山东省烟台市蓬莱区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年山东省烟台市蓬莱区九年级（上）期中数学试卷

（五四学制）

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分，每题只有一个正确答案。）

1.（3分）在RtZ\A8C中，ZC=90°,cosA=工，那么sinB的值等于（）

A.AB.亚C.近D.1

222

2.（3分）已知△ABC三边AC,BC,AB的长度分别5,13,现将每条边的长度都扩大为原

来的3倍（）

A.不变B.缩小为原来的工

3

C.扩大为原来的3倍D.不能确定

3.（3分）反比例函数产（2/77-1）xm2-2的图象在第二，四象限（）

A.-1B.1C.-1或1D.-毒或F

4.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-7-幺与坐标轴只有一个交点，则忆的值可能

为（）

A.-3B.-2C.-1D.0

5.（3分）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38'25",按键顺序正确的

是（）

C.I八人_JI__JI_)

6.（3分）将抛物线y=7-2什3通过某种方式平移后得到抛物线y=（%-4）2+4,则下列

平移方式正确的是（）

A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

7.（3分）如图，己知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（）

A-coseWB.tan^*tanC=1

C.sinB=sinCD.^ang=A

8.（3分）若点（xi,yi）（★,y2）（将，”）都是反比例函数y二一'一1图象上的点,并且

X

Xl<0<^2<%3，则下列各式中正确的是（）

A.yi<0<y2<y3B.y\<0<y3<y2

C.y2Vy3VoVyiD.”VyiV0Vy3

9.（3分）二次函数-云+c（”W0）的图象如图所示，则下列说法：①。>0；③a-

b+c=O；④当-l<x<3时；⑤3a+c=0.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（3分）在同一直角坐标系中，反比例函数y=K与二次函数-履-上的大致图象可

三、解答题（本题共8个小题，共计72分。17题5分，18题6分，19题6分，20题9分,

17.（5分）计算：V2sin45°+tan260°-（----L^）0+2sin60°.

2cos600

18.（6分）已知a>p均为锐角，且满足|sinQ-11+J（tan8-1）?，求

AA12-4cosd+cos6-（V2）I的值，

19.（6分）如图，在RtaABC中，N8AC=90°工，E为4c上一点，且4E：EC=2：1,

20.（9分）如图，直线）'=2r+2与），轴交于A点，与反比例函数y工■过"作

x

轴于点儿且tan/4HO=2.

（1）求反比例函数表达式；

⑵点N（m1）是反比例函数y=&（x〉0）图象上的点，使得PM+PN最小?若存在，

x

求出点P的坐标，请说明理由；

（3）将直线y=2x+2向下平移1个单位后与反比例函数y上（x>0）的图象交于一点Q

X

（相，n）,求工一2的值.

mn

y

21.（11分）小明同学在用描点法画二次函数>=/+公+。图象时，由于粗心，他算错了一

个y值（每个小格表示1个单位长度）:

X•••-10123…

y=ax1+bx+c…53236…

（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；

（2）请在网格中画出此二次函数的图象；

（3）结合图象回答：

①当-2<xW2时，y的取值范围是

②当时，x的取值范围是.

「nn

III

J

22.（8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米.已

知桥洞的拱桥是抛物线

（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；

（2）由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度：

（3）已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示.为保证这艘货船可

以安全通过拱桥（结果精确到01）

23.（8分）某校为了迎接祖国华诞74周年，丰富学生社会实践活动，决定组织九年级学生

到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图，A位于学校的南偏西75°方向，

C位于学校北偏东30°方向&切?处.如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组

学生同时从学校出发，速度是40h“〃7：第二组学生乘坐公交车前往C地,速度是30kmih.请

问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由.（参考数据：72^1.414,73^1.732,

五比2.449）

A

24.（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）,

用28机长的篱笆围成一个矩形花园ABC。（篱笆只围AB,BC两边），花园的面积为3川.

（1）求S与x之间的函数表达式；

（2）若在尸处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是\6m和6m,要将这棵树围在花园内

（含边界，不考虑树的粗细）

25.（12分）如图，二次函数yi=/+znr+l的图象与y轴相交于点A,与反比例函数”=二三（*

x

<0）的图象相交于点B（ml）.

（1）求出a的值及二次函数的表达式；

（2）当yi随x的减少而增大且时，直接写出x的取值范围；

（3）在抛物线上是否存在一点E,使△ABE的面积等于」互，若存在请求出E点坐标;

8

（4）在x轴上确定一点P使△APB为直角三角形，请直接写出尸点的坐标.

2023-2024学年山东省烟台市蓬莱市九年级（上）期中数学试卷

（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分，每题只有一个正确答案。）

1.（3分）在RtZVIBC中，ZC=90°,cosA=X那么sinB的值等于（）

A..1B.亚C.近D.1

222

【分析】先根据cos4=工求出/A的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，由

2

特殊角的三角函数值即可得出sinfi的值.

【解答】解：YRtZXABC中，ZC=90°-1,

2

AZA=60°,

AZB=90°-ZA=90°-60°=30°,

...sin8=sin30°=1.

2

故选：A.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，熟记各特殊角的三角

函数值是解答此题的关键.

2.（3分）已知△ABC三边AC,BC,AB的长度分别5,13,现将每条边的长度都扩大为原

来的3倍（）

A.不变B.缩小为原来的工

3

C.扩大为原来的3倍D.不能确定

【分析】首先利用勾股定理的逆定理证明aABC为直角三角形，则COSA=3£=且将每

AB13

条边的长度都扩大为原来的5倍，则挺由此可得出答案.

AB13

【解答】解:,将△ABC三边AC,BC,12,

/.ACa+BC2=82+122=169,AB3=132=169,

：.AC1+B（^=AB2,

.♦.△45C为直角三角形，即/C=90°,

/.cos/A=-^-=-5-,

AB13

现将每条边的长度都扩大为原来的7倍，则蛆=_L

AB13

cosA的值不变.

故选：A.

【点评】此题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义，理解三角形的边

长都扩大为原来的5倍时，比值不变是解决问题的关键.

3.(3分)反比例函数y=(2/n-1)XIRZ-2的图象在第二，四象限()

A.-IB.IC.-1或1D.-M或如

【分析】由反比例函数图象位于第二、四象限，得到反比例系数-1小于0,且x的

指数等于-1,列出关于胆的方程，求出方程的解，即可得到加的值.

【解答】解：•••反比例函数y=(2/n-1)的图象在第二，

..2m-6<0,且苏-6=-1,

解得：机<」，且m=±1,

4

则m=-1.

故选：A.

【点评】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数y=K(%#()),当&>0时，图象位

x

于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、

四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大.

4.(3分)在平面直角坐标系中，抛物线y=-/-k与坐标轴只有一个交点，则k的值可能

为()

A.-3B.-2C.-1D.0

【分析】由AW0求解.

【解答】解：..•抛物线y=-x2-k与坐标轴只有一个交点，

/.A=02-4X(-1)X(-k)W8,

解得k^O,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

5.(3分)若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38'25",按键顺序正确的

是()

A0QQDQQD000

B.0QQHQQQQ0Q

C.

D.

【分析】根据计算器的使用方法进行解题即可.

【解答】解：根据计算器的使用方法可知，

依次输入sin,72,38,25,=•

故选：D

【点评】本题考查计算器，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键.

6.（3分）将抛物线y=/-2x+3通过某种方式平移后得到抛物线y=（%-4）2+4,则下列

平移方式正确的是（）

A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.

【解答】解：,.，=7-2x+7=（x-1）2+7的顶点坐标为（1,2）2+4的顶点坐标为（4,

4）,

...将抛物线），=/-2x+5向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到抛物线y

=（x-5）2+4,

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法

则是解答此题的关键.

7.（3分）如图，已知AABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（)

A.coseWB.lanB*tanC=1

C.sinB=sinCD.^ang=A

【分析】先设小正方形的边长为1,利用勾股定理分别求出AC=M，AB=2®,BC=

VlO.进而可得为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出cosC,tanB,

tanC,sinB,sinC,进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案.

【解答】解：设小正方形的边长为1,

由勾股定理得：我，AB=*7病&，

'：AC2=2,他4=8,BC2=10,

:.AC6+AB2^BC2,

.'.△ABC为直角三角形,即NA=90°,

:.cosC=^==立~,

BCV105

故选项A正确；

VtanB=-^-==j-,tanC=~^="J,

AB2722ACV2

tanB,tanC=Ax2=1,

6

故选项B正确；

「sin”心—返，心岖=隹=也

BCV105BCV105

.•.sinBWsinC,

故选项C不正确；

*/tanB=—9

7

・,・选项。正确.

故选：c.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问

题的关键.

8.（3分）若点（XI,）1）（X2,72）（用，>3）都是反比例函数y二图象上的点，并且

X

XI<0<^2<«,则下列各式中正确的是（）

A.yi<O<y2<y3B.yi<0<y3<）2

C.3V0<yiD.y2<yi<0<y3

【分析】首先确定反比例函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可.

【解答】解：•••-F-1<6,

二反比例函数图象位于二、四象限，），随x的增大而增大，

V%1<0<%6<%3,

，点（xi,”）在第二象限，点（X2,y2）、（%4>”）在第四象限，

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题

关键，属于基础题.

9.（3分）二次函数），-法+c（ar0）的图象如图所示，则下列说法：①a>0；③

b+c=0；④当-l<x<3时；⑤3a+c=0.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据函数图象开口向下，可知a〈0,从而可以判断①；根据对称轴为直线x=l,

可以判断②；根据图象中，当x=l时，y=a-b+c>0可以判断③；根据图象可以判断④;

根据当x=-I时，y="+b+c和b=2a可以判断⑤.

【解答】解：由图象可得，

。<0,故①错误；

-二旦=7,2a-b=0,不符合题意；

2a

当x=3时，y—a-&+c>0,不符合题意;

当-l<x<4时，y>0,符合题意；

当x=-1时，y—a+b+c—2,故⑤正确；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键

是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

_k

10.（3分）在同一直角坐标系中，反比例函数y与二次函数y=7-kx-k的大致图象可

【分析】根据k的取值范围分当k>0时和当*<0时两种情况进行讨论，根据反比例函

数的图象与性质以及二次函数的图象与性质进行判断即可.

【解答】解：当时，反比例函数y=K、三象限2-fcv-k的图象开口向上，其对称

X

轴X=1，且与y轴交于负半轴、。不符合题意；

当ZV0时，反比例函数y*、四象限2-依-%的图象开口向上，其对称轴*工，且与

x7

y轴交于正半轴，选项B符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质以及二次函数的图象与性质，解题关

键是根据k的取值范围分当Jt>0时和当k<0时两种情况进行讨论.

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分。共计18分）

11.(3分)在函数中,自变量x的取值范围是X2-1FlxWO.

x

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可

以求出X的范围.

【解答】解：根据题意得：x+l，0且xW2,

解得：x2-1且x#0.

故答案为：X2-3且x#0.

【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

12.(3分)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，v随x的增大而增大aW2.

【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解.

【解答】解：二次函数y=3(x-a)2的对称轴为直线x=“，

：当x>a时，)，的值随x值的增大而增大，

.♦.aW4.

故答案为：aW2.

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出

不等式是解题的关键.

13.(3分)如图，为确定某隧道A3的长度，在建设中测量人员在离地面2700米高度C处

的飞机上，3c的坡比为1：M，则隧道A3的长为1800JQ米(结果保留根号).

【分析】证明NACB=N8=30°,则A8=C4,即可求解.

【解答】解：如下图，连接AC,

CM

由题意得：NMC4=60°=ZCAH,

:BC的坡比为1：V3＞则NB=30°,

则/ACB=/B=30°,

则AB=CA=.=27?=1800百，

sinz_CAHV7

T"

故答案为：1800加米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

14.(3分)若函数)，=/+(m+2)x+^n+1的图象与x轴只有一个交点0或2或-2.

【分析】当机=0时，函数为一次函数与X轴有一个交点，当相70时，△=()时，抛物

线与x轴只有一个交点.

【解答】解：当帆=0时，函数为y=2x+4.

当机70时，△=06-4m(―=0.

3

解得：加=±7.

...当根=0,或，"=±2时4+(m+2)x+Ln+1的图象与x轴只有一个交点.

6

故答案为：0或3或-2.

【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，

分类讨论是解题的关键.

15.(3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形480c的顶点。在坐标原点，N8OC=60°,

顶点C的坐标为(〃33我)K的图象与菱形对角线AO交于点。，连接8D,%的值是

X

【分析】延长AC交y轴于E,如图，根据菱形的性质得AC〃。&则4E_Ly轴，再由N

BOC=60°得到NCOE=30°,则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE=

叵OE=3,OC=2CE=6,接着根据菱形的性质得OB=OC=6,NBOA=30°,于是在

3

中可计算出8。=渔08=2代，所以力点坐标为（-6,2瓶），然后利用反

3

比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值.

【解答】解：延长4c交y轴于E,如图，

•••菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边8。在x轴的负半轴上，

：.AC//OB,

；.AE_Ly轴，

：NBOC=60°,

AZCOE=30°,

而顶点C的坐标为（〃33如）,

：.OE=3如,

."£：=返-。6=3,

4

：.OC=2CE=6,

•.•四边形ABOC为菱形，

：.OB=OC=6,ZBOA=30°,

在RtZ\B£>0中，

；8。=亚08=2代，

6

二£>点坐标为（-7,2亚,

•反比例函数y=K的图象经过点D,

X

：.k=-5x25/3=-1274.

故答案为-12«.

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相

等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,

它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.也考查了含30度的直角三角形三边的关

系.

16.(3分)小兰画了一个函数y=/+or+%的图象如图，则关于x的方程x2-ox+h=0的解

是xi=-4,x2=l.

【分析】先利用交点式写出抛物线解析式得到。=-3,%=-4,则关于x的方程/-ax+b

=0化为/+3x-4=0,然后利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：•••函数y=f+ar+b的图象与x轴交于点(7,2),0),

二函数解析式为y=(x+1)(x-5),

即y—x1-3x-2,

•h~~~4,

二.关于x的方程x6-ax+b=0化为/+5x-4=0,

解得X7=-4,X2=4,

故答案为：无1=-4,X2=\.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数)=苏+灰+c(m4c是常数,

aKO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

三、解答题（本题共8个小题，共计72分。17题5分，18题6分，19题6分，20题9分,

17.（5分）计算：V2sin45°+tan260°-（-----1----）°+2sin60°.

2cos60°

【分析】利用特殊锐角的三角函数值，零指数幕计算即可.

【解答】解：原式=&xY2+（V3）2-8+2XYW

23

=1+3-8+百

=3+娓.

【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.（6分）己知a、p均为锐角，且满足|sinCCV1+7（tanP-1）2，求

4cosa+cos8-（V2）1的值，

【分析】根据绝对值及其算术平方根的非负性，结合特殊锐角的三角函数值求得a,p

的度数，然后代入原式计算即可.

【解答】解：由题意可得sina-工=3,

2

贝ljsina=工，tanp=4,

2

那么a=30°,0=45°,

原式=2«-8X亚_+近-近

225

=2我-5«+亚-返_

32

=3.

【点评】本题考查实数的运算，绝对值及其算术平方根的非负性，结合已知条件求得a,

P的度数是解题的关键.

19.（6分）如图，在RtZ\A8C中，ZBAC=90QA,E为AC上一点，且AE：EC=2：I,

3

求tanZCFE.

B

E

【分析】过点C作交AF的延长线于“，先由sinN演C=E2=工，设EF=k,

AF3

AE=3k,则4尸=2V^k，证Er〃CH得AF：FH=AE：EC=2：1,NCFE=NHCF,

由此得FH=&A,则AH=3&k,再证△AEF和△AC”相似得AF：AH=EF：CH,由

此得CH=1.5k,然后在RtACFH中得tan/”CF=EH=返'=2巨，最后再根据/

CH1.5k3

CFE=NHCF即可得出答案.

【解答】解：过点C作CH_LA/交4尸的延长线于H,如图：

3

在Rt^AEF中，sin/1KAe=g2=2

AF3

设EF=鼠AE=3k,

由勾股定理得：AF=VAE4-EF2=2>/8k)

"JEFLAF,CHIEF,

J.EF//CH,

：.AF：FH=AE：EC=2：1,NCFE=NHCF,

：,5&kFH=2：5,

：.FH=\]2k,

:.AH=AF+FH=3近k,

,JEF//CH,

^AEF^AACH,

：.AF：AH=EF：CH,

；.2&k：772，

:・CH=\3k,

在RtZ\CF”中，tanN，CF=FK=YlX_=22巨，

CH1.7k8

AtanZCFE=tan/HCF=2M.

2

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比

例定理，熟练掌握正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定

理是解决问题的关键.

20.(9分)如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数(x>0)，过M作

轴于点，，且tan/AaO=2.

(1)求反比例函数表达式；

(2)点N(a,1)是反比例函数y=&(x〉0)图象上的点，使得PM+PN最小?若存在，

X

求出点尸的坐标，请说明理由；

(3)将直线y=2x+2向下平移I个单位后与反比例函数y=&(x>0)的图象交于一点Q

X

Cm,n),求"的值.

【分析】(1)根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH

的长度，得点〃的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标，进而可求女的值：

(2)根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点M关于y轴的对称点Mi,连接NMi

与y轴的交点就是满足条件的P点位置.

(3)直线y=2x+2向下平移1个单位后解析式y=2x+l,与反比例函数联立方程组得到

相、”的值代入计算即可.

【解答】解：(1)由y=2r+2可知A(2,2).

；tanNAHO=2,

OH=5.

轴,

，点M的横坐标为1.

•••点M在直线y=2x+7上，

.,.点M的纵坐标为4,即M（l.

,点时在、=区上，

X

"=7X4=4.

反比例函数表达式为尸区；

x

（2）存在.

过点M作M关于y轴的对称点Mi,连接NMi,交y轴于尸（如图所示）.此时PM+PN

最小.

•:点、N（小5）在反比例函数y=£

X

・・.〃=4,即点N的坐标为（6.

・・・M与Mi关于y轴的对称，M点坐标为（1,

・・・M4的坐标为（-1,4）.

设直线NM?的解析式为y=kx+b.

由卜k+b=4,解得

I4k+b=2

・,・直线MN\的解析式为y=-卷叶卷，

令x=0,得），=_1Z_.

5

，产点坐标为（0,.II）.

5

（3）直线y=4x+2向下平移1个单位后解析式为：y=6x+l,联立方程组得：

y=2x+7

45

【点评】此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等.

21.（11分）小明同学在用描点法画二次函数ynM+foc+c图象时，由于粗心，他算错了一

个y值（每个小格表示1个单位长度）：

x-10123…

y=a）?+bx+c53236

（1）请指出这个错误的），值，并说明理由；

（2）请在网格中画出此二次函数的图象；

（3）结合图象回答：

①当-2<xW2时，y的取值范围是2Wy〈ll

②当y23时，x的取值范围是xWO或x22

【分析】（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案.

（2）描点、连线化成图象即可；

（3）根据图象即可求得.

【解答】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得

（0,3）,6）,3）在函数图象上，

把(0,8),2),3)代入函数解析式,

c=6

得：(a+b+c=2，

4a+3b+c=3

'a=l

解得：,b=-4>

c=3

函数解析式为-7x+3,

x--1时y—4,

故y错误的数值为5.

(2)函数图象如图:

-8-

⑶x=-2时，>■=(-7)2-2X(-5)+3=11,

观察图象，①当-2<xW3时：

②当时，x的取值范围是xWO或x23.

故答案为：2Wy<ll；xWO或无25.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以

及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

22.(8分)一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米.已

知桥洞的拱桥是抛物线

(1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；

(2)由于暴雨导致水位上涨了I米，求此时水面的宽度；

(3)已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示.为保证这艘货船可

以安全通过拱桥(结果精确到0.1)

【分析】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O,AB所在线为x轴，过点。作AB

的垂线为），轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为（0,4）,可设抛物线的

函数表达式为y=o?+4,再将B点的坐标（8,0）代入即可求解；

（2）根据题（1）的结果，令y=l求出x的两个值，从而可得水面上升1，〃后的水面宽

度；

（3）将x代入，得出y的值，进而减去货船的高度，即可求解.

【解答】解：（1）以A8的中点为平面直角坐标系的原点。，AB所在线为x轴，建立的

平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为（8,抛物线的顶点坐标为（0,

因此设抛物线的函数表达式为y=aQ+4,

将B（8,6）代入得：82Xa+5=0,

解得：。=-上，

16

则所求的抛物线的函数表达式为：了:-冬一+生

16

（2）由题意，令）=5得）=-得f+3=l,

解得：x=±W^,

则水面上升1根后的水面宽度为：8a（米），

（3）由题意,当x=L6时且义（1.6）5+1=3.84,

16

•••一艘货船的高为8.16米，

.•.水面在正常水位的基础上最多能上升3.84-2.16=8.6821.7（米）.

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达

式是解题关键.

23.（8分）某校为了迎接祖国华诞74周年，丰富学生社会实践活动，决定组织九年级学生

到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图，A位于学校的南偏西75°方向，

C位于学校北偏东30°方向处.如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组

学生同时从学校出发，速度是40W/Z：第二组学生乘坐公交车前往C地,速度是30km/h.请

问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由.（参考数据：72^1.414,北Q1.732,

五右2.449）

【分析】过点B作于。，在RtZ^BCD中证得20=8,设8O=x,则C£）=x,

在中，ZBAC=30°,利用三角函数定义表示出AC的长，在中，利

用三角函数表示出CD的长，由AD+CD=AC列出方程问题得解.

【解答】解：第二组学生先到达目的地.

如图，过点B作8。，AC于。.

依题意得，/8AE=45°,NCAE=15°,

AZMC=30°,

：.ZACB=45°.

在RtZ\BCD中，ZB£>C=90°,

：.ZCBD=45°,

:.NCBD=NDCB,

：.BD=CD.

设BD=x,则CD=x,

在中，ZBAC=30°,

：.AB=2BD=2x,tan30»染

•&_X

••-------~>

3AD

，AD=V3X，

在RtZXBDC中，ZBDC=90°,

•'•gin/DCR=^->

sin乙火DBC2

BC=V2x，

VCD+AD=30+30V6>

x+V3x=30+30V3)

•,.x=30,

.•.A2=8x=60,BC=V2x=30V2>

第一组用时：604-40=6.5(h)；第二组用时：30V2^-30=V6(h).

VA/2<1.4,

第二组学生先到达目的地.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助

线面构造直角三角形解决问题.

24.（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），

用28机长的篱笆围成一个矩形花园ABC。（篱笆只围AB,BC两边），花园的面积为S，R

（1）求S与x之间的函数表达式；

（2）若在P处有一棵树与墙CD,A。的距离分别是16根和要将这棵树围在花园内

（含边界，不考虑树的粗细）

【分析】(1)根据题意可以列出面积与x的关系式，然后由花园的面积为180m2,可以

求得相应的x的值；

(2)由题意可知ABN6,CB216,从而可以得到x的取值范围，然后进行讨论，即可求

得花园面积S的最大值.

【解答】解：(1)由题意，得

S=x(28-x)；

(2)由题意，

(x)6,

l28-x>16，

解得，6WxW⑵

•花园面积S=x(28-x)=-(-7