2023-2024学年山东省青岛市高一年级上册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省青岛市高一上学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知全集0=1«,集合/={My=/+3,xeR},B={x\-2<x<4},则图中阴影部分表

示的集合为()

A.[-2,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.[-2,3)

【正确答案】B

【分析】首先求得集合A,结合图象求得正确结论.

【详解】y=V+3*3,所以/=口,+8),

图象表示集合为(“S)c8,

3=(.3),何加8=(-2,3).

故选：B

2.若a,b,ceR,则下列不等式成立的是().

A.若。>6,则/B.^a>b,则ac>/?c

C.若a>b,贝D.若则/>//

ba

【正确答案】D

利用特殊值、排除法进行判断即可.

【详解】对于A：当〃=0/=-1时，显然〃>6,但/<〃，因此本选项不符合题意；

对于B：当。=0时，显然ac=6c,因此本选项不符合题意；

对于C：当a=0,6=-l时，显然,没有意义，因此本选项不符合题意；

a

故选：D

3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命

名的“高斯函数''为：设xeR,用［可表示不超过x的最大整数，则卜=卜］称为高斯函数，也

称取整函数，如：卜2』=-3,［3』=3,已知/(万)=言之，则函数y=［〃x)］的值域为

()

A.{0,-3}B.{0,-1}C.{0,-1-2}D.{1,0,-1,-2)

【正确答案】C

【分析】结合指数函数性质求得"X)的值域，然后再根据新定义求y=［/(x)］的值域.

x17

【详解】一)一3、-「7,显然37+1>1,

八"1+3川3向+133(3*1)3(3+1)3

所以/⑴的值域是(-2$),

当时，［/(x)］=-2,

-14x<0时，［/«］=-1,当04/(》)<；时"(刈］=0,

所以所求值域是{-2,-1,0}.

故选：C.

4.若a=3°3,Z)=log30.3,。=唾；3,贝九。，儿c的大小关系为()

A.b<c<aB.c<a<bC.a<h<cD.h<a<c

【正确答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】c=bg|3=-l,°>0,

33

/.h<c<a.

故选：A

5.函数/(幻=田吗国的图象大致为()

【分析】由解析式判断/(X)奇偶性及的符号，即可确定图象.

【详解】由/(-x)=-xk)g2|-x|=-xlog2|x|=-f(x)且定义域为{X|XHO},

所以/(x)为奇函数，排除C、D；

X/(1)=|log2|||=-1</(l)=0,排除B.

故选：A.

6.^a=log23-log34••…log20182019,则。的范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(10,11)D.(11,12)

【正确答案】C

【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.

【详解】a=log23-log34••…log201!i2019=MM.•…x甯*与詈噫2019,

lg2lg3lg2018lg2

10

V2'°=1024,2"=2048.log22<log22019<log22",.*.06(10,11),

故选：C.

7.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式.。:力船员1+左)它表示：在受高斯白噪

声扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽力、信道内所传信号的平均功率S、信道

内部的高斯噪声功率N的大小，其中?叫做信噪比按照香农公式，在不改变少的情况下，

N

将信噪比?从1999提升至原来的10倍，则。大约变为原来的几倍()(参考数据：

N

lg2»0.3,lgl9991»4.3)

A.2.5B.1.3C.10D.5

【正确答案】B

【分析】根据题意先表示出三=1999,鼻=19990所对应的CC，然后求解今的值即可

NNA

【详解】解：由题意得GmWlog2（l+1999）=%log22000,

C2=Wlog2(I+19990)=Wlog219991,

rri>lC,JFlog,19991Ig1999143..

rC、Wlog,2000lg2+30.3+3

故选：B

log,x(x>0)

8.设函数/(x)=J,、/c、，若则实数。的取值范围是

-log,(-x)(x<0)

2

A.B.(0,1)C.(-8,0)7(0,g]D.0

【正确答案】B

【详解】画出函数〃x)的图象，如图：

函数在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，若a<a-l<0或0<a<a-l都不符合题意

当a-l<0<a时，T°g|0-a）<bg|“可得」一>a恒成立，可得0<a<l,故0<a<l

22\-a

故选B

二、多选题

9.下列命题中是假命题的是（）.

33

A.VxeR,x>0B.3x0eR,x0=3

33

C.Vxeg,X>1D.士（>eN,x0=3

【正确答案】ACD

举反例即可判断选项A、C,解方程与3=3即可判断选项B、D.

【详解】取工=-<，x3=-1<0,所以选项A,C不正确；

28

由x03=3得与=百是无理数，所以选项B正确，选项D不正确,

故选：ACD

10.下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是()

A./(x)=JB-〃x)=-2x

x[x2,x<0、1

C./(x)=2、nD-〃x)=x+-

1—x，%>0x

【正确答案】BC

利用基本初等函数的基本性质可判断AB选项中函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性

的定义可判断CD选项中函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可判断C选项中函数的单

调性，利用特殊值法可判断D选项中的函数不单调.

【详解】对于A选项，函数/(x)=L为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的

X

函数不合乎要求；

对于B选项，函数/(力=-2》为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数

合乎要求；

对于C选项，当x<0时，-x>0,则/(-x)=-(-x)2=--=-/(x),

当x>0时，-x<0,则/(-x)=(-x)2=x?=-/(x),

ft<0

又“0)=0,所以，函数/(x)=；-c为奇函数，

[-X,x>0

当x40时，函数〃x)=V单调递减；当》>0时，函数_/'(耳=-/单调递减.

由于函数/(x)在R上连续，所以，函数/(x)在R上为减函数，C选项中的函数合乎要求；

对于D选项，函数/(x)=x+1的定义域为{x|xw0},/(r)=-x+」=-，+m=-/(x),

函数/(x)=x++为奇函数，

•.•/(2)=|=/^J(所以函数/(x)=x+：不是减函数，D选项中的函数不合乎要求.

故选：BC.

11.下列结论正确的是().

A.若x<0,则y=x+1的最大值为-2

X

B.若a>0,b>0,则融

C.若a>0,b>0,且。+46=1,则工+工的最大值为9

ab

D.若xe[0,2],则y='的最大值为2

【正确答案】ABD

利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，由x<0可得y=x+g=_(一*=2,当且仅当

即x=-l时，等号成立；即y=x+1的最大值为一2；A正确；

XX

B选项，由a>0,b>0,可得(qJ_o=♦+,-2岫=J00,即学J,

故B正确；

C选项，若。>0,b>0,且。+46=1,

11(1/\.4)a4a

则mil一+—=-H—(ci+A4lb)=1HH—+425+2/——二cG,

ah[ah)x7ab\ab

1

ci——

当且仅当竺=:,即:时，等号成立；即，+工的最小值为9,故C错；

abb=Lab

-6

D选项，因为X€[0,2],所以y=J+(「)=2,当且仅当》=〃？了，即x=&

时，等号成立，故D正确.

故选：ABD.

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12.若4*-4><5-，-尸，则下列关系正确的是()

A.x<yB.C.4x<4yD.(；)<3-*

【正确答案】AD

【分析】先由4'-4,<''-5■，变形为4，一5T<4「-5->,构造函数/(力=4、-5—,利用其单

调性，得到x,y的大小关系，再逐项判断.

【详解】由4'-4W-5f得4'-5r<4,-5一，，令/")=4'一5一、，则/(x)</(y),

因为尸=4”=-5-、在R上都是增函数，所以/(x)在R上是增，所以*<九故A正确；

当x=-2，尸-1时,尸3<婷,故B错误;

当x>0,y>0时，，当x<0,y<0时，五<4不成立，故C错误；

因为y=在R上递减，且-x>-y,所以［］<(；)',即［］<3-"故正确;

故选：AD

三、填空题

13.一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原

材料恢复正常供应，又下降20%,则该商品的最终售价是原来的倍.

【正确答案】0.96

根据价格变化，求出该商品的最终售价，进而可求出答案.

【详解】由题意，该商品的最终售价为25x(l+20%)x(l-20%)元，

25x(l+20%)x(l-20%)

则nl——-------口-------二12x0.8=0.96.

25

所以该商品的最终售价是原来的0.96倍.

故答案为.0.96

Jx—3

14.函数〃冷=产厂的定义域为

|x+l|-5------------

【正确答案】［3,4)U(4,+8)

利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

x-3>0

【详解】要使函数有意义，则卜+1|-5*。,解得短3且I.

故［3,4）U（4,+oo）

本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.

15.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税

法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、

税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额x税率一速算扣除数，应纳

税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额一基本减除费用一专项扣除一专项

附加扣除一依法确定的其他扣除.其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数

见下表：

级数全年应纳税所得额所在区间税率（％）速算扣除数

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,-Ko)45

李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保

险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附

加扣除是52800元,依法确定其他扣除是4560元,则他全年应缴纳的综合所得个税是

元.

【正确答案】5712

先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额.

【详解】解：专项扣除总额为：249600x（8%+2%+1%+9%）=49920元，

应纳税所得额为：249600-60000-52800-4560-49920=82320元，

个税税额为：82320xl0%-2520=5712元，

故5712.

16.函数y=i°g』2x2-x-i）的单调递减区间为

2

【正确答案】（1,”）

【分析】先由求得函数的定义域，然后令f=2/_x-l,由复合函数的单调

性求解.

【详解】由2/7_1>0,解得x<-g或x>l,

所以函数y=l°g|（2--x-l）的定义域为｛x|x<-g或x>l｝,

22

因为f=2/-x-1在上递减，在。,e）上单调递增

好题]在（0,+巧递减，

所以函数y=i°g|（2/-xT）的单调递减区间为（1,田）.

2

故（1,+8）

四、解答题

17.在①xeR,x2+2ax+2-a=Q,②存在区间工=（2,4）,B=（a,3a）,使得/c8=0这

两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题.

2

问题：求实数“满足的条件，使得命题P：Vxe[l,2],x-a>0,命题q：，都是真

命题.

【正确答案】选择条件①：｛小4-2或a=l｝；选择条件②：1a0<a<||

【分析】对命题P：Vxe[l,2],转化为不等式在xe[l,2]上恒成立，求解/的最小值即

可得

选择条件①：根据判别式大于等于0求解命题q为真时。的取值范围结合。41求解即可；

选择条件②：根据区间端点满足的不等式求解命题4为真时。的取值范围结合a41求解即

可；

【详解】选择条件①.

由命题p为真，可得不等式/2a在xe[l,2]上恒成立.

因为xe[l,2],所以14/44,所以

若命题g为真，则方程/+2ax+2-a=0有解，

所以△=（2a『-4（2-a）20,解得“21或a4-2.

又p,夕都是真命题，所以。4-2或。=1,

所以实数a的取值范围是{a[a<-2或。=1}.

选择条件②，

由命题p为真，可得不等式——aW0在xe[1,2]上恒成立.

困为xe[l,2],所以14/44,所以a41.

因为区间8=（4,3“），则。<34,故“>0,

2

由4c8=0,得或3aW2,即0<aW—或aN4.

3

[a<l

2

又p，夕都是真命题，所以八得

一或心43

3

所以实数°的取值范围是k0<04|]

18.计算下列各式:

⑴七_(如+2)。_,9_4百+期

(2)(lg2>+1g2-1g50+1g25+(log32+log92)-(log43+log83)

【正确答案】（1）19

【分析】（1）、利用指数慕的运算性质求解即可;

（2）、利用对数的运算性质求解.

【详解】(1)

，——(石+2)。_1-4正+让=/L£?L-r]-7^~+22-2X2#+81

V5-2(V5-2)(A/5+2)

=75+2-1-(75-2)+16=19.

(2)(1g2尸+1g2♦1g50+1g25+(log32+log92)-(log43+log83)

=(lg2)2+Ig2(lg5+1)+21g5dlog2.loglog3-4log3

35

=(lg2)2+Ig21g5+lg2+21g5+-log,2x-log3

262

=lg2(lg2+lg5)+lg2+21g5+1

=21g2+21g5+-

4

19.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的

营运总收入为30万元，使用x年(xeN,)所需的各种费用总计为2x2+6K万元.

(1)该车营运第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)；

(2)该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出.

问：哪一种方案较为合算？并说明理由.

【正确答案】(1)第3年开始赢利；(2)方案②合算.理由见解析.

(1)设该车x年开始盈利，可构造不等关系，结合xeN,可求得解集，由此得到结果；

(2)由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总

额和所需时长，得到方案②合算.

【详解】(1)••・客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(xeN.)所需的各种费用总计为

2—+6x万元,若该车x年开始赢利，则30X>2X2+6X+50,

2

BPX-12X+25<0,,•,xeN+,.-.3<x<9,

,该车营运第3年开始赢利.

(2)方案①匾利总额必=30X-(2X2+6X+50)=-2X2+24x-50=-2(x-6)2+22,

:.x=6时，赢利总额达到最大值为22万元.

.­-6年后卖出客车，可获利润总额为22+10=32万元.

方案②年平均赢利总额%=~2?+24X~50+24=24-2(科耳44(当且仅当

xx\X)

x=5时取等号).

.•“=5时年平均赢利总额达到最大值4万元.

；.5年后卖出客车，可获利润总额为4x5+12=32万元.

•.,两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，，方案②合算.

关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造

出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.

XX

20.己知函数/(x)=log?『log?了

(1)求函数/(幻的值域；

(2)若对任意的xe[2,4],不等式/(2x)-aJog2X+420恒成立，求实数a的取值范围.

【正确答案】(1)

(2)a<3.

【分析】(1)换元转化为求二次函数值域；(2)换元，分离参变量，根据不等式求解恒成立

问题.

【详解】(1)因为解[定义域为(0,+«>),

则f(X)=(log2X-1)(logzX-2)=(log?x)2-31og,x+2,

3ii

^log,x=/(/eR),plljy=t2-3t+2=(t--)2,

所以/(x)值域为

(2)@^j/(2x)-a-log2x+4>0,

所以log2X-(log2X-l)-alog2X+4N0,

设log2》=f,则

4

原问题化为对任意fe[1,2],/2—/+4—q/20,即a4fH-----1,

因为f+；一122/心一1=3(当且仅当£=2即》=4时，取等号),

4

即f+—-I的最小值为3,所以。43.

t

21.已知函数/(幻="+1伍＞0,的图像恒过定点A,且点A又在函数

g(x)=bgO(x+a)的图像上.

⑴若求x的值；

(2)若关于x的不等式/(g(x))＞丘+1在xe［3,4］上恒成立，求实数力的取值范围.

【正确答案】(l)x=l

(2)(/

【分析】(1)由题意得出。后解方程；

(2)题意为不等式恒成立，转化为最值，讨论二次函数对称轴和区间的位置关系求解.

【详解】(1)/(x)=a，+l(a＞0),

当x=0时，/(x)=2,

则函数了=/。)图像恒过定点“(0,2),

又2)在函数y=g(x)图像上，

则2=log〃，得a=2

由/(x)_〃_x)=5,则2、_2-=》

13

令2』＞0,则—=彳，

t2

即2『-3/-2=0,(2Z+1)(Z-2)=O,

,//＞0,:.t=2,

即2*=2，得x=l：

(2)/［g(x)］=2题9("2)+［=2脸MV+1=(*+2)2+1,

则(x+2)2+1＞丘+1在区间［3,4］上恒成立，

即3+(4-4拄+4＞0在区间［3,4］上恒成立,

令/!（X）=X2+（4-A）X+4,则/）（X）mM>0,

函数y="X）的对称轴为x=y-2,

@1-2<3,即后410,y="x）在区间［3,4］上单调递增，

幽心„=〃（3）=25-3左>0，