2024年江苏省南京市高考数学一模试卷VIP

第1页（共1页）2024年江苏省南京市高考数学一模试卷一、单选题1．（5分）集合P＝{x∈R|y＝ln（3﹣x）}，Q＝{y∈R|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（﹣∞，3） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣∞，8）2．（5分）若复数z的共轭复数满足（其中i为虚数单位），则的值为（）A． B．5 C．7 D．253．（5分）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1～6共六个数字，记事件A＝“骰子向上的点数是1和3”，事件B＝“骰子向上的点数是3和6”，事件C＝“骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B是相互独立事件 B．事件A与事件C是互斥事件 C． D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AD、CD上，AE＝3ED，DF＝FC，AF与BE相交于点G，记，，则（）A． B． C． D．5．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝6，BC＝3，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为（）A．3 B． C． D．66．（5分）已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则ω的取值范围是（）A．（4，7] B．[4，7） C．（7，10] D．[7，10）7．（5分）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为an+2＝an+1+an，n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”．已知满足上述递推关系式的数列{an}的通项公式为，其中A，B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1＝1，a2＝1代入解得A，B．利用以上信息计算（）（[x]表示不超过x的最大整数）A．10 B．11 C．12 D．138．（5分）已知（其中e为自然常数），则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、多选题（多选）9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项（多选）10．（5分）一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，标准差为s．另一组样本数据xn+1，xn+2，…，x2n，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据x1，x2，…，xn，xn+1，…，x2n，新数据的平均数为，标准差为s′，则（）A． B． C．s′＞s D．s′＝s（多选）11．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，则（）A．x2是函数y＝f（x）的一个极大值点 B．f（x1）＜f（x2） C．函数y＝f（x）在处切线的斜率小于零 D．（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体AB1CD1的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球O的半径为（）A． B． C． D．三、填空题13．（5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为（用数字作答）．14．（5分）已知sin（α），α∈（，π），则tan（α）＝．15．（5分）设与相交于A，B两点，则|AB|＝．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，D，E分别为棱A1C1，AB的中点，过点B1，D，E作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为V1，V2（V1＜V2），则V2＝；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为．四、解答题17．（10分）在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．18．（12分）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若ca，求cosB的值；（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．20．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．21．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PA|，△PAQ的面积为3．（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．22．（12分）已知函数和有相同的最大值．（1）求实数a；（2）设直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），证明：x1x4＝x2x3．

2024年江苏省南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）集合P＝{x∈R|y＝ln（3﹣x）}，Q＝{y∈R|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（﹣∞，3） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣∞，8）【解答】解：根据对数函数定义域可得P＝{x∈R|x＜3}，由指数函数的值域可得Q＝{y∈R|y＞0}，所以P∩Q＝（0，3）．故选：B．2．（5分）若复数z的共轭复数满足（其中i为虚数单位），则的值为（）A． B．5 C．7 D．25【解答】解：因为，所以，所以z＝3+4i，故．故选：D．3．（5分）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1～6共六个数字，记事件A＝“骰子向上的点数是1和3”，事件B＝“骰子向上的点数是3和6”，事件C＝“骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B是相互独立事件 B．事件A与事件C是互斥事件 C． D．【解答】解：根据题意，随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1～6共六个数字，共有6×6＝36种情况；事件A＝“骰子向上的点数是1和3”，包含（1，3）和（3，1）两种情况，事件B＝“骰子向上的点数是3和6”，包含（6，3）和（3，6）两种情况，事件C＝“骰子向上的点数含有3”，包含（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（5，3）、（6，3）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，5）、（3，6），共11种情况，依次分析选项：对于A，事件A、B不会同时发生，A、B是互斥事件，不会是相互独立事件，A错误；对于B，事件A、C可能同时发生，不是互斥事件，B错误；对于C，由古典概型公式，P（A），P（B），C正确；对于D，由古典概型公式，P（C），D错误．故选：C．4．（5分）在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AD、CD上，AE＝3ED，DF＝FC，AF与BE相交于点G，记，，则（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可知，，，设λ，μ，则设λλ（）λ，μμ（）μ，又因为，所以（1﹣μ）λ，，不共线，所以，解得，所以．故选：D．5．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝6，BC＝3，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为（）A．3 B． C． D．6【解答】解：由正弦定理得，△ABC外接圆直径为，得r＝3，设球心到平面ABC的距离为d，则，∴三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．故选：C．6．（5分）已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则ω的取值范围是（）A．（4，7] B．[4，7） C．（7，10] D．[7，10）【解答】解：由于函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，故，解得4＜ω≤7．故选：A．7．（5分）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为an+2＝an+1+an，n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”．已知满足上述递推关系式的数列{an}的通项公式为，其中A，B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1＝1，a2＝1代入解得A，B．利用以上信息计算（）（[x]表示不超过x的最大整数）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由题意可令A＝B＝1，所以将数列{an}逐个列举可得：a1＝1，a2＝1，a3＝a1+a2＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a5（）5（）5＝5，即（）5﹣（）5＝5，又因为，设t＝（）5＞1，可得t5，即t2﹣5t+1＝0，解得t，因为∈（11，12），所以t∈（11，11.5），所以[t]＝11，即[（）5]＝11．故选：B．8．（5分）已知（其中e为自然常数），则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：a，b＝2，c，设（x≠0），则，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得x＜1且x≠0，所以函数f（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，又，则，即a＜b，注意，而，所以，即a＞c，综上，b＞a＞c．故选：D．二、多选题（多选）9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项【解答】解：由展开式有7项，可知n＝6，所以所有项的二项式系数和为26＝64，故选项A正确；令x＝1，则展开式的所有系数和为（1）6，故B错误；二项式系数最大项为第四项，故选项C正确；展开式第r+1项为，所以当r＝0，2，4，6，时为有理项，故选项D正确；故选：ACD．（多选）10．（5分）一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，标准差为s．另一组样本数据xn+1，xn+2，…，x2n，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据x1，x2，…，xn，xn+1，…，x2n，新数据的平均数为，标准差为s′，则（）A． B． C．s′＞s D．s′＝s【解答】解：根据题意，一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，标准差为s，另一组样本数据xn+1，xn+2，…，x2n，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据后，其平均数，，同理两式相加得，，所以2ns′2＞2ns2，s′＞s．故选：BC．（多选）11．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，则（）A．x2是函数y＝f（x）的一个极大值点 B．f（x1）＜f（x2） C．函数y＝f（x）在处切线的斜率小于零 D．【解答】解：令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，则f（x）在（x1，x2）上单调递增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，故x2是函数y＝f（x）的一个极大值点，f（x1）＜f（x2），A、B正确；∵，则，故函数y＝f（x）在处切线的斜率大于零，C错误；又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误．故选：AB．（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体AB1CD1的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球O的半径为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可知：四面体AB1CD1为正四面体，设球O的半径为R；∵正方体棱长为1，∴正四面体的棱长为，设球心O到正四面体各个面的距离为d，∵正四面体体积，表面积，∴；①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为r，则，解得：，∴，解得：；②若正四面体的一个面截图如图所示，∵每个面截球所得的曲线长为，∴的长为，设小圆半径为r，O1为正四面体侧面的中心，E为MN中点，∴，又，∴，∴，令，∴，∵恒成立，∴f（r）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，∴，解得：；综上所述：球O的半径为或．故选：BC．三、填空题13．（5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为164（用数字作答）．【解答】解：根据题意，从12个关键词中选择3个不同的关键词，有220种选法，其中不包含“新四大发明”关键词的选法有56种，则至少包含一个“新四大发明”关键词的选法有220﹣56＝164种，故答案为：164．14．（5分）已知sin（α），α∈（，π），则tan（α）＝﹣7．【解答】解：已知sin（α），α∈（，π），则：cos（），所以：tan（）．故：7．故答案为：﹣7．15．（5分）设与相交于A，B两点，则|AB|＝．【解答】解：将和两式相减：得过A，B两点的直线方程：，则圆心O1（0，0）到的距离为，所以．故答案为：．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，D，E分别为棱A1C1，AB的中点，过点B1，D，E作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为V1，V2（V1＜V2），则V2＝；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为．【解答】解：取AC中点D1，取AD1中点F，连EF，DF，EF∥DB1，∴平面α为平面DB1EF，∵AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，D，E分别为棱A1C1，AB的中点，所以2×21，S△AEF，由棱台体积公式可得V1（1）×2，V2，由AB⊥BC，可得三棱柱外接球球心在DD1的中点，所以有三棱柱外接球半径，如图以B点为原点，CB为x轴，AB为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），B1（0，0，2），D（﹣1，﹣1，2），E（0，﹣1，0），设平面α的法向量（x，y，z），，可得，不妨设z＝1，则x＝2，y＝﹣2，（2，﹣2，1），∴球心M（﹣1，﹣1，1）到平面α距离d，∴r，S＝πr2．故答案为：；．四、解答题17．（10分）在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．【解答】解：（1）选①②，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，a4＝2a2+2，∴，解得a1＝2，d＝4，∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选①③，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，S8＝S4+S7﹣2，∴，解得a1＝2，d＝4，∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选②③，设等差数列{an}的公差为d，∵a4＝2a2+2，S8＝S4+S7﹣2，∴，解得a1＝2，d＝4，∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（2）由（1）得an＝4n﹣2，则，∴．18．（12分）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200，故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，，故ξ的分布列如下：ξ0123P故ξ的数学期望．19．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若ca，求cosB的值；（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．【解答】解：（1）∵acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA，∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB﹣2sinAcosC＝（2sinC﹣sinB）cosA，∴sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），∴sinC＝2sinB，即，∴，∴；（2）由（1）得c＝2b，b＝1，则c＝2，设∠BAD＝θ，如图所示：∴，∴，，∴．20．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴PD⊥AD，AD⊥BD，∵PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB，又∵PB⊥AB，AD，AB⊂平面ABD，AD∩AB＝A，∴PB⊥平面ABD；（2）解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，AD＝PB＝4，BD＝2，则B（0，2，0），P（0，2，4），A（4，0，0），D（0，0，0），∴，设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为，故，解得：z1＝0，令x1＝1，得：y1＝2，则，，解得：x2＝0，令z2＝1，则y2＝﹣2，故，设二面角B﹣PA﹣D平面角为θ，显然θ为锐角，∴，∴，即二面角B﹣PA﹣D的正弦值为．21．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PA|，△PAQ的面积为3．（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．【解答】解：（1）当PQ⊥x轴时，P，Q两点的横坐标均为﹣c，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得a＝1，，c＝2，∴双曲线C的方程为：；（2）证明：设PQ方程为x＝my﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程以PQ为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y＝0，可得x2﹣（x1+x2）x+x1x2+y1y2＝0，而，，∴⇒[（3m2﹣1）x+3m2﹣5]（x﹣1）＝0对∀m∈R恒成立，∴x＝1，∴以PQ为直径的圆经过定点（1，0）．22．（12分）已知函数和有相同的最大值．（1）求实数a；（2）设直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4（x