第26讲 同角三角函数的基本关系（学生版）-高一数学同步讲义

第04讲同角三角函数的基本关系

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课程标准课标解读

1.掌握同角三角函数的基本关系式；

通过本节课的学习，要求会用同角三角函数的基本关系

2.能正确运用同角三角函数的基本关系

进行求值、化简、证明.

式进行求值、化简和证明.

趣知识精讲

至''知识点同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商的关系：tana=2^3.

cosa

(3)公式常见变形：

@sin2a=l-cos2a；@cos2a=l-sin2a；③sina=±Jl—cos%；

cr,----—r-xsina

④cosa=±V1—sina；©sina=cosatana；©cosa=------；

tana

sin2atan2acos2a1

⑦sin9%=---------=-----7------；⑧cos%9=----------=----z------

sina+cos-atana+1sin~«+cos-atarra+1

【微点拨】同角三角函数的基本关系式的几种变形：

sin%=1-cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；

cos2a=1-sin2a=(1+sina)(l-sina)；

(sincjf±cosa)2=l±2sinacos。.

【即学即练1］若sina=—2，且a为第四象限角，则tana的值等于(

13

1212^55

A.—B.——C.——D.——

551212

【即学即练2】已知a为锐角，且sin,a-cos'a=—，则tana=()

3

A."B.V2

2

C.2D.25/2

coe/y2qin"

【即学即练3］若a为第三象限，则”、+'、的值为()

VI-sin2aVl-cos2a

A.3B.-3C.1D.-1

【即学即练4】已知cos2(z=sina,则一--Fcos'a=()

sina

石+13-V51)

A.----B.———C.-D.23m

222

【即学即练5】cos(—80°)=AJ^tanl000=()

【即学即练6】设。＞0且a若loga(sinr-co&x)=0,则sin8x+cos8x=

【即学即练7】化简：Vl-2sinl00cosl00=()

A.cos10°-sin10°B.sin10°-cos10°

C.sin10°+cos10°D.不确定

口能力拓展

考法01

同角三角函数的基本关系

通过三角函数的定义探究同一个角。的正弦、余弦、正切值之间的关系，即同角三角函数的基本关系

式，这些公式是三角函数化简、求值、证明的基础.

4

【典例1】已知tana=一,且。是第三象限角，求sina,cosa.

3

【典例2】化简.

12cos之

l-2sin20

(2)sinacos。0ana+—^—

\tana

【即学即练8】已知tan®=2,则sin?e+sinPcose-2cos*6=()

4534

A.——B.一C.一一D.

344

1

【即学即练9】已知sina+cosa=—（0,兀），则tana的值为()

5

4T34

A.----或一一B.

34

33

C.—D.

44

■口口.八.什1n.isina+cosa

【即学即练10］若tana、，则^---------的值为()

3sina-cosa

A.2B.-2C.1D.

1

【即学即练11］已知tan6=2,则的值为（)

sin20-cos20

工5

A.1B.D.2

33

COS0

【即学即练12］若"+tan*,则。角是（)

A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角

【即学即练13】化简2sin%一

l-2cos-a

［即学即练14】已知sino+2cosa=0,则2sinacosa-cos2a的值是

【即学即练15】已知角。终边上有一点P(—1,2),求下列各式的值.

(1)tana；

一sina+cosa

(2)-----------.

cosa-sina

考法02

诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等，即

sin(2E+a)=sina(AWZ)；cos(2E+a)=cosa(kGZ)；tan(2kn+a)=tana(%£Z).

【典例3】sin7800=()

AG

R73

22

题组A基础过关练

1.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为氏

大正方形的面积是1,小正方形的面积是」-则sin?。一cos?。的值是()

25

247

A.IB.------D.-——

2525

2,^asin0+cos0=1,〃sin。一cos。=1,贝布人的值是()

A.0B.1C.-1D.V2

3.若sin9+cos0=-^-,0G[O,7I],则tan6=()

11「

A.B.—C.-2D.2

22

4.设？=sina+cosa,且sirr'a+cos'cvO,则r的取值范围是()

(A)[-A/2,0)(B)(-V3,0)U(A/3,4W)(C)(-1,0)U(1,72)(D)[-在后)

2

5.已知a是三角形的一个内角，且sina+cosa=—则这个三角形的形状是()

3

A.锐角三角形B.钝角三角形C.不等腰的直角三角形D.等腰直角三角形

6.已知sina+cosa=',ae(0,7r)

,则tancr=()

34

A.--B.

43

3f43Q

C.一产wD.7^3

_,,711nl1

7.己知---<OL<0,sina+cosa=L，则2的值为()

25cosa-sin，。

725

A.-B.

57

724

c.—D.

2525

8.已知sin。+cos。二)

3l42),则sin8-cos6=(

A.凡B&

c.-D.

3333

9.已知2sin6=l—cos。,则tan*()

22

_4C.一立一立和0

A.0和—B.--D.

3344

10.已知avO,角a的终边上一点3,-2々)，则sina=()

A.屿B.-正「2石275

D.

5555

题组B能力提升练

1.在AABC中，cosA+sinA=则cosA-sinA=()

2

A.±—B.±-C.—立D.2

2222

2.已知。为三角形的内角，sina-cosa=..-,则tana的值为()

5

A.2或3B.2c-D.--

2

3.已知4（5,兀），2sin^=cos^+2,则sin6+cos6的值是()

D.-1

A.1B.-1c-

・55

4.已知tana=w,a是第二、三象限角，则sina的值等于（)

2

Am\J\+nrn-my/l-^-rn

A.-....---------D.i------------c(1+)叫D・-mylnr+1

\+m21+m2

cos0sin。八

5.若/.、=+/『=°，则sin(cos®>cos(sine)的符号()

Vl-sin0vl-cos0

A.总为负

B.总为正

c.当e在第二象限时为负，当。在第四象限时为正

D.无法确定

6.函数y=sinn（x£R）的部分图象如图所示，设。为坐标原点,P是图象的最高点，8是图象与工轴的交

点，则tanNOP3的值为（）

84

A.10B.8C.一D.-

77

7.（多选题）已知。£（0,兀），sine+cos9=（,则下列结论正确的是（）

A.夕B.cos6=—1

37

cD

4-5-

"7—34—/IT）

8.（多选题）已知sin®=--,cos^=——,则加的值可以等于（

"7+5机+5

A.0B.4C.6D.8

9.（多选题）下列正确的是（）

43

A.若sina=—g且a是第三象限角，则cosa=一：

B.若cosa嗤12且a是第四象限角，则sina=5^

C.若sina=q,则sin,a-cos4a=—1

D.化简：Jl+2sin4cos4=sin4+cos4

437r3

E.已知：cos6=h且*<6<2%，那么tan6=-一

524

百，

10.已知sina-cosa=——，则sin?a-cos?a=____________•

3

11..已知sinl