张家口市重点中学2024届九年级数学第一学期期末预测试题含解析

张家口市重点中学2024届九年级数学第一学期期末预测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.一元二次方程*2一^+2=0的一根是1,则。的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

k

2.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=—的图象经过点（1,3）,则k的值可以为

x

A.-4B.3C.-2D.2

3.如图，△ABC中，点D,E在边AB,AC上，DE/7BC,AADE与厶ABC的周长比为2：5,贝!JAD：DB为（)

A.2：5B.4：25C.2：3D.5：2

4.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（石，2）,那么cosa的值是（）

2275V5

A.B.-C.

23F

5.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

555

A.x=­C.Xl=—,X2=3D.—,X2=-3

222

6.下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（)

A.等边三角形B.平行四边形C.等腰三角形D.菱形

7.为了得到函数y=2/的图象，可以将函数y=—2/一4x+l的图象（）

A.先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度

B.先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向下平移3个单位长度

C.先关于y轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度

D.先关于y轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向下平移3个单位长度

8.一元二次方程3/一x=0的解是（）

A.x=3B.x=0C.X]=g,々=0D.玉=3,x2=1

9.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

10.如图，P为。外一点，PAP3分别切。0于点A,氏。。切。于点E且分别交PA、PB于息C,D,若抬=4,

则APCD的周长为（）

A.5B.7C.8D.1()

11.抛物线y=-X2+4X-4与坐标轴的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

12.一元二次方程f+4x=3配方后可化为（）

2

A.(X+2)2=1B.(x+21=7C.(x-2)=lD.(x-2『=7

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点M（4,3）为圆心画圆，与x轴交于A,B；两点，与y轴交于C,D两点,

当6<CD<86时，sin/MAB的取值范围是.

y

5

4

3

2

1

-4-3-2-1012345x

14.如图，二次函数y=x(无一2)(0WxW2)的图象记为G，它与x轴交于点。，A；将G绕点4旋转180°得C?，

交大轴于点Az；将G绕点厶2旋转180°得。3,交8轴于点厶3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”.若P(2020,机)

在这条“波浪线”上，则加=—.

4?

15.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-1,-1).以原点O为位似中心，把AEFO扩大到原来

的2倍，则点E的对应点灯的坐标为.

16.某县为做大旅游产业，在2018年投入资金3.2亿元，预计2020年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长

率为X,则可列方程为一.

17.如图，已知等边AABC的边长为2而，D,£分别为8C,AC上的两个动点，且AE=CD,连接班，AD交

于点P,则CP的最小值______.

E

p

BD

18.如图，将一张正方形纸片ABC。，依次沿着折痕BO,EF（其中EF//BD）向上翻折两次，形成“小船”的图

样.若FG=1,四边形BEFD与A//G的周长差为50-2,则正方形A8CO的周长为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）因2019年下半年猪肉大涨，某养猪专业户想扩大养猪场地，但为了节省材料，利用一面墙（墙足够长）

为一边，用总长为120”的材料围成了如图所示①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设8c的长

度为x（加），矩形区域A8CO的面积S（济）.

（1）求S与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围.

（2）当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

20.（8分）操作：在aABC中,AC=BC=4,NC=90。，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三

角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中

的3种情况。

探究：

（1）如图①，PD丄AC于D,PE丄BC于E,则重叠部分四边形DCEP的面积为—，周长—.

（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明；

（3）三角板绕点P旋转,4PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况（即写出APBE为等腰三角形时CE的长）;

若不能，请说明理由。

m

21.（8分）如图，一次函数7=厶+6（5=0）的图象与反比例函数y=一（駆加）的图象交于二、四象限内的A、B

x

两点，与*轴交于C点，点A的坐标为（-3,4）,点8的坐标为（6,〃）

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连接08,求AAQB的面积；

（3）若kx+b<U,直接写出x的取值范围.

X

22.（10分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上.

⑴若从中任意抽取--张，求抽到锐角卡片的概宰；

（2）若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率.

23.（10分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB,从地面上D点处观测旗杆

顶点A的仰角为50。，观测旗杆底部B点的仰角为45。（参考数据：sin50-0.8,tan50oX.2）.

（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；

（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度.

24.(10分)把一根长为4米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2,

(1)求S关于x的函数表达式和x的取值范围

(2)x为何值时，S最大？最大为多少？

25.(12分)如图，我国海监船在A处发现正北方向3处有一艘可疑船只，正沿南偏东45,方向航行，我海监船迅速

沿北偏东3()'方向去拦裁，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截，已知我海监船航行的速度是每小时35海里，求可

疑船只航行的距离8C.

26.在平面直角坐标系中，抛物线y=-4x2-Smx-m2+2m的顶点p.

(1)点p的坐标为(含，”的式子表示)

(2)当-时，y的最大值为5,则，”的值为多少；

(3)若抛物线与x轴(不包括x轴上的点)所围成的封闭区域只含有1个整数点，求，〃的取值范围.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】将X=1代入方程，求出4的值.

【详解】将X=1代入方程得

1—a+2=0

解得a=3

故答案为：A.

【点睛】

本题考査了求一元二次方程系数的问题，掌握代入求值法求解"的值是解题的关键.

2、B

k

【分析】把点(1,3)代入y=一中即可求得k值.

k

【详解】解：把X=l,y=3代入y=一中得

：.k=3.

故选：B.

【点睛】

本题考査了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.

3、C

【分析】由题意易得△ADESZXABC,根据两个相似三角形的周长比等于相似比可直接得解.

【详解】DE//BC,AADE^ABC,

AZ)2

△ADE与AABC的周长比为2：5,二——=一，

AB5

,AD2

,,__—_—_•

DB3

故选C.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，关键是根据两个三角形相似，那么它们的周长比等于相似比.

4、D

【分析】如图，作MH丄x轴于H.利用勾股定理求出0M,即可解决问题.

【详解】解：如图，作MH丄x轴于H.

VM(75,2),

；.OH=BMH=2,

•••OM=J(右)2+2?=3,

.OHy[5

..cosa=-----=-―-，

OM3

故选：D.

【点睛】

本题考査解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5、C

【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可.

解：方程变形为：2x(x-3)-5(x-3)=0,

(x-3)(2x-5)=0,

.".x-3=0或2x-5=0,

.,5

..Xl=3,X2=—.

2

故选C.

6,D

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形.故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形.故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故此选项正确；

故选D.

7、A

【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标即可判断对称或平移的方式.

【详解】•=一21-4》+1的顶点坐标为(-1,3)

>=2/的顶点坐标为(0,0)

...点(-1,3)先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度可得到点(0,0)

故选A

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.

8、C

【解析】用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】x(3x-l)=0

/.x=0或3x7=0

八1

二%=0,X2~~

故选C.

【点睛】

本题主要考査一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

9、B

【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考査轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图

形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

10、C

【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE,DE=DB,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】解：:PA、PB分别切。0于点A、B,

，PB=PA=4,

VCD切。。于点E且分别交PA、PB于点C,D,

/.CA=CE,DE=DB,

APCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线，平分两条切线的夹角.

11、C

【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程一/+4%—4=0得抛物线与x轴的

交点坐标，从而可对各选项进行判断.

【详解】当x=0时，y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与)’轴的交点坐标为(0,-4),

当y=0时，一丁+4%一4=0,解得玉=々=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),

所以抛物线与坐标轴有2个交点.

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数丁=如2+加+c(.,b,c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为

解关于x的一元二次方程.

12、B

【分析】根据一元二次方程配方法即可得到答案.

【详解】解：•••X2+4X=3

x2+4x+4=3+4

(x+2)2=7

故选B

【点睛】

此题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握一元二次方程各种解法是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

33

13、一<sin/MAB<—

85

【解析】作ME丄CD于E,MF丄AB于F,连接MA、MC.当CD=6和CD=86时在&AMCE中求出半径MC,然后

在A/AA例E中可求sin/MAB的值，于是范围可求.

【详解】解：如图1,当CD=6时，作ME丄CD于E,MF丄AB于F,连接MA、MC,

AME=4,MF=3,

VMEXCD,CD=6,

/.CE=3,

•*-MC=yjcE2+ME2=V32+42=5，

AMA=MC=5,

VMF±AB,

MF3

**•sin^^^lAB=--=—,

MA5

如图2,当CD=86时，作ME丄CD于E,MF丄AB于F,连接MA、MC,

.♦.ME=4,MF=3,

TME丄CD,CD=8V3,

.•.CE=4®

•••MC=y/CE2+ME2=7(473)2+42=8,

/.MA=MC=8,

VMF±AB,

.,.sin^MAB=^=-

MAx

33

综上所述，当6<CD<8g时，-<sin

o5

33

故答案是：-<sin

85

【点睛】

本题考査了三角函数在坐标系和圆中的应用，作辅助线构造直角三角形利用垂径定理求出半径是解题的关键.

14、1

【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象Ci与x轴交点坐标为：(1,1),(2,1),再利用旋转的性质得到图

象C2与x轴交点坐标为：(2,1),(4,1),则抛物线C2：y=(x-2)(x-4)(2^x^4),于是可推出横坐标x为偶数时,

纵坐标为1,横坐标是奇数时，纵坐标为1或-1,由此即可解决问题.

【详解】解：••,一段抛物线C-y=-x(x-2)(1WXW2),

二图象Ci与x轴交点坐标为：(1,1),(2,1),

•.•将Ci绕点Ai旋转181°得C2,交x轴于点A2；,

二抛物线C2：y=(x-2)(x-4)(2近xW4),

将C2绕点A2旋转181°得C3,交x轴于点A3；

：.P(2121,m)在抛物线Cuu上，

•••2121是偶数，

:.m=l,

故答案为1.

【点睛】

本题考査了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利

用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐

标，即可求出解析式.

15、(-8,4),(8,-4)

【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可.

【详解】解：以原点0为位似中心，把AE/O扩大到原来的2倍，点E(-4,2),

二点E的对应点F的坐标为(-4x2,2x2)或(4x2,-2x2),

即(-8,4),(8,-4),

故答案为：(-8,4),(8,-4).

【点睛】

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图

形对应点的坐标的比等于k或-k.

16^3.2(1+x)2=6

【分析】根据题意，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程即可.

【详解】解：根据题意，设旅游产业投资的年平均增长率为8,则

3.2(1+x)2=6；

故答案为：3.2(1+x>=6.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用一一增长率问题，解题的关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，正确列出一元二次

方程.

17、2&

【分析】根据题意利用相似三角形判定AABE纟AC4D,并求出OC的值即有CP的最小值(CP)=OC-r,从而求

解.

【详解】解：如图

:.AABE纟AC4D

AZAPB=120

...P点的路径是一段弧(以。点为圆心的圆上)

AZAOB=120°

AZOBA=30,NOBC=9。

VAB=2遥

,"OB=2V2=r

：•OC=ylo^+BC2=45/2

所以C产的最小值(CPj=OC-r=4后一2后=2J5

【点睛】

本题结合相似三角形相关性质考査最值问题，利用等边三角形以及勾股定理相关等进行分析求解.

18、1

【分析】由正方形的性质得出△ABD是等腰直角三角形，由EF〃BD,得出aAEF是等腰直角三角形，由折叠的性质

得aAHG是等腰直角三角形，△BEH与4DFG是全等的等腰直角三角形，贝！JGF=DF=BE=EH=L设AB=x,贝!|

BD=0x,EF=V2(x-1),AH=AG=x-2,HG=&(x-2),由四边形BEFD与AAHG的周长差为50-2列出方程

解得x=4,即可得出结果.

【详解】•••四边形ABCD是正方形，

.,.△ABD是等腰直角三角形，

VEF/7BD,

.,.△AEF是等腰直角三角形，

由折叠的性质得：^AHG是等腰直角三角形，△BEH与4DFG是全等的等腰直角三角形，

，GF=DF=BE=EH=1,

设AB=x,

则BD=0x,EF=0(x-1),AH=AG=x-2,HG=>/2(x-2),

V四边形BEFD与aAHG的周长差为5近-2,

5/2x+y/2(x-1)+2-[2(x-2)+V2(x-2)]=50-2,

解得：x=4,

正方形ABCD的周长为：4x4=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考査了折叠的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠与正方形的性质以及等

腰直角三角形的性质是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)S=45X--X2(0<X<60)；(2)x=30时，S有最大值675机？

【分析】(1)根据题意三个区域面积直接求S与X之间的函数表达式，并根据表示自变量X的取值范围即可;

(2)由题意对S与x之间的函数表达式进行配方，即可求S的最大值.

XX

【详解】解：(1)假设OE为明由题意三个区域面积相等可得Gb=GE=—,区域占区域2,面积法a・一=CT・x,

22

nx

得。尸=—,由总长为120帆，故4a+2x=120,得。=30——.

22

333

所以。C=—a=45--x,面积S=45x--x2(0<x<60)

244

33

(2)S=45x--/=一一(x-30尸+675(0<x<60),所以当》=3()时，5=675为最大值.

44

【点睛】

本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用.最大值的问题常利用函数的增减性来解答.

20、(1)4,8；(1)证明见详解；(3)CE=0或1或4—2加或4+20；

【分析】(1)根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线，继而可得出PD、PE的长度，也可得出四

边形DCEP的周长和面积.

(1)先根据图形可猜测PD=PE,从而连接CP,通过证明4PCD之△PEB,可得出结论.

(3)题目只要求是等腰三角形，所以需要分四种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出.

【详解】解：(1)根据△ABC中，AC=BC=4,ZC=90°,

VPD±AC,PE±BC,

APD/ZBC,PE/7AC,

又,••点P是AB中点，

.♦.PD、PE是△ABC的中位线，

.♦.PD=CE=1,PE=CD=L

.,•四边形DCEP是正方形，面积为：1x1=4,周长为：1+1+1+1=8;

故答案为：4,8

(1)PD=PE；

证明如下：AC=BC,ZC=90°,P为AB中点，连接CP,

，CP平分NC,CP±AB,

VZPCB=ZB=45°,

.•.CP=PB,

VZDPC+ZCPE=ZCPE+ZEPB=90°,

:.ZDPC=ZEPB,

在APCD和APEB中，

ZDPC=ZEPB

<CP=PB,

NDCP=NB

.,.△PCD^APBE(ASA),

，PD=PE.

(3)Z\PBE是等腰三角形，

VAC=BC=4,NACB=90°,

•*,AB=<4。+4,=4\/2，

：.PB=-AB=2y/2；

2

①PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=O；

②当PB=BE时，如图，E在线段BC上,

CE=4-2^2?

③当PB=BE时，如图，E在CB的延长线上，CE=4+2A/2；

④当PE=BE时，此时，点E是BC中点，则CE=1.

A

Lk

C<s>EB

综合上述，CE的长为：0或1或4-2&或4+2拉；

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定，第三问的解答应分情况进行论证，不能漏解，有一定难度.

122

21、（1）y=—,--x+2；（2）9；（3）x>6或-3VxVl

x3

【分析】（1）根据A的坐标求出反比例函数的解析式，求出5点的坐标，再把A、5的坐标代入y=h+b,求出一次

函数的解析式即可；

（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；

（3）根据A、B的坐标和图象得出即可.

tri

【详解】解：（1）把A点的坐标（-3,4）代入丁=一得：机=-12,

x

12

即反比例函数的解析式是），=—,

x

12

把3点的坐标（6,〃）代入y=------得：〃=-2,

x

即〃点的坐标是（6,-2）,

4=—3k+b

把A、5的坐标代入）=厶+〃得：\,

-2=6k+b

2

解得：k=----,b=2,

3

2

所以一次函数的解析式是y=--x+2；

2

（2）设一次函数y=-§x+2与x轴的交点是C,

2

y=-§x+2,当y=l时，x=3,

即0C=3,

VA(-3,4),B(6,-2),

**•的面积S=SAAOC+S&BOC=-x3x4H—x3x2=9；

22

in

(3)当h+bV—时x的取值范围是x>6或-3VxVL

X

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的

关键.

22、(1)—；(2)—.

23

【分析】(1)用锐角卡片的张数除以总张数即可得出答案；

(2)根据题意列出图表得出所有情况数和两张角度恰好互补的张数，再根据概率公式即可得出答案.

21

【详解】解：(1)一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有2张，因此，P(抽到锐角卡片)=-=-；

42

(2)列表如下:

36°54°144°126°

36°(54°,36°)(144°,36。)(126°,36°)

54°(36°,54°)(144°,54°)(126°,54°)

144°(36°,144°)(54°,144°)(126°,144°)

126°(36°,126°)(54°,126°)(144°,126°)

一共有12种等可能结果，其中符合要求的有4种结果，

即(36°,144),(54°,126°),(144°,36°),(126°,54°)

因此，P(抽到的两张角度恰好互补)唸4，1.

【点睛】

本题考査的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

23、(1)20米；(2)25米.

【分析】(1)ZBDC=45°,可得DC=BC=20m,；

AC5+r

(2)设DC=BC=xm,可得tan5(T=——=--s：1.2,解得x的值即可得建筑物BC的高.

DCx

【详解】解：⑴VZBDC=45°,

.,.DC=BC=20m,

答：建筑物BC的高度为20m；

(2)设DC=BC=xm,

Ar5+r

根据题意可得：tan50°=——=-~-s：1.2,

DCx

解得：x=25,

答：建筑物BC的高