不平行，∵点O是AD的中点，∴E不是AC的中点，故B、D是错误的；∵DE∥AB，AC＞BC，∴CD≠DE，故C是错误的；故选：A．3．（2023•南山区模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．第一步：作∠BAC的平分线AD；交BC于点D；第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；第三步：连接DE．则下列结论正确的是（）A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD【答案】B【分析】根据作图过程可得EF是线段AD的垂直平分线，AD平分∠BAC，进而可以解决问题．【解答】解：由作法可知：EF是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠BAD，∴DE∥AB，故选：B．4．（2022•香洲区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=3，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于12CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为3【答案】3-【分析】根据S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF，求解即可．【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBF＝∠FBA＝30°，∵BC=3∴CF＝BC•tan30°＝1，AC＝BC•tan60°＝3，BF＝2CF＝2，∴S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF=12×故答案为：3-5．（2023•中山市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得△ABD和△ACD均为等腰三角形．（1）一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以BA的长为半径画弧与BC交于点D，请根据这种作法说明△ABD和△ACD均为等腰三角形；（2）请在图2中用尺规作图用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【分析】（1）根据三角形的内角和定理证明；（2）作AC的垂直平分线即可．【解答】解|：（1）连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，由作图得：AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝36°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴△ABD和△ACD均为等腰三角形；（2）如图2：点D即为所求．【题型5：作图—应用与设计作图】【典例5】（2023•潮南区一模）如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．【答案】（1）作图见解析部分．（2）证明见解析部分．【分析】（1）利用尺规作出∠CAD的角平分线即可．（2）欲证明AB＝AC，只要证明∠B＝∠C．【解答】（1）解：如图，射线AE即为所求．（2）证明：∵AE平分∠CAD，∴∠EAD＝∠EAC，∵AE∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．1．（2023•福田区校级二模）图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（2）在图②中，画出一个格点C，使△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使tan∠BPH＝1．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理作出图形即可；（2）构造等腰直角三角形即可；（3）根据tan∠BPH＝1，则∠BPH＝45°作出对应图形即可．【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求；（2）如图②中，点C即为所求；（3）如图③中，点P即为所求；2．（2023•龙华区二模）随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．【买帐篷】经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？【摆帐篷】周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地（抽象成如图2的20×14的方格纸）可用来摆账篷，经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形（抽象成如图1的圆），为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于1米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图2中画出符合要求的设计示意图．（要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规）【答案】（1）小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；（2）见解答．【分析】（1）根据题意列方程求解；（2）根据圆与圆之间的关系作图．【解答】解：（1）设A种型号帐篷的单价分别是x元，则B型号的帐篷的单价为（x﹣30）元，由题意得：1200x方程两边同乘以x（x﹣30）得：1200（x﹣30）＝900x，解这个整式方程得：x＝120，经检验：x＝120是原分式方程的解，∴x﹣30＝90，∴2×（90+120）＝420（元），答：小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；（2）如图：3．（2023•高要区二模）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；（2）利用数形结合的思想画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．一．选择题（共7小题）1．画△ABC中BC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形高的定义，画BC边上的高要过A点作BC的垂线，垂线段为BC边上的高．【解答】解：画△ABC中BC边上的高，正确的为：故选：C．2．人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OCA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】利用基本作图得到OM＝ON，CM＝CN，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC．【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，而OC为公共边，所以根据“SSS”可判定△OMC≌△ONC，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠MON．故选：A．3．用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A．是BC边上的高，故此选项不合题意；B．是AC边上的高，故此选项不合题意；C．不是三角形的高，故此选项不合题意；D．是△ABC的边AB上的高，故此选项符合题意．故选：D．4．已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用基本作图得到∠CMN＝∠DMN＝∠POQ，所以∠CMD＝2∠AOB．【解答】解：由作法得∠CMN＝∠DMN＝∠POQ，∵∠AOB＝20°，∴∠CMD＝2∠AOB＝40°．故选：D．5．作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据作一个角等于已知角可直接得到答案．【解答】解：作一个角等于已知角”用到了全等三角形的判定方法是：边边边，故选：A．6．方方同学在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【答案】B【分析】利用作法得到AC＝AD＝BC＝BD，然后根据菱形的判定方法进行判断．【解答】解：连接AC、AD、BC、BD，如图，由作法得AC＝AD＝BC＝BD，所以四边形ADBC为菱形，所以CD垂直平分AB．故选：B．7．如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①在AB，AC上分别截取AD，AE，使AD＝AE；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧相交于点F③作射线AF交BC于点M；④过点M作MN⊥AB于点N．下列结论一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA【答案】C【分析】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．【解答】解：由题意可知，AM平分∠CAB，∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．故选：C．二．填空题（共5小题）8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BCD内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若BQ＝7时，则△BQC与△DCQ的周长之差为5【答案】5．【分析】利用基本作图得到CQ平分∠BCD，则∠BCQ＝∠DCQ，再根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝5，AD∥BC，接着证明∠DCQ＝∠DQC得到DQ＝DC＝5，然后利用三角形周长的定义计算△BQC与△DCQ的周长之差．【解答】解：由作法得CQ平分∠BCD，∴∠BCQ＝∠DCQ，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝5，AD∥BC，∴∠BCQ＝∠DQC，∴∠DCQ＝∠DQC，∴DQ＝DC＝5，∴△BQC与△DCQ的周长之差＝（BC+BQ+CQ）﹣（DC+DQ+CQ）＝8+7+CQ﹣5﹣5﹣CQ＝5．故答案为：5．9．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a+b，小明给出了五个步骤：①作一条射线AE；②则线段AB＝2a+b；③在射线AE上作线段AC＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；⑤在射线CE上作线段CD＝a；你认为正确的顺序是①③⑤④②．【答案】见试题解答内容【分析】利用作一条线段等于已知线段，先分别截取AC＝CD＝a，然后截取线段DB＝b，从而得到线段AB．【解答】解：五个步骤正确的顺序为：①③⑤④②．故答案为：①③⑤④②．10．如图，在长方形ABCD中，连接BD，分别以B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M．若AD＝4，AB＝2．则AM的长为3【答案】32【分析】连接BM，根据线段垂直平分线的性质得到BM＝DM，根据矩形的性质得到∠A＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接BM，由作图知，直线EF是BD的垂直平分线，∴BM＝DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB2+AM2＝BM2，∴22+AM2＝（4﹣AM）2，解得AM=3故答案为：3211．如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是（2+13，【答案】（2+13，3【分析】由作图知，OP平分∠AOB，再利用平行四边形的性质说明AO＝AP，由点A的坐标得出OA的长，从而得出答案．【解答】解：由作图知，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∵四边形AOBC是平行四边形，∴AC∥OB，∴∠APO＝∠POB，∴∠AOP＝∠APO，∴OA＝AP，∵A（2，3），∴OA=2∴P（2+13，3故答案为：（2+13，312．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于12AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交BC边于点D．连接AD．若AC＝8，AD＝5，则AB的长为6【答案】6．【分析】设直线MN与AC交于点E，由作图可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，则可得AD＝CD＝5，DE∥AB，进而可得点D为BC的中点，则BC＝2CD＝10，再利用勾股定理可求出AB的长．【解答】解：设直线MN与AC交于点E，由作图可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD＝5，点E为AC的中点，∠CED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴DE∥AB，∴点D为BC的中点，∴BC＝2CD＝10，∴AB=BC故答案为：6．三．解答题（共3小题）13．有这样一道作图题：“求作一个平行四边形ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”小明的思考过程是这样的：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．∵E是边BC的中点，∴…再倒过来，只要作出的平行四边形ABCD满足BC和BA的数量关系是（1）即可．（1）填空：BC＝2BA．（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直．（要求：只保留作图痕迹，无需写出文字说明）【答案】（1）BC＝2BA；（2）图见解析．【分析】（1）根据等边对等角，线段中点的性质解答即可；（2）先作线段BC，确定中点，再作平行四边形，最后使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直．【解答】解：（1）BC＝2BA，理由如下：假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．∵E是边BC的中点，∴BC＝2BA，故答案为：BC＝2BA；（2）方法一：①作线段BC的垂直平分线，取BC的中点E，以E为圆心，BE的长为半径作⊙E，在圆上任取一点G，连接CG，BG，则CG⊥GB，②取EC的中点F，以FB为半径，F为圆心作弧，交BG的延长线于点D，则FD＝FB，作B点的垂直平分线交BD于O，交AD于K，则FO⊥BD，OB＝OD，③以O为圆心OC长为半径作⊙O，延长CO，交⊙O于点A，则OA＝OC，连接AB、AD、DC，则四边形ABCD是平行四边形，④连接AE，此时AE∥FK，FK⊥BD，即AE⊥BD；方法二：①作BE＝EC，任作射线BP（角度要小），②作EH⊥BP于点H，在射线EH上截HA＝2EH，③以点A为圆心作AD＝BC交BP于点D，④连接AB，CD即可；14．如图，已知线段a、b，求作线段AB，使得AB＝2b﹣a（不写作法）．【答案】见试题解答内容【分析】先作射线AM，再延长截取AC＝CD＝b，然后截取DB＝a，则线段AB的长为2b﹣a．【解答】解：如图，线段AB为所作．15．如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】根据矩形以及菱形的性质得出它们的中心，进而得出平分面积的直线．【解答】解：如图所示：NO即为所求，连接BF，AE，交于点O，连接EC，BD交于点N，此时过点O的直线平分矩形FABE面积，过点N的直线平分菱形EBCD，故ON平分这张纸片面积．一．选择题（共7小题）1．如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形A．12cm B．14cm C．16cm D．无法确定【答案】A【分析】利用基本作图得到AB＝AF＝3cm，∠BAE＝∠FAE，根据平行四边形的性质得BC∥AD，则∠BEA＝∠FAE，所以∠BAE＝∠BEA，从而得到BE＝BA＝3cm，于是可判断四边形ABEF为菱形，于是得到四边形ABEF的周长．【解答】解：由作法得AB＝AF＝3cm，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠FAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA＝3cm，而BE∥AF，∴四边形ABEF为菱形，∴四边形ABEF的周长＝4×3＝12（cm）．故选：A．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，观察尺规作图的痕迹，则AD的长为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质以及勾股定理求解．【解答】解：由作图可知AD平分∠BAC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD=12BC＝∴AD=AB故选：B．3．如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图．（1）在射线OA上取点C和点E，分别以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F；（2）连结CF，DE交于点P．则下列结论错误的是（）A．CE＝DF B．点P在∠AOB的平分线上 C．PE＝PF D．若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120°【答案】D【分析】由题意可得OC＝OD，OE＝OF，即可判断A选项；连接OP，证明△DOE≌△COF，△CEP≌△DFP，△COP≌△DOP，即可判断B，C选项，由此可得答案．【解答】解：由题意得，OC＝OD，OE＝OF，∴OE﹣OC＝OF﹣OD，即CE＝DF，故A选项正确，不符合题意；连接OP，∵OE＝OF，OC＝OD，∠COF＝∠DOE，∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠OED＝∠OFC，CF＝DE，∵CE＝DF，∠OED＝∠OFC，∠EPC＝∠FPD，∴△CEP≌△DFP（AAS），∴CP＝DP，∴EP＝FP．∵OC＝OD，CP＝DP，OP＝OP，∴△COP≌△DOP（SSS），∴∠COP＝∠DOP，∴点P在∠AOB的平分线上，故B，C选项正确，不符合题意；若∠AOB＝60°，∠CPD＝120°，则∠OCP＝∠ODP＝90°，而根据题意不能证明∠OCP＝∠ODP＝90°，∴不能证明∠CPD＝120°，故C选项错误，符合题意．故选：D．4．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，用尺规在AC上找一点N，使∠CBN＝∠CAD，关于作图痕迹，下列观点正确的是（）A．EF是以点C为圆心，AE长为半径的弧 B．PQ是以点B为圆心，AF长为半径的弧 C．GM是以点Q为圆心、EF长为半径的弧 D．GM是以点P为圆心、BP长为半径的弧【答案】B【分析】解析：根据作一个角等于已知角，可得EF是以点A为圆心、AE长为半径的弧，故A错误；GM是以点P为圆心、FE长为半径的弧，故C，D错误．【解答】解：根据作一个角等于已知角，可得EF是以点A为圆心、AE长为半径的弧，故A错误，本选项不符合题意，PQ是以点B为圆心，AF长为半径的弧，正确，本选项符合题意．GM是以点P为圆心、FE长为半径的弧，故C，D错误．选项C，D不符合题意．故选：B．5．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧交于M、N，过点M和点N作直线，交BC、AC分别于D、E，若AE＝8，△ABD的周长是30，则△A．30 B．38 C．46 D．54【答案】C【分析】根据题中尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，从而得到DA＝DC，AE＝CE，再由△ABD的周长是AB+BD+AD＝30，结合△ABC的周长为AB+BC+AC，代值求解即可得到答案．【解答】解：由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，CE＝AE＝8，∵△ABD的周长是30，∴AB+BD+AD＝30∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+BD+DA+2AE＝C△ABD+2AE＝30+2×8＝46，故选：C．6．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点在AB的垂直平分线上．【解答】解：连接AB，使A，B两小区到送奶站的距离相等，所以此点在AB的垂直平分线上．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝56°．则∠A．74° B．84° C．86° D．96°【答案】D【分析】由作图痕迹可知MN垂直平分BC，得出BD＝CD，∠B＝∠BCD，由CD＝AC，∠A＝56°，得出∠B＝∠BCD＝28°，∠ACD＝68°，即可得出答案．【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝56，∴∠ADC＝∠A＝56°，∴∠ACD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵MN垂直平分BC，∴BD＝CD，∴∠B＝∠BCD=∠ADC2∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝68°+28°＝96°．故选：D．二．填空题（共5小题）8．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则S△DFGS【答案】625【分析】先由作图得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据三角形的面积公式求出△EFG和△DEG的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．【解答】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴S△EFGS△BCG=（EFBC）2＝（S△BCG＝12.5x，∴S△DFG故答案为：6259．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为5cm．【答案】5．【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积=12AB×【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，∴12AB×OC=12×2×解得OC＝5（cm）．故答案为：5．10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H．若∠HGB＝36°，则∠ABG的度数是36【答案】36°．【分析】根据作图可得，BG是∠ABC的角平分线，则∠ABG＝∠CBG，根据平行线的性质可得∠HGB＝∠CBG，根据三角形内角和定理，即可求解．【解答】解：根据作图可得，BG是∠ABC的角平分线，则∠ABG＝∠CBG，∵∠HGB＝36°，∴∠CBG＝36°，∵GH∥BC，∴∠HGB＝∠CBG＝36°，∴∠ABG＝∠CBG＝36°，故答案为：36°．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若AC＝3，AB＝5，△ABC的面积为6，则CD的长为3【答案】32【分析】先利用勾股定理计算出BC＝4，作DH⊥AB于H，如图，设DH＝x，则BD＝4﹣x，利用作法得AD为∠BAC的平分线，则根据角平分线的性质得CD＝DH＝x，接着证明△ADC≌△ADH得到AH＝AC＝9，所以BH2，然后在Rt△BDH中利用勾股定理得到22+x2＝（4﹣x）2，最后解方程求出x即可得到结论．【解答】解：在Rt△ACB中，BC=AB作DH⊥AB于H，如图，设DH＝x，则BD＝12﹣x，由作法得AD为∠BAC的平分线，∴CD＝DH＝x，在Rt△ADC与Rt△ADH中，CD=DHAD=AD∴Rt△ADC≌Rt△ADH（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝5﹣3＝2，在Rt△BDH中，22+x2＝（4﹣x）2，解得x=3∴CD=3故答案为：3212．如图，已知线段a，b，求作一条线段，使它等于2a﹣b．作法：①画射线AM；②在射线AM上顺次截取AB＝a，BC＝a；③在线段AC上截取CD＝b．那么所求作的线段是线段AD．【答案】AD．【分析】根据线段的和差求解．【解答】解：根据线段的和差的定义可得：AD＝2a﹣b，故答案为：AD．三．解答题（共3小题）13．作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．【答案】见试题解答内容【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．【解答】解：如图所示：P点即为所求．14．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上．（1）请在图1中的⊙O上作一点D（异于点B），使AD=AB，连接BD并延长交AC的延长线于点M，过A作BC的垂线交BM于点（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝12，AC＝9，则AG的长为10．（如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见解答；（2）10．【分析】（1）先以A点圆心，AB为半径画弧交⊙O于D点，再延长BD交AC的延长线于点M，然后过A点作BC的垂线即可；（2）过A点作AH⊥BD于H点，如图1，先利用垂径定理可判断AH经过圆心O，再根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，则利用勾股定理计算出BC＝15，接着证明Rt△ABH∽Rt△BCA，利用相似比计算出BH=365，所以BD＝2BH=725，然后证明∠ABH＝∠BAG得到AG＝BG，最后证明△BAG∽△BDA，利用相似比求出【解答】解：（1）如图1，（2）过A点作AH⊥BD于H点，如图1，∵AB=∴AB＝AD，∴AH垂直平分BD，∴AH经过圆心O，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴BC=AB∵AB=∴∠ABH＝∠ACB，∴Rt△ABH∽Rt△BCA，∴BHAC=AH解得BH=36∴BD＝2BH=72∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABC＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAG＝∠ACB，∵∠ABH＝∠ACB，∴∠ABH＝∠BAG，∴AG＝BG，∵AB=∴∠ABH＝∠ADB，∵∠ABG＝∠DBA，∴△BAG∽△BDA，∴BA：BD＝BG：BA，即12：725=BG：解得BG＝10，∴AG＝10．故答案为：10．15．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ABC周长为16，AB＝5，则△ACD的周长为11【答案】11．【分析】证明△ACD的周长＝BC+AC，可得结论．【解答】解：∵MN垂直平分线段AB，'∴AD＝DB，∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC，∵△ABC周长为16，AB＝5，∴BC+AC＝16﹣5＝11．∴△ACD的周长为11．故答案为：11．一．选择题（共2小题）1．（2020•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BDA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到BD=12【解答】解：由题可得，AR平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD是三角形ABC的中线，∴BD=12BC=12故选：B．2．（2019•深圳）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDCA．8 B．10 C．11 D．13【答案】A【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得