第4节开普勒行星运动定律和万有引力定律

第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第4节开普勒行星运动定律和万有引力定律目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、开普勒行星运动定律1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是

椭圆

⁠，太阳处在椭圆的一个焦点上。2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。椭圆

3.第三定律：所有行星的轨道的半长轴的

三次方

⁠跟它的公转周期的

二次方

⁠的比值都相等。三次方

二次方

二、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的

乘积

⁠成正比，与它们之间距离r的

二次方

⁠成反比。

3.适用条件（1）公式适用于

质点

⁠间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球

球心

⁠间的距离。乘积

二次方

质点

球心

4.万有引力的“三个特性”（1）普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力。（2）相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。（3）宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。⁠

一颗卫星围绕地球运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点。（1）根据开普勒第一定律，卫星围绕地球运动的轨迹是椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上。

（

√

）（2）根据开普勒第二定律，卫星在B点的运动速度比在A点小。

（

×

）（3）卫星由A向B运动的过程中，所受万有引力逐渐增大。

（

√

）（4）卫星在A点沿卫星运动方向发射的激光速度大于c。

（

×

）（5）卫星运动过程中其质量比静止于地球表面时大。

（

√

）√×√×√Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

开普勒定律的理解与应用

[素养自修型]1.[对开普勒行星运动定律的理解]对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是（

）A.开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置C.根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小D.根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比解析：C

第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。2.[开普勒第二定律的应用]如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运行轨道，A、B、C、D是轨道上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（

）A.卫星在C点的速度最大B.卫星在C点的加速度最大

3.[开普勒第三定律的应用]太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是（

）A.10年B.2年C.4年D.8年

⁠1.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

3.运用开普勒行星运动定律分析求解椭圆轨道运动问题时，判断行星运动速度的变化，可结合功能关系进行分析。行星（或运动天体）处在离太阳（或所环绕的天体）越远的位置，速度越小；处在离太阳（或所环绕的天体）越近的位置，速度越大。

【典例1】

1789年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（

）D.由题中数据可求月球的密度

答案

B⁠（1）由题中数据可以求出地球的平均密度吗？

（2）由题中数据可以求出太阳的平均密度吗？

答案

见解析

⁠1.[重力加速度法计算天体密度]

C.4D.6

2.[天体环绕法计算天体的质量]1970年4月24日，我国的第一颗人造地球卫星发射成功，自2016年起，将每年的4月24日设为“中国航天日”。现测得一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，速度为v，引力常量为G，由此可推知地球的质量为（

）

考点三

天体表面的重力加速度问题

[多维探究类]1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

考法一

距天体表面高为h处的重力加速度问题【典例2】

太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，与普通电梯类似，不同的是，它的作用并不是让乘客往返于楼层之间，而是将人和物体送入空间站。假设太空电梯竖直向上匀速运动，它从地面上带了重25N的植物种子，当太空电梯上升到某高度时发现种子的重力“变成”了16N。已知地球的半径为R，不考虑地球的自转，则此时太空电梯距地面的高度约为（

）A.R

答案

B考法二

天体内部某深度处的重力加速度问题【典例3】

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（

）

答案

A考法三

地球赤道与两极的重力加速度问题【典例4】

假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（

）

答案

B考点四

相对论

[素养自修类]1.[相对论时空观的理解]下列说法不正确的是（

）A.牛顿力学时空观认为空间和时间是独立于物体及其运动而存在的B.相对论时空观认为物体的长度和质量会随着物体的速度不同而不同C.牛顿力学只适用于宏观物体、低速运动问题，不适用于高速运动问题D.当物体的运动速度远小于光速时，相对论和牛顿力学的结论仍有很大的区别解析：D

牛顿力学时空观认为时间和空间是独立于物体及其运动而存在的，而相对论时空观认为时间和空间与物体及其运动有关系，故A正确；相对论时空观认为物体的长度和质量会随着物体的速度不同而不同，故B正确；牛顿力学只适用于宏观物体、低速运动问题，不适用于高速运动（相对于光速）问题，故C正确；当物体的运动速度远小于光速时，相对论和牛顿力学的结论相差不大，所以牛顿力学是适用的，故D错误。2.[时间延缓效应]接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（

）A.飞船上的人观测到飞船上的钟一样快B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢C.地球上的人观测到地球上的钟较快D.地球上的人观测到地球上的钟较慢解析：C

相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A、B错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，C正确，D错误。3.[长度收缩效应]一艘太空飞船静止时的长度为30m，它以0.6c（c为光速）的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（

）A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30mB.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30mC.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于cD.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c

⁠一、两种时空观1.经典时空观空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。2.相对论时空观物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。二、狭义相对论的三个有用的结论1.运动的时钟变慢了。2.运动的尺子长度缩短了。3.运动的物体质量增大了。以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。Part03聚焦“素养”·引思维⁠“融会贯通”归纳好─“填补法”求解万有引力

运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。【典例】

如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以O2为球心挖去一个半径为R的球，并在O2处放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为（

）

答案

A｜反思领悟｜（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再视为质点处理。⁠

Part04锁定“目标”·提素能⁠1.（2022·全国乙卷）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们

（

）A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小解析：C

航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。2.（2023·江苏省昆山中学模拟预测）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（

）火星－Mars火星的小档案直径d＝6794km质量M＝6.4219×1023kg表面重力加速度g0＝3.7m/s2近地卫星周期T＝3.4h

3.2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（

）A.6×105mB.6×106mC.6×107mD.6×108m

4.2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”（

）A.在近火点的加速度比远火点的小B.在近火点的运行速度比远火点的小C.在近火点的机械能比远火点的小D.在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动

5.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（

）A.4×104MB.4×106MC.4×108MD.4×1010M

6.木星自转周期约10个小时，质量约为地球质量的318倍，木星的半径约为地球半径的11.2倍。下列说法正确的是（

）A.木星上的“一天”比地球长B.木星上的“一年”比地球长C.木星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度D.地球、木星分别与太阳中心连线在相等时间内扫过的面积相等

7.2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（

）A.核心舱的质量和绕地半径B.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

⁠8.某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是（

）

9.已知均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零。若将地球看作质量分布均匀的球体（半径为R），且不计地球的自转。关于地球表面处的重力加速度g1，地球表面下方深0.5R处的重力加速度g2，地球表面上方高0.5R处的重力加速度为g3，下列说法正确的是（

）A.g1＜g