历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ()A．45°. B．75°.C．55°. D．65°2．2的平方的平方根是 ()A．2. B．2.C．±2. D．43．当x=1时，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是()A．0 B．a0.C．a1 D．a0-a14.ΔABC,若AB=SKIPIF1<0,BC=1+SKIPIF1<0,CA=SKIPIF1<0,则下列式子成立的是()A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有()A．4个 B．5个.C．6个. D．76．SKIPIF1<0的立方根是[]（A）SKIPIF1<0.（B）SKIPIF1<0.（C）SKIPIF1<0.（D）SKIPIF1<0.7．把二次根式SKIPIF1<0化为最简二次根式是[](A)SKIPIF1<0.(B)SKIPIF1<0.(C)SKIPIF1<0.(D)SKIPIF1<08．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形()A．2组 B．3组.C．4组 D．5组。9.已知SKIPIF1<0等于一个固定的值，则这个值是() A．0. B．1.C．2. D．4.把f1990化简后，等于 ()A．SKIPIF1<0.B.1-x.C.SKIPIF1<0.D.x.二、填空题（每题1分，共10分）1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<03.SKIPIF1<0=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．SKIPIF1<05．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度．6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x2+px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个．9．x，y，z适合方程组SKIPIF1<0则1989x-y+25z=______．10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得：x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[]A．7.5 B．12.C．4. D．12或42.已知P=SKIPIF1<0，那么P的值是[]A．1987 B．1988.C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q.D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900,∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶SKIPIF1<0,则∠BDA=[]A．30° B．45°.C．60°. D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[]A．是不存在的.B．恰有一种.C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）△ABC中，∠CAB∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．若SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的值是_____.已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．ΔABC中,∠B=300,AB=SKIPIF1<0,BC=SKIPIF1<0,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．设a,b,c是非零整数,那么SKIPIF1<0的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即ab=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即ab=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[]A．2; B．3;C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[]A．1，6; B．2，3;C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC4.a=SKIPIF1<0,则a,b,c的大小关系是[]A．a＞b＞c B．a=b=cC．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则(b-a)SKIPIF1<0等于[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<06．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[]A．3个 B．4个;C．5个 D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中， []A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 []A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[]个实数根．A．4; B．2;C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[]A．26; B．28;C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 []A．179; B．181;C．183; D．18512.如果SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0等于[]A．2x+5 B．2x-5;C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 []A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<014．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 []A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[]到达N地．二人同时;B．甲先;C．乙先;D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:SKIPIF1<0=______________.3.方程SKIPIF1<0的解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______．6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么SKIPIF1<0=__.7．方程x2-y2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．(2)(3)(4)10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即(2x+1)(x4-10x2+1)=0．即x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即(k2-9)2-4(k+2)＞0．显然k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p①x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于 ()A．1 ;B．2;C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为()A.ts;Bs-ts;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.3.y>0时,SKIPIF1<0等于()A.-xSKIPIF1<0;B.xSKIPIF1<0;C.-xSKIPIF1<0;D.xSKIPIF1<0.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成()A．a＜b＜c.B．(a-b)2+(b-c)2=0.C．c＜a＜b.D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ()A．4倍. B．3倍.C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式()A.AD2=BD2+CD2.B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2.D．2AD2＞BD2+CD27.方程SKIPIF1<0的实根个数为()A．4 B．3.C．2 D．18.能使分式SKIPIF1<0的值为112SKIPIF1<0的x2、y2的值是()A.x2=1+SKIPIF1<0，y2=2+SKIPIF1<0;B.x2=2+SKIPIF1<0，y2=2-SKIPIF1<0;C.x2=7+4SKIPIF1<0，y2=7-4SKIPIF1<0;D.x2=1+2SKIPIF1<0，y2=2-SKIPIF1<0.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为 ()A．17 B．15.C．13 D．1110．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x2-21x+t=0的两个根,则SKIPIF1<0等于()A.2213;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么SKIPIF1<0=_________.5.方程组SKIPIF1<0有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出SKIPIF1<0升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出SKIPIF1<0升混合液,并加入等量的水,搅匀后,再倒出SKIPIF1<0升混合液,并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.SKIPIF1<0的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则SKIPIF1<0=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．SKIPIF1<0答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．已知a＞b＞0，则有 []A.a+b>1;B.ab>1;C.SKIPIF1<0;D.a-b>1.2．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于[]A.2;B.2SKIPIF1<0;C.3;D.3SKIPIF1<0.3.若SKIPIF1<0,那么a2-ab+b2的值为[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.4.SKIPIF1<0的值等于[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.5．△ABC中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，则∠APC= []A．90° B．105°.C．120° D．150°6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 []A.a-1,a+1;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.a2-1,a2+1.7.已知实数a满足丨1992-a丨+SKIPIF1<0=0,那么a-19922的值为[]A．1991. B．1992.C．1993. D．1994.8．正整数a被7除，得到余数4，则a3+5被7除，得到的余数是[]A．0. B．2.C．4. D．6.9.SKIPIF1<0的值为[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.1.10．方程x2+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 []A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空题:（每题1分，共10分）一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______．二次根式SKIPIF1<0化为最简根式应是___________.若(x-1)6=a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6，则a6=______．若a、b、c为△ABC的三边的长,则SKIPIF1<0=_______.5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于______．6.SKIPIF1<0的小数部分我们记作m,则m2+m+SKIPIF1<0=___________.7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个实根等于______．8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______．9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”，则所有“无瑕质数”之和等于______．10．若3x2+4y-10=0，则15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=______．答案与提示一、选择题提示：1．用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，则a+b=0.6＜1，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排除(B)；2．根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为1∶2∶3，容易得出三个内角为30°，60°，90°．30°角对边为最短边，由题设知，5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ-α)+θ+(θ+α)=3θ=180°，∴应选(C)．n-1=a2-1，n+1=a2+1，其算术平方根分别为7．由题意知a-1993≥0，因而a≥1993．于是|1992-a|=a-1992．从而a-1993=19922，故a-19922=1993．∴应选(C)．8．设a=7k+4(k为正整数)，则a3+5=(7k+4)3+5 =(7k)3+3×(7k)2×4+3×(7k)×42+43+5 =7(72k3+3×7k2×4+3k×42+9)+6因此，a3+5被7除余6，故应选(D)．x2+667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中，最大者为-3，以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)．注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为二、填空题提示：1．设所求角为α，则有180°-α=3(90°-α)，从而解得α=45°．3．令x=0，得(-1)6=-a6，∴a6=-1．4．由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，5．连结AD（如图41）．∵AD=AB，∴∠BDA=∠DBA=30°．因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=8．7．由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有实根1．又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，则有(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于1．8．如图42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．9．根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429．10．因为15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)(5x+y+1)+10=10．注：用因式分解的方法，凑出3x2+4y-10这个因子即可．希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分）1．73282-73252= []A．47249 B．45829.C．43959 D．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内接三角形的面积总比数()小或相等． []A.SKIPIF1<0;B.1;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 []A．1200000-254000.B．1020000-250400C．1200000-250400.D．1020000-2540004．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.5.适合方程SKIPIF1<0+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<06.四边形如图44,AB=SKIPIF1<0,BC=1,∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[]A.1;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 []A．1 B．2.C．3 D．48．一个等腰三角形如图45．顶角为A,作∠A的三等三分线AD，AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有 []A．x＞y＞z B．x=z＞y.C．x=z＜y D．x=y=z9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[]A．5 B．9.C．10 D．1110.正方形如图46,AB=1,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是以1为半径的圆弧,则无阴影的两部分的面积的差是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空题（每题1分，共10分）1.方程SKIPIF1<0的所有根的和的值是______________.2.已知a+b=SKIPIF1<0,a-b=SKIPIF1<0,那么ab=________.SKIPIF1<0SKIPIF1<03．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=______．4.已知x=SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0+1的值是______．5．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD的面积的值是______．6.已知x+y=4,xy=-4,那么SKIPIF1<0=________.7．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______．8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+┉+SKIPIF1<0=____.9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名．10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）若a，b，c，d＞0，证明：在方程SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0中,至少有两个方程有不相等的实数根.

2．(1)能否把1，2，…，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明．(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法．答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．因此x与y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 []A.a+b<-1;B.ab<1;C.SKIPIF1<0<1;D.SKIPIF1<0>1.2．已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根.③无限小数不一定是无理数.④SKIPIF1<0一定没有意义.其中正确的命题的个数是[]A．1 B．2C．3 D．43.已知8个数:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,0.236,SKIPIF1<0,3.1416,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中无理数的个数是[]A．3 B．4C．5 D．64.若A=SKIPIF1<0,则A的算术平方根是[]A．a2+3 B．(a2+3)2.C．(a2+9)2 D．a2+95．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 []A．1，2，3.B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c.D．1，m，n，其中1m＜n6．方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[]A．6 B．5.C．4 D．37．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 []A．50°,50°,80°.B．50°,50°,80°或130°,25°,25°C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果x+y=SKIPIF1<0,x-y=SKIPIF1<0,那么xy的值是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F．∠BDE=140°，那么∠DEF是 []A．55° B．60°.C．65° D．70°10.已知-SKIPIF1<0<x<1,将SKIPIF1<0化简得[]A．3-3x. B．3+3x.C．5+x D．5-x11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是[]A．5 B．6.C．7 D．8．12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 []A．1. B．0.C．1 D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[]A．1 B．2.C．3 D．4．14．若方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的两根之积等于1，则a的值是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.15．有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是[]A．①，② B．②，③.C．③，④ D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______．2.实数x满足x+SKIPIF1<0=0,则SKIPIF1<0的值为________.3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=______．4.如果实数x、y满足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,那么SKIPIF1<0=_________.5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有______个．6.SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+┉┉+SKIPIF1<0=__________.7.当0<x<2时,SKIPIF1<0=___________.8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______．9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______．10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝．11.如果x-y=SKIPIF1<0+1,y-z=SKIPIF1<0-1,那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=____________.12.若u、v满足v=SKIPIF1<0,则u2-uv+v2=__________.13．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______．14．设方程x2-y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=______．15.若,x+SKIPIF1<0=3,则SKIPIF1<0=__________.答案与提示一、选择题提示：∴应选(D)．2．命题①，③是正确的，②，④不正确．∴应选(B)．∴应选(D)．5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否定(C)，(D)．∴应选(B)．6．原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但应舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=±2．则x1-x2=4．∴应选(C)．7．由已知得等腰三角形的某个内角是50°．若它是底角，则三个内角是50°，50°，80°；若它是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．∴应选(D)．9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°．∴∠A=140°90°=50°，∵AB=AC，∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF．∴∠DEF=∠C=65°．∴应选(C)．11．如图72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7对．∴应选(C)．12．原方程整理为(2k-1)x2-8x+6=0．当Δ≥0时，方程有实数根，13．设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除．又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可否定①，④；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定②．∴应选(A)．14．∵△≥0，∴36(a+1)2-36(a2-3)≥0，∴a≥-2．又∵x1·x2=1，15．命题①是正确的．如图73在△ABC与△ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．显然钝角△ABC与锐角△ABC1是不全等的．命题②不正确．如图74，75，在锐角△ABC与锐角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，且AD=A1D1．可先证得△ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可证得△ABC≌△A1B1C1．命题③不正确．举一反例说明．如图76，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC与△ABC1显然是不全等的．命题④是正确的．可举一例说明．如图77，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的．∴应选(D)．二、填空题提示：1．由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位数字必定是5，它的十位数字可能是6或7。经验算，752=5625，652=4225．所以，这个数为65．3．经观察，这10个数都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述这10个差数的平均数为+0.3，A=199.3，所以10A=1993．4．可把条件变成(x2-6xy+9y2)+(x2-4x+4)=0，5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即共可组成5个三角形．由0＜x＜2知，x+2＞0，x2＜0，8．因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，经整理得-3＜0，故对任意数m，Δ＜0．9．由题设条件知道：b-(-1)=-1a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2．∴a+b+c+d=0．10．在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，则△ADG≌△ADC，于是AG=AC，DG=DC，从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．经整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=7．13．由条件知△ABC与△CDE都是等边三角形．在△BCE与△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，从而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r．14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993×1，可得∴|αβ|=997×996=993012．希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题选择题:（每题1分，共10分）1.若a<0,则化简SKIPIF1<0得[]A．1 B．1 C．2a1 D．12a2.若一个数的平方是5-2SKIPIF1<0,则这个数的立方是[]A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=SKIPIF1<0,CD=SKIPIF1<0,DA=2,SΔABD=1,SΔBCD=SKIPIF1<0,则∠ABC+∠CDA等于[]A．150° B．180°.C．200° D．210°．4．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 []A.7SKIPIF1<0;B.8SKIPIF1<0;C.9;D.10.5．如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 []A.1. B．0.C．1 .D．2．6.设x=SKIPIF1<0,y=SKIPIF1<0,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值为[]A．7. B．8. C．9. D.107．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是 []A．0.5厘米. B．1厘米.C．1.5厘米. D．2厘米8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 []A．2 .B．0. C．-2 .D．4．9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇，且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 []A．15. B．16.C．17.D．18.10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 []A．a＞3. B.a≥3.C．a＜3. D．a≤3.二、填空题（每题1分，共10分）1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______．2．设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则SKIPIF1<0=_______.3.方程SKIPIF1<0的解是____________.4．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______．5．设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________.6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]+┉+[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]=_________.7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且a＞b，那么两根之和超过3的方程是______．8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______．10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人．三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．SKIPIF1<02.如果a=SKIPIF1<0,求a2+SKIPIF1<0的值.答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥A