(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第6章-计数原理(典型题专练)(教师版)

第6章计数原理典型题专练一、单选题1．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()A．240种 B．120种 C．96种 D．480种【答案】A【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．3．（2019·上海松江·高二期末）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为形（每次旋转90°仍为形的图案），那么在个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的形需案的个数是A．36 B．64 C．80 D．96【答案】C【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解.【详解】每一个“田”字里有个“”形，如图因为的方格纸内共有个“田”字，所以共有个“”形..【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.4．（2018·上海中学高三阶段练习）现有种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】将原图从上而下的个区域标为、、、，分类讨论、同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】将原图从上而下的个区域标为、、、，因为、、之间不能同色，与可以同色，因此，要分类讨论、同色与不同色这两种情况.①若、同色，则区域、有种选择，区域有种选择，区域有种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有种涂色方法；②若、不同色，则区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域只有种选择，此时共有种涂色方法.故不同的着色方法种数为.故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.5．（2020·上海市七宝中学高二阶段练习）某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（）A．7200种 B．4800种 C．2640种 D．1560种【答案】D【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可.【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有种不同方式，再分配给4个人共种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有种不同方式，再分配给4个人共种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式.故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）若是小于的正整数，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排列数的定义可得出正确选项.【详解】，由排列数的定义可得.故选D.【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题7．（2020·上海·高三专题练习）现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为_____【答案】【详解】∵，，且、，基本事件的总数是种，、都取到奇数的事件有种，由古典概型公式，、都取到奇数的概率为.【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题.8．（2019·上海松江·高二期末）若，则实数________.【答案】或【分析】根据组合数的性质得解.【详解】由组合数的性质得或，所以或【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.9．（2019·上海市延安中学高二期末）的不同正约数共有______个．【答案】【分析】将进行质因数分解为，然后利用约数和定理可得出的不同正约数个数.【详解】将进行质因数分解为，因此，的不同正约数共有.故答案为：.【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.10．（2021·上海·高二专题练习）的展开式中的系数为________________．【答案】【分析】在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【详解】的展开式的通项为，令，因此，的展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.11．（2022·上海·高三专题练习）设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．【答案】-2【详解】试题分析：∵的展开式的通项为，令，得，∴的系数是，∵项的系数为-10，∴，得.考点：二项式定理.12．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）若二项式展开式的常项数为20，则______．【答案】1【分析】利用二项式展开的通项公式，令其指数为0，可得出，再写出常数项，得到的值．【详解】解：二项式展开式的通项公式：，令，解得．常项数为，则．故答案为1．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2019·上海市川沙中学高二期末）在二项式展开式中，第五项为________.【答案】60【分析】根据二项式的通项公式求解.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，则，故第五项为60.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，注意是第项.14．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.【答案】【分析】分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数.【详解】由题意可知，所选的人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方式的种数为.故答案为.【点睛】本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.15．（2019·上海市延安中学高二期末）不等式的解为______．【答案】或或或【分析】利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.【详解】，由组合数公式得，得，整理得，即，解得，由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.故答案为：或或或.【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.16．（2021·上海中学高二阶段练习）计算：________（用数值作答）【答案】46【分析】由已知，，解不等式组可得，再代入原式计算即可.【详解】由已知，，解得，又，所以，所以.故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.17．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18．（2019·上海交大附中高三期末）已知，且，那么的展开式中的常数项为______．【答案】-20【分析】由题意令x＝1，可得n＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【详解】∵已知，且，∴令，可得，∴，那么的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为﹣20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．19．（2019·上海市七宝中学三模）求值：________【答案】【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．【详解】．故答案为．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．20．（2019·上海市延安中学高二期末）计算：______．【答案】【分析】将变为，然后利用组合数性质即可计算出所求代数式的值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·上海市七宝中学高三阶段练习）已知，若数列、、、是一个单调递增数列，则的最大值为____.【答案】【分析】先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.【详解】，展开式通项为，，由于数列、、、是一个单调递增数列，，即，解得，因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．22．（2022·上海·高三专题练习）已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.【答案】5【分析】通过和可计算出数列的通项公式，即，由二项式定理结合题意可得，进而可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由得，则，由和，解得，，则.由，，则，故答案为：5.【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.23．（2021·上海·高二专题练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.【答案】【分析】将数阵倒置，记第行第个数为，由此可得出所求的数为，且有性质并且，通过结合规律逐项推导得出，利用组合数公式以及二项式定理可得出结果.【详解】将数阵倒置，计第行第个数为，则倒置后的数阵为：则有，且有.，，.依此类推，，因此，.故答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键在于找出一般规律并借助二项式定理进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于难题.24．（2021·上海·高二专题练习）对任意正整数，设函数的零点为，数列的前项和为，则使得能被整除的正整数的个数是________．【答案】0【分析】要求零点，应先把函数解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得，进而写出数列的前项和，用二项式定理和整除思想说明不能被整除即可。【详解】函数，令，解得。所以，数列的前项和为，因为，上式等号右边的最后一个数不能被整除，所以不存在这样的正整数。【点睛】本题考查对数运算性质及换底公式、函数的零点、二项式定理等知识，难度较大，考查学生综合运用知识解决问题的能力。三、解答题25．（2019·上海·复旦附中高二期末）已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【详解】(1)令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2)二项式的通项公式为：.因为是中的最大项,所以有：,因此或.【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.26．（2019·上海·曹杨二中高二期末）已知的展开式的二项式系数之和为．（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据二项式系数和为，求出的值，然后写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出展开式中的常数项；（2）设，利用作商法求出的最大值，以及对应的值，再将的值代入展开式通项可得出所求的项.【详解】（1）的展开式的二项式系数之和为，得.的展开式的通项为.令，解得，因此，的展开式中的常数项为；（2）设，则.当时，，则有；当时，，则有.所以，当时，最大，因此，展开式中的系数最大的项为.【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，同时也考查了二项式系数和以及系数最大项的求解，一般要利用项的系数的单调性来求解，考查计算能力，属于中等题.27．（2019·上海·曹杨二中高二期末）如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．（