高考二轮复习理科数学课件高考小题突破11导数的简单应用

高考小题突破11导数的简单应用考点一导数的几何意义及应用例1(1)(2023河北邯郸二模)已知直线y=x是曲线f(x)=lnx+a的切线,则a=(

)A.-1 B.1C.-2 D.2BDA解题技巧1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及解题方法

2.求曲线的切线方程时,务必分清点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点,求解时应先求出切点坐标.对点训练1(1)(2023陕西安康一模)已知函数f(x)=sin2x-xf'(0),则该函数的图象在x=处的切线方程为(

)A.3x+y-π=0 B.3x-y-π=0C.x+3y-π=0 D.3x+y+π=0A(2)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为

,

.

(3)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)考点二导数与函数的单调性考向1比较大小或解不等式AA.c>b>a

B.b>a>c

C.a>b>c D.a>c>bB(3)(2023北京顺义一模)已知函数f(x)=log2(x+1)-x,则不等式f(x)>0的解集是(

)A.(1,+∞)

B.(0,+∞)C.(0,1)

D.(-1,0)∪(1,+∞)C当x>-1,x→-1时,log2(x+1)趋近于负无穷大,故f(x)=log2(x+1)-x→-∞,且f(0)=0,f(1)=log22-1=0,故可作出函数f(x)=log2(x+1)-x的图象如图.由此可知不等式f(x)>0的解集是(0,1).故选C.规律方法函数单调性的应用(1)比较函数值的大小:有些函数的单调性不容易判断,可以通过求导的方法求出函数的单调性,再由函数的单调性比较函数值的大小,比较大小应注意将自变量的取值放在同一单调区间;(2)解函数不等式:解函数不等式就是利用函数在某个区间内的单调性得出两个变量的大小,然后解不等式,解题时要注意函数的定义域.对点训练2(1)(2023北京东城二模)设a=e0.01,b=1.01,c=ln1.01,其中e为自然对数的底数,则(

)A.a>b>c

B.b>a>c

C.b>c>a D.a>c>bAA.b<a<c

B.a<b<c

C.c<b<a D.b<c<aB(3)(2023山东威海一模)若函数f(x)=lnx与g(x)=ax-1(a>0)的图象有且仅有一个交点,则关于x的不等式f(x-3)<a-3x-4的解集为(

)A.(-∞,4) B.(4,+∞)C.(3,4) D.(3,5)C当0<x<1时,p'(x)>0,p(x)单调递增,当x>1时,p'(x)<0,p(x)单调递减,且p(x)>0,所以p(x)max=p(1)=1,p(e-2)<0,函数p(x)的图象大致如右图,∴a=1.不等式f(x-3)<a-3x-4,即为ln(x-3)<1-3x-4,即ln(x-3)+3x-4-1<0,令k(x)=ln(x-3)+3x-4-1,显然k(x)在(3,+∞)上单调递增,又k(4)=0,∴k(x)<0的解集是3<x<4.故选C.考向2求参数的范围或讨论函数的零点例3(1)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

.

DA由g(x)=|f(x)|-1=0,得f(x)=±1,由图可知f(x)=1对应的根有1个,f(x)=-1对应的根有2个,∴函数g(x)=|f(x)|-1零点的个数为3.故选A.解题技巧1.已知函数的单调性求参数范围求函数的导数可以判断函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性,则也可以通过其导数大于等于0或小于等于0求参数的范围.2.解决不等式恒成立时求参数范围问题的基本方法(1)求最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法:将参数分离出来,进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式,即得参数的范围.3.判断函数零点个数或求参数范围(1)对于不含参数的函数,通过讨论函数的单调性或值域,作出函数的图象,就能判断出函数零点的情况;(2)若f(x)=0中的参数a易分离,转化成a=h(x)的形式,函数零点问题就转化为与x轴平行的直线y=a和函数y=h(x)的图象的交点问题,分析y=h(x)的单调性或值域,即可判断函数的零点,由此也可求得参数范围;(3)若f(x)=0中的参数不易分离,可将f(x)转化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,那么g(x),h(x)两图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点,因此,作出g(x),h(x)的图象,根据交点情况求零点个数或参数范围.对点训练3(1)(2023四川宜宾三模)已知函数f(x)=x2+alnx在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(

)A.a≥-2 B.a<-2

C.a≥0 D.a<0A解析

(1)由题意,得

,因为函数f(x)=x2+aln

x在区间(1,+∞)上单调递增,所以2x2+a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在区间(1,+∞)上恒成立,因为函数y=-2x2在区间(1,+∞)上单调递减,当x=1时,y=-2x2=-2,则该函数在区间(1,+∞)上的值域为(-∞,-2),所以实数a的取值范围是[-2,+∞).故选A.A.(0,1)∪(2,4) B.(0,1)∪(1,3)C.[0,1]∪(2,4) D.[0,3]CA考点三函数的极值、最值考向1求函数的极值或最值例4(1)(2023四川宜宾三模)已知曲线C:y=lnx,直线l:y=2x,垂直于y轴的直线分别与C,l交于M,N两点,则|MN|的最小值是(

)D3e3-12规律方法利用导数求极值的方法解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.对点训练4De2考向2由函数的极值、最值确定参数的范围例5(1)(2023陕西宝鸡二模)函数f(x)=x2+(a-1)x-3lnx在(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为(

)A(2)(2022全国乙,理16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是