《线性代数》复习题

《线性代数D》复习题一、选择题1．设＝，则多项式的次数为()(A)4(B)3(C)7(D)102．设为常数，＝为n阶矩阵A的行列式，则=()(A)(B)||(C)(D)3．＝()(A)(B)(C)(D)4．若A，B为同阶方阵，且满足AB＝O，则有（）（A）A＝0或B＝0（B）|A|＝0或|B|＝0（C）(A＋B)＝A＋B（D）A与B均可逆5．若由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）（A）AO（B）A＝O（C）|A|0（D）|AB|06．若A，B为同阶方阵，则有（）（A）(AB)＝AB（B）|-AB|＝－|AB|(C）E－(AB)＝（E－AB）（E＋AB)（D）|A＋B|＝|A|＋|B|7．已知A为n阶方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A则（）（A）B为单位矩阵（B）B为零方阵（C）B＝A（D）结论不确定8．若A，B为同阶方阵，且AB＝BA，则（）（A）（BA）＝BA（B）BA＝AB（C）BA＝AB（D）BA=AB9．若A，B，(B+A)为同阶可逆方阵，则(B+A)＝（）（A）B+A（B）B＋A（C）(B+A)（D）B(B+A)A10．设向量组1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。(A)1+2，2+3，3+1(B)1，1+2，1+2+3(C)12，23，31(D)1+2，22+3，33+111．向量组1，2，…，s线性无关的充分条件是()(A)1，2，…，s均为非零向量。(B)1，2，…，s中任意两个向量的分量不成比例。(C)1，2，…，s中有一个部分组线性无关。(D)1，2，…，s中任意一个向量不能被其余向量线性表示。12．设A为n阶方阵，且R(A)=r<n，则A中()(A)必有r个行向量线性无关。(B)任意r个行向量线性无关。(C)任意r个行向量构成一个最大无关组。(D)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示。13．设A是4阶矩阵，且A的行列式A=0，则A中()(A)必有一列元素全为0。(B)必有两列元素对应成比例。(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合。(D)任一列向量是其余列向量的线性组合。14．设1，2，…，m均为n维向量，则下列结论正确的是()(A)若k11+k22+…+kmm=0，则1，2，…，m线性相关。(B)若对任一组不全为零的数k1，k2，…，km，都有k11+k22+…+kmm0，则1，2，…，m线性无关。(C)若1，2，…，m线性相关，则对任一组不全为零的数k1，k2，…，km，都有k11+k22+…+kmm=0。(D)01+02+…+0m=0，则1，2，…，m线性相关。15．设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A为mn矩阵，R(A)=r(rn)，则此方程组的基础解系中含有解向量的个数为()。(A)mr；(B)rn；(C)nr；(D)mn。16．设Ax=0是与非齐次方程Ax=b对应的齐次方程，则下列结论正确的是()。(A)若Ax=0仅有零解，则Ax=b一定有唯一的解。(B)若Ax=0有非零解，则Ax=b一定有无穷多个解。(C)若Ax=b有解，则Ax=0一定有非零解。(D)若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0也一定有无穷多个解。17．设1，2，3，4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中为Ax=0基础解系的是()。(A)1+2，2+3，3+4，4+1。(B)1，1+2，2+3，3+4。(C)1，2，1+2，1+3，1+4。(D)1+2，12，2+34，23+4。18．设A为mn矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关。19．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是()(A)r=n；(B)rn；(C)r<n；(D)r>n。20．要使1=(1,0,2)和2=(0,1,1)都是一个齐次线性方程组的解，则此齐次线性方程组的系数矩阵A=()(A)(2,1,1)；(B)；(C)；(D)。21．设A为n阶可逆方阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是。(A)λ-1|A|n；(B)λ-1|A|；(C)λ|A|；(D)λ|A|n。22．设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P-1AP＝。(A)；(B)；(C)；(D)。23．n阶方阵A与某对角矩阵相似，则。(A)R(A)=n；(B)A有n个不同的特征值；(C)A是实对称阵；(D)A有n个线性无关的特征向量。24．已知矩阵有一个特征向量，则=。(A)－18；(B)－16；(C)－14；(D)－12。25．下列二阶方阵中与对角矩阵相似的是。(A)；(B)；(C)；(D)。26．设A为幂等矩阵(即A2＝A)，则A的特征值是。(A)只能是0；(B)只能是1；(C)只能是0与1；(D)以上说法都不对。27.零为方阵A的特征值是A不可逆的。(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)非充分、非必要条件。28．设λ1与λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则。(A)对任意k1≠0，k2≠0，k1ξ+k2η是A的特征向量；(B)存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量；(C)当k1≠0，k2≠0时，k1ξ+k2η不可能是A的特征向量；(D)存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，使k1ξ+k2η是A的特征向量。29．设λ是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(A－λE)x=0的基础解系为η1与η2，则A的属于λ的全部特征向量是。(A)η1和η2(B)η1或η2(C)k1η1＋k2η2(k1,k2为任意常数)(D)k1η1＋k2η2(k1,k2为不全为零的任意常数)30．设λ1，λ2为A的两个不同的特征值，α和β为A的分别属于λ1与λ2的特征向量，则有α与β是。(A)线性相关(B)线性无关(C)对应分量成比例(D)可能有零向量。31．矩阵A与B相似，则。(A)|A－λE|=|B－λE|(B)A－λE=B－λE(C)A与B与同一对角阵相似(D)存在正交阵P，使得P－1AP＝B32．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是。(A)R(A)=n；(B)A的负惯性指数为零；(C)|A|>0；(D)A的特征值全大于零。33．设A是一个三阶实矩阵，若对任一3维列向量x，都有xAx＝0，则。(A)|A|＝0；(B)|A|>0；(C)|A|<0；(D)都不对。34．设A、B均为n阶方阵，x＝(x1，x2，…，xn)，且xAx＝xBx，当时，A＝B。(A)R(A)＝R(B)；(B)A与B等价；(C)A与B相似；(D)A＝A且B＝B。35．以下命题正确的是。(A)如果n阶方阵A的顺序主子式都大于零，则A是正定矩阵；(B)如果n阶方阵A的特征值都大于零，则A是正定矩阵；(C)如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素都大于零，则A是正定矩阵；(D)如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素不都大于零，则A一定不是正定矩阵。36．设A、B为n阶正定矩阵，则是正定矩阵。(A)k1A＋k2B；(B)A*+B*；(C)A－1－B－1；(D)AB。37．下列各式是二次型的。(A)x12－2x22＋x32－4x1x2＋2x1x3＋6x2x3－2；(B)2x12－2x22－2x32＋x1x2－x2x3＋x1＋x2－x3；(C)x1x2－x1x3＋x2x3－x2x4；(D)x12－2x1x2＋x22－x32＝0；38．以下二次型中是正定二次型的为。(A)x12－x22＋x32＋2x1x2＋4x1x3＋6x2x3；(B)2x1x2－4x1x3＋2x2x3；(C)x12＋x22＋x32－4x1x2；(D)x12＋x22＋x32＋x1x2＋x2x3；39．任一个n阶矩阵都存在对角矩阵与它。(A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不是。40．n阶实对称矩阵A正定的充要条件是。(A)对于任意的分量全不为0的列向量x，有xAx>0；(B)A不是负定的；(C)A的k阶子式都大于0(k＝1，2，…，n)；(D)存在可逆矩阵U，使A＝UU。二、填空题1．＝.2．在５阶行列式中，包含前两行的二阶子式共有个.3．如果＝１，则＝.4．若，则＝.5．行列式＝.6．已知＝，则的系数为.7．设＝，则＝.8．设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且│A│＝＝，则＝.9．设A为四阶可逆方阵，且│A│＝2，则│3(A)－2A│＝.10．设A为阶方阵，A为A的伴随矩阵，，则＝.11．设3阶方阵Ｂ0，A=,且AB=0，则＝.12．设A＝，A为A的伴随矩阵，则(A)=.13．设A＝，则│A│＝，A＝。14．设A＝，则A＝，│4A│＝，(A)＝15．设A＝，则│A│＝，A＝16．=时，线性方程组有非零解．17．若B=，C=，且A＝BC，则A＝。18．设A＝，且A＝E，则A＝。19.已知矩阵A=，则R(A)=。20．若=(0,k,k2)能由向量组1=(1+k,1,1)，2=(1,1+k,1)，3=(1,1,1+k)唯一线性表示，则k。21．若向量组1，2，3与向量组l1+2，2+3，m3+1都线性无关，则常数l、m必满足关系式。22．若向量组1，2，…，r(r>2)线性无关，填写下列向量组的线性相关性：(1)1，0，2，…，r；。(2)1，1，2，…，r；。(3)2，…，r；。(4)1+2，2，…，r；。(5)31，42，…，(r+2)r；。(6)1，2，…，r1，1+22+…+(r1)r1；。23.两个n维向量1，2线性相关的充要条件是。24.A是5阶方阵，且R(A)=3，R(A*)=，其中A*是A的伴随矩阵。25．如果x1，x2都是Ax=b的解，则x1x2一定是方程的解。26．如果1，2，3与1，2，3是方程Ax=0的两个基础解系，则向量组1，2，3与向量组1，2，3一定。27．如果方程组有解，则a=。28．如果线性方程组x1+x2=a1x3+x4=a2x1+x3=b1x2+x4=b2有解，则a1，a2，b1，b2应满足。29．设四元非齐线性方程组Ax=b中，R(A)=3，且1，2，3为它的三个解向量，已知1=(2,0,5,1)，2+3=(1,9,8,6)，则Ax=b的通解可以写成。30．若A为幂零矩阵(Ak＝0，k为正整数)，则A的特征值。三、计算与解答题1.＝;2.＝();3．＝; 4．＝;5．＝ ;6．＝;7．求方程的解;8．当取何值时，方程组有非零解;9．已知A＝，求A;10．求A＝的逆矩阵;11．已知n阶方阵A满足A=4E，证明A－E，A－2E均可逆，并求它们的逆矩阵。12．设A＝，，求。13．设A＝，求(A)14．已知A，B为n阶方阵，且B为可逆矩阵，满足A＋AB＋B＝0证明A和A＋B均可逆，并求其逆。15．已知A，B为n阶方阵，且A＋B＝AB，如果B＝求方阵A。16．设A为矩阵，B为矩阵，且，试证|AB|＝017．已知A＝，B＝，C＝，求解下列矩阵方程：(ⅰ)AX=X+C， (ⅱ)AXB=C;18．设1=(1+,1,1)，2=(1，1+,1)，3=(1，1，1+)，=(1,,2)，问取何值时，可由1，2，3线性表示，且表示式唯一。19．求向量组1=(3,1,1)，2=(1,1,1)，3=(2,0,2)，4=(5,3,1)的秩和一个最大无关组。20．用初等行变换求A=的逆。21．求向量组1=(1,2,3,1)，2=(3,2,1,1)，3=(2,3,1,1)，4=(2,2,2,1)，5=(5,5,2,0)的秩和一个最大无关组。22．求齐次线性方程组的一个基础解系：2x14x2+5x3+3x4=03x16x2+4x3+2x4=04x18x2+17x3+11x4=023．求解非齐次线性方程组：x1+x2+2x3+x4=3x1+2x2+x3x4=22x1+x2+5x3+4x4=7。24．已知线性方程组x1+x2+x3=3x1+x2+x3=2x1+x2+x3=2讨论取何值时，方程组有唯一解、无穷多解、无解。在有无穷多解时，求出其通解。25．设A=，求一秩为2的3阶方阵B，使AB=O。26．已知向量组=(1,2,3,4)，=(2,3,4,5)，=(3,4,5