2022-2023学年山西省晋城市第一职业中学高二数学文下学期摸底试题含解析

2022-2023学年山西省晋城市第一职业中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：A2.在极坐系中点与圆的圆心之间的距离为()A.2

B.

C.

D.参考答案：D3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．A．

B．

C．

D．参考答案：B5.直线与函数的图象的交点个数为（

）A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：A6.已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于直线对称，则下列判断正确的是(

)A.要得到函数f(x)的图象，只需将的图像向左平移个单位B.时，函数的最小值是-2C.函数f(x)的图象关于直线对称D.函数在上单调递增参考答案：D7.在正方体中，下列几种说法正确的是

（

）A、

B、

C、与成角

D、与成角参考答案：略8.已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣3]参考答案：B【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p转化到?p，求出?q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则?p为﹣3≤x≤1，?q为x≤a，又?p是?q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．9.“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（

）条件.充要

充分非必要

必要非充分

既非充分又非必要参考答案：C略10.已知，，满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是A、 B、 C、 D、（

）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则________________。参考答案：12.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

.参考答案：略13.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．其中为真命题的是．参考答案：①②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】阅读型．【分析】根据空间中异面直线的判定定理，线面垂直的判定方法，线线关系的判定方法，及面面平行的判定定理，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：m?α，l∩α=A，A?m，则l与m异面，故①正确；若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，在则α内必然存在两相交直线a，b使a∥m，b∥l，又由n⊥l，n⊥m，则n⊥a，n⊥b，∴n⊥α，故②正确；若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行与可能相交，也可能异面，故③错误；若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则由面面平行的判定定理可得α∥β，故④正确；故答案为：①②④【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中线面之间位置关系的定义、判定方法和性质定理，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．14.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

。参考答案：15.已知函数，则

参考答案：16.圆心是，且经过原点的圆的标准方程为_______________________;参考答案：略17..排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和．前2局中B队以2:0领先，则最后B队获胜的概率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）减函数极小值增函数∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：xp（x）﹣﹣0+p′（x）单调递减单调递减极小值单调递增∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．19.（本题满分12分）已知数列满足,

,（Ⅰ）计算出、、;（Ⅱ）猜想数列通项公式,并用数学归纳法进行证明.参考答案：（Ⅰ）

------------------3分；

（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列

∴猜想数列

通项公式：---------------------5分

用数学归纳法证明如下：①

当时，由题意可知，命题成立.②

假设当时命题成立，即，----6分那么，当时，也就说，当时命题也成立----------------------------11分综上所述，数列的通项公式为-------------12分略20.已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．(Ⅰ)求证：(a－2)(b－2)＝2；(Ⅱ)求线段AB中点的轨迹方程；(Ⅲ)求△AOB面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1，………2分即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.…………………4分(Ⅱ)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1).……………8分(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)，………………………10分当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，所以△AOB面积的最小值是3＋2.

……………12分21.（本小题14分）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.（Ⅰ）求圆方程；（Ⅱ）点与点关于直线对称.是否存在过点的直线，与圆相交于两点，且使三角形（为坐标原点），若存在求出直线的方程，若不存在用计算过程说明理由.

参考答案：（Ⅰ）过切点且与垂直的直线为，即.（1分）与直线联立可求圆心为，

………（2分）所以半径所以所求圆的方程为.

…………（4分）（Ⅱ）设，∵点与点关于直线对称∴

………（5分）注意：若没证明，直接得出结果，不扣分.1.当斜率不存在时，此时直线方程为，原点到直线的距离为，同时令代人圆方程得，所以，所以满足题意，此时方程为.

……………（8分）2.当斜率存在时，设直线的方程为

，即

圆心到直线的距离，…………（9分）设的中点为,连接，则必有,在中，所以,…………………（10分）而原点到直线的距离为，所以，

……………（12分）整理得，不存在这样的实数.

综上所述，所求的直线方程为.……………………（14分）22.已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆的方程为：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，进而求出C点坐标，代入求出b2的值后，可得椭圆的方程．（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为﹣k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由对称性求出B点坐标，可得kAB=，即kPQ=kAB，即与共线，再由向量共线的充要条件得到答案．【解答】解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A（2，0），设所求椭圆的方程为：=4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，由?=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴=4，∴b2=，所求的椭圆方程为x2+3y