2024高中数学-集合中的新概念问题2论文-新人教A版必修1

2024高中数学-集合中的新概念问题2论文-新人教A版必修1集合中的创新型问题集合是整个高中数学最基础的知识点之一，集合中的创新型问题也成了高考热点；以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情景，给出一个新的概念、运算、法则，要求学生在理解新概念、新运算、新法则的基础上去解决问题，此类题的关键是理解新定义、新运算、新法则等。新定义类：例1设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A,如果且那么k是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}由S中的3个元素构成的所有集合中不含“孤立元”的集合共有几个，并一一列举出来，分析：理解新定义“孤立元”就是一个元素没有相邻元素，而无“孤立元”是指每一个元素都有相邻元素。解：依题意得，“孤立元”K必须是没有与K相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与K相邻的元素，故符合题意的集合为：｛1,2,3｝，｛2,3,4｝｛3，4,5｝，｛4,5,6｝，｛5,6,7｝，｛6,7,8｝共6个。评注：此题关键是理解新定义“孤立元”,从中找到做题突破口。练习：1.若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中则称此集合对该运算是封闭的，集合M由正整数的平方组成，即M=｛1,4,9,16,25……｝，那么M对下列运算封闭的是()(A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法2.若对任意a∈M,都有-a∈M，就称集合M(M≠)是一个“对称集合”，已知集合U=R，A=｛x︱x＜-1｝,B=｛x︱x≤1｝,则下列集合是“对称集合”的是（）(A)AB(B)AB(C)(D)MM-PMM-PP例2，设M,P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P=｛x︱x∈M且xP｝则M-(M-P)=____(A)P(B)M(C)MP(D)MP分析：这是集合创新题，“M-P”是同学们在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的属性来解题。解：剖析理解新运算差集M-P=｛x︱x∈M且xP｝，即元素属于被减集合而不属于减集合，结合维恩图可知M-(M-P)所指应为两集合的公共部分，即MP，所以选C评注：此题易错选A，因为M-(M-P)可去括号化简得P，错误原因就是对差集运算定义理解不足。练习：1.(2010年广东（文）)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下abcdaabcdbbbbbccbcbddbbdabcdaaaaababcdcaccadadad那么d(ac)=()(A).a(B).b(C).c(D).d2.定义集合A与B的运算：A⊙B={x|x∈A，或x∈B，且x}，已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为()（A）{1，2，3，4，5，6，7}（B）{1，2，3，4}（C）{1，2}（D）{3，4，5，6，7}新法则类：例3.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是()（A）27（B）26（C）9（D）8分析：要理解拆分法则，并注意当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合的同一种分拆的细节问题。解：考虑元素a1有3种情形：①a1∈A1，a1A2，②a1A1，a1∈A2，③a1∈A1，a1∈A2同理，元素a2，a3也都有3种情况，故共有3×3×3=27种不同分拆种数。评注:本题考查了阅读和理解能力,关键是对新法则分拆的理解，并注意其细节规定问题。练习：1.设数集M=｛X︱m≤X≤m｝，N=｛X︱n-≤X≤n｝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()（A）（B）（C）（D）2.设I={1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B={1，3}，则称(A，B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”)()（A）4（B）8（C）9(D)16“直线与平面”错解点击在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错．下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力．例1证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．错解如图,对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O，∴点P在平面上的射影在BC上．点击这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉．正解AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足．则BC是AC在平面上的射影．在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O．∴AB⊥，∴PO∥AB，∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC，∴O∈BC．例2已知、是两个不重合的平面，①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面；②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面；③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面；以上正确命题的个数为()．(A)O个(B)1个(C)2个(D)3个错解三个命题都正确，选(D)．点击产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况．(1)(2)(3)(4)而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”．正解因为三个命题都不正确，所以选(A)．例3如图E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，与F1G2是异面直线．错证1(直接法)①连BD，由题设=，=，∴E1H1与BD不平行，设其交点为P，则P∈BD．∵==,则F1G2∥BD，∴PF1G2．②又E1P平面BCD，且E1∈E1P，∴E1平面BCD．故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线．错证2(反证法)设E1H1与F1G2不是异面直线，则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2．①设E1H1∩F1G2=P，∵E1H平面ABD，F1G平面CBD，则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上，则F1G2∩BD=P，这与F1G2∥BD(∵△CBD中，==)矛盾，∴E1H1与F1G2不相交．②设E1H1∥F1G2，∵F1G2∥BD，由公理4知E1H1∥BD，这与E1H1BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾，∴E1H1与F1G2不平行．综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线．点击采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上，且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上，只证E1H1与F1G2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的．在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能．因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性．例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角．错解连结A1C交BD1于E，则∠D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角．设正方体的边长为a.则A1E=D1E=a．又A1D1=a，在△A1ED1中，由余弦定理得cos∠A1ED1====∴∠A1ED1=arccos,即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos.点击以上证法的错误在于，∠A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影．正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.正解∵A1B1⊥平面A1ADD1,又A1B1平面A1B1CD∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD.连结AD1交A1D于O,则D1O⊥A1D,∴D1O⊥平面A1B1CD.连A1C交BD1于E，连OE，则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影,∴∠D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角.设正方体的边长为a,则D1O=a,OE=AB=a,在RtD1OE中,tan∠D1EO==,∴∠D1E0=aretan，即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan.例5已知，AB是半径为R的⊙O的直径，0C⊥AB，P、Q是圆上两点，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.错解在平面AOC内，过点P作PD⊥OC于D，∵平面AOC⊥平面BOC，则PD⊥平面BOC，连结DQ，∴DQ平面BOC，∠PDQ是直二面角A—O—CB的平面角，∴∠PDQ=900．∵∠AOP=300，∴∠POD=600．在Rt△POD中，PD=Rsin600=R,在Rt△DOQ中，DQ=Rsin450=R,∴在Rt△PDQ中，PQ===,即P、Q两点间的距离是．点击此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误．判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③这两条射线都必须垂直于棱．误解中忽视了条件③中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲．正解同错解，得PD=R.又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得DQ2=0D2+0Q2一20D·OQcos450==R2在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ===.故P、Q两点之间的距离为.变化率与导数学习解读导数概念的学习因其抽象性历来成为学生理解的一个难点，但由于它是推导导数运算法则与导数公式的最基本依据，是进一步学习导数知识的基础，因而成为本部分内容学习的重点。下面就导数的学习加以阐述。导数的概念：一般地，函数y=f(x)在处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在处的导数，记作或，即。一、概念要点解读1.概念的本身给出了求函数y=f(x)在处的导数的步骤，即由导数定义求导数时，须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量； (2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。以上步骤可简单归结为：一差、二比、三取极限。2.对导数的定义，我们还应注意以下三点：(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．其值可正可负，但不为零。(2)注意定义式中△x的三统一，即分子、分母及极限符号下的三处应一致例1.若的值为（）A-3B-6C-9D-12解析：故答案选D。点评：本题是关于应用导数的定义来解决的一个题目，旨在考查对定义的理解，特别要注意的是在运用定义解答的过程中△x的三统一