2024届北京中学国人民大附属中学九年级数学第一学期期末预测试题含解析

2024届北京中学国人民大附属中学九年级数学第一学期期末预测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.一组数据1,2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中，发生变化的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

2.如图，在AABC中，点。在边A5上，且AO=5cm,05=3cm,过点Z）作OE〃笈C,交边AC于点E,将AAOE沿

着OE折叠，得AMDE,与边BC分别交于点凡G.若A4BC的面积为32cn?,则四边形。EG厂的面积是（）

A

A.10cm2B.10.5cm2C.12cm2D.12.5cm2

3.圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（）

A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数

C.S是R的二次函数D.以上答案都不对

4.如图，AD是aABC的中线，点E在AD上，AD=4DE,连接BE并延长交AC于点F,贝（∣AF：FC的值是（）

5.下列事件是随机事件的是（）

A.在一个标准大气压下，水加热到100°C会沸腾B.购买一张福利彩票就中奖

C.有一名运动员奔跑的速度是50米/秒D.在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

6.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点O为BC的中点，以O为圆心作。。交BC于点M、N,。。与AB、

AC相切，切点分别为D、E,则。O的半径和NMND的度数分别为（）

D,E

C.3,22.5oD.2,30o

7.如图，在RjABC中，ZC=90,BC=4,AC=3,则SinA的值是（）

8.有X支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是(）

A.x(x-1)=21B.x(x-1)=42

C.x(x+l)=21D.x(x+l)=42

9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，贝!∣sinl的值是O

10.方程X2-6x+5=0的两个根之和为（）

A.-6B.6C.-5D.5

11.已知二次函数y=ax1+bx+c的图象如图所示,分析下列四个结论:①M>cV0;0b2-4αc>O;③2a—b=0；④α+b+c

C.3个D.4个

12.下列计算，正确的是()

A.a2∙ai=ab3a2-a2=2C.α8÷α2=α4D.（e2）3=α6

二、填空题（每题4分，共24分）

13.数据1、2、3、2、4的众数是.

14.在长8cm,宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2

2o

15.计算：2λ∕3cos30°+tan45°-4sin60=.

16.如图，在平面直角坐标系中，点。是边长为2的正方形ABeZ）的中心.函数y=（x-无）？的图象与正方形ABCQ

有公共点，则的取值范围是.

17.半径为行的圆。中，弦AB、AC的长分别为2和n，则NBAC的度数为

18.如图，在平面直角坐标系中，将AABO绕点A顺指针旋转到AAaG的位置，点5、。分别落在点5卜G处，点

为在X轴上，再将AABiG绕点顺时针旋转到A4SC2的位置，点Ch在X轴上，将A4BCz绕点Cz顺时针旋转到

△A2B2C2的位置，点A在X轴上，依次进行下去…，若点A（|，0）、B（0,4）,则点为02（）的横坐标为.

BB-及

O

B1Bi

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，点A,3,C都在。上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.（不写作法，保留作图痕迹）

（D在图1中，若NABC=45°，画一个。的内接等腰直角三角形.

(2)在图2中，若点。在弦AC上，且∕A8D=45°,画一个。。的内接等腰直角三角形.

20.(8分)如图，下列网格由小正方形组成，点ARC都在正方形网格的格点上.

(1)在图1中画出一个以线段BC为边，且与AABC面积相等但不全等的格点三角形；

(2)在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与ΔAfiC相似(但不全等)的格点三角形，并写出所画三角形

与ΔABC的相似比.(相同的相似比算一种)

图1

21.(8分)如图，在放A43C中，ZABC=90o,以48为直径作。O,点。为。。上一■点，J≡.CD=CB,连接。。并

延长交CB的延长线于点E,连接。C.

(1)判断直线。与。。的位置关系，并说明理由；

⑵若BE=6，OE=3,求。。的半径及AC的长.

22.(10分)计算：2cos45°-tan60°+sin30°-'tan45°

2

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与抛物线y=-χ2+bx+c交于A、B两点，点A在X轴上，

点B的横坐标为-1.动点P在抛物线上运动(不与点A、B重合)，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q,当

PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM.设点P的横坐标为m.

(1)求b、C的值.

(2)当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围.

(3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c,求C与m之间的函数关系式，并写出C

随m增大而增大时m的取值范围.

(4)当APQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值.

24.(10分)如图，一块三角形的铁皮，BC边为12(h加，BC边上的高AO为80am,要将它加工成矩形铁皮，使

它的的一边尸G在BC上，其余两个顶点E、H分别在A3、AC上，

(1)若四边形瓦G/7是正方形，那么正方形边长是多少？

(2)在矩形EFGH中，设Eb=切加2,FG=ymm,

①求y与X的函数关系，并求出自变量的取值范围；

②X取多少时，S矩形EFCH有最大值，最大值是多少？

25.(12分)如图，在ΔABC中，NA=45°,NB=90°,AB=I2cm,点。从点A出发沿AB以2cm∕s的速度向

点B移动，移动过程中始终保持OE〃BC,DFHAC(点EF分别在线段AC、线段BC上).

(1)点O移动几秒后，ΔAZ)E的面积等于ΔD3E面积的四分之一；

(2)当四边形DFCE面积36tτ√时，求点。移动了多少秒？

26.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其它差

异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球

的标号，两次记下的标号分别用X、y表示.若χ+y为奇数，则甲获胜；若X+)'为偶数，则乙获胜.

请你运用所学的概率的相关知识通过计算说明这个游戏对甲、乙双方是否公平.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【解析】A.：原平均数是：(l+2+3+3+4+l)÷6=3;

添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3)÷7=3;

••・平均数不发生变化.

B.；原众数是：3；

添加一个数据3后的众数是：3；

.∙.众数不发生变化；

C；原中位数是：3;

添加一个数据3后的中位数是：3；

.∙.中位数不发生变化；

D.∙.∙原方差是：(3-1『+(3-2)2+(3-3)12+(3-4)2+(3-5)[5.

63

22222

法⅛1人物出ι二g七至n(3-1)+(3-2)+(3-3)×3+(3-4)+(3-5)10

添加一个数据3后的方差是：1——L_1-----L-1------L--------∑---->--∑------>—=—：

77

.∙.方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

2、B

【分析】根据相似多边形的性质进行计算即可；

【详解】,：DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZEDF=ZDFB,

又由折叠知ZADE=ZEDF,

ΛZB=ZDFB9

ΛDB=DF,

∙.∙AD=DM=5c∕n,BD—DF—3c∕ιι，

...SWE∕叼,

S.ABCIABJ

SΛ5V

即立磔=,ɔ,

32(5+3J

ʌS△航=12.5cm2,

ʌS△,糜=S△板=12.5cιR,

同理可得：S△版=2c勿2,

二四边形DEGF的面积=io.5a∏z•

故答案选B.

【点睛】

本题主要考查了相似多边形的性质，准确计算是解题的关键.

3、C

【解析】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.

4、A

【分析】过点D作DG〃AC,根据平行线分线段成比例定理，得FC=IDG,AF=3DG,因此得到AF：FC的值.

解：过点D作DG〃AC,与BF交于点G.

VAD=4DE,

ΛAE=3DE,

TAD是AABC的中线,

BD1

•*(——

BC2

VDG√AC

.AF_AE3DEC,

------=3,即πrAF=3DG

''~DG~~DEDE

DGBDlCC

-----——,即CmFC=IDG,

FCBC2

ΛAF:FC=3DG;1DG=3:1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键.

5、B

【解析】根据事件的类型特点及性质进行判断.

【详解】4、是必然事件，选项错误;

3、是随机事件，选项错误

C、是不可能事件，选项错误;

是不可能事件，选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.

6、A

【解析】解：连接OA,

TAB与。O相切,

ΛOD±AB,

T在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,O为BC的中点,

ΛAO±BC,

ΛOD√AC,

为BC的中点,

ΛOD=AC=2;

•：ZDOB=45o,

ΛZMND=ZDOB=1.5°,

本题考查切线的性质；等腰直角三角形.

7、C

【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解.

【详解】解：在直角aABC中，AB=√AC2+BC2=√32+42=5*

EBC4

贝!∣sinA=-----=—.

AB5

故选C∙

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边

比邻边.

8、B

【分析】设这次有X队参加比赛，由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则此次比赛的总场数为：LX(X-I)

2

场.根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可.

(详解】设这次有X队参加比赛,则此次比赛的总场数为LX(XT)场，

2

根据题意列出方程得：-x(x-L)=21,

2

整理,得：X(XT)=42,

故答案为X(XT)=42.

故选B.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系是解题的关键.

9、A

【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.

3

【详解】解：由网格纸可知Sina='，

故选A.

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.

10、B

【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为-彳=6,即可得出选项.

【详解】解：方程χ2-6x+5=0的两个根之和为6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.

11、B

【解析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、C的符号，即得abc的符号；

②由抛物线与X轴有两个交点判断即可；

b

③由---->-1,aVl,得到b>2a,所以2a-bVl;

2a

④由当x=l时yVl,可得出a+b+c<l.

【详解】解：①V二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，

b

JaVl,------<0,c>l,

2a

Λb<b

Λabc>l,结论①错误；

②V二次函数图象与X轴有两个交点，

.*.b2-4ac>l,结论②正确；

③------>-1,a<l,

2a

Λb>2a,

Λ2a-b<l,结论③错误；

④当x=l时，y<li

Λa+b+c<l,结论④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=aχ2+bx+c(a≠l)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线

与y轴的交点抛物线与X轴交点的个数确定.

12、D

【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、塞的乘方依次化简即可得到答案.

【详解】A.a2-ai=as,故该项错误；

B.3a2-a2=2a2,故该项错误；

C.α8÷α2=α6,故该项错误；

D(α2)3=fit6正确,

故选：D.

【点睛】

此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幕的乘方的计算方法即可正确解答.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】根据众数的定义直接解答即可.

【详解】解：数据1、1、3、1、4中，

∙.∙数字1出现了两次，出现次数最多，

.∙.ι是众数，

故答案为：1.

【点睛】

此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数.

14、1

【解析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比

例关系，就可以求解.

【详解】解：设宽为XCm,

留下的矩形与原矩形相似，

8-%_6

"~6~~S

7

解得χ=q

2

7,

.∙.截去的矩形的面积为一X6=2Icm2

2

留下的矩形的面积为48-21=lcm2,

故答案为：1.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

15、1

【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：2ʌ/ɜcos30°+tan45o-4sin260o

=2√3×2^+1-4×(^)2

3

=3+1-4X-

4

=4-3

=1

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从

高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的

顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

16、-2<h<2

【解析】由于函数y=(x-h)I的图象为开口向上，顶点在X轴上的抛物线，故可先分别得出点A和点B的坐标，因为

这两个点为抛物线与与正方形ABCD有公共点的临界点，求出即可得解.

【详解】Y点O是边长为1的正方形ABCD的中心，

.∙.点A和点B坐标分别为(1,D和(-1,1),

∙.∙函数y=(x-h)I的图象为开口向上，顶点在X轴上的抛物线，

,其图象与正方形ABCD有公共点的临界点为点A和点B,

把点B坐标代入y=(x-h)

得1=(-l-h)1

Λh=O(舍)或h=-l;

把点A坐标代入y=(x-h)l,

得I=(I-h)1

Λh=0(舍)或h=l.

函数y=(x-h)I的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是-IWhWL

故答案为-l≤h≤l.

【点睛】

本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界

交点，需要明确临界位置及其求法.

17、15或75

【分析】根据题意利用垂径定理及特殊三角函数进行分析求解即可.

【详解】解：分别作OD_LAB,OE±AC,垂足分别是D、E.

C

VOE±AC,OD±AB,弦AB、AC的长分别为1和半，直径为血，

ʌAE=-AC=-,Ao=LAB=1,AO=及，

222

..//C-AEʌ/ɜ.z.ADV2

AO2AO2

ΛZAOE=60°,ZAOD=45°,即有NCAO=30°,NBAO=45°,

同理NC'AO=30°,

ΛZBAC=45o+30°=75°,或NBAC'=45°-30°=15°.

ΛZBAC=15o或75".

故答案为：15或75.

【点睛】

本题考查圆的垂径定理及解直角三角形的相关性质，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解，避免失分.

18、1

【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、Ba…每偶数之间的B相差10个单位长度,

根据这个规律可以求解.

【详解】由图象可知点为020在第一象限，

5

'：OA^-,08=4,NAoB=90°,

3

513

二OA+ABI+B∣C=-+—+4=10,

233

.∙.B2的横坐标为：10,

同理：B4的横坐标为：2X10=20,

员的横坐标为：3X10=30,

...点心02。横坐标为：——×10=l.

2

故答案为：L

【点睛】

本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键.题目难易程度适中，可以考

察学生观察、发现问题的能力.

三、解答题（共78分）

19、（1）见解析；（2）见解析

【分析】根据内接三角形和等腰直角三角形的性质，结合题意即可得出答案.

【详解】解：（1）如图bΔACD即为所求（画法不唯一）.

（2）如图2,AAEF即为所求（画法不唯一）

【点睛】

本题主要考查了圆内接等腰直角三角形的作图方法，考查了学生的作图能力.

20、（1）画图见解析；（2）画图见解析；图2：叵;图3：√5∙

2

【分析】（1）根据等底、等高的两个三角形面积相等，检验网格特征画出图形即可;

（2）根据相似三角形的性质画出图形即可.

【详解】（1）如图所示，ΔfiCQ即为所求.（答案不唯一）

（2）如图所示，ΔABE和ΔABE即为所求,

,.,BC=√2,AC=2,AE=√5,BE=5,AB=√1O,

.AB_AE_BE_√iθ

*^AC^BC^AB-^F

Λ∆ABE^∆CAB,

.∙.相似比Z=巫；

2

A

VBC=√2,AC=2,AF=2√5,BF=50,AB=√1O,

.ABAFBF

•.=-----=----=√5r9

BCACAB

Λ∆AFB^∆CAB,

相似比上=百，

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质及网格的特征，正确找出对应边是解题关键

21、(1)DC是。O的切线，理由见解析；(2)半径为1,AC=√7

【分析】(1)欲证明CD是切线，只要证明OD_LCD,利用全等三角形的性质即可证明；

(2)设。O的半径为r.在Rt△€)BE中，根据OE2=EB2+OB2,可得(3-。？=，+(百了，推出r=l,可得OE=2,

即有08=gOE,可推出NE=30°，则利用勾股定理和含有30。的直角三角形的性质，可求得OC=2,BC=B

22

再利用勾股定理求出Ac=√AB+BC即可解决问题；

【详解】(1)证明：VCB=CD,CO=CO,OB=OD,

ΛΔOCB^ΔOCD(SSS),

ΛZODC=ZOBC=90o,

ΛOD±DC,

.∙.DC是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为r.

在RtΔOBE中，VOE2=EB2+OB2,

Λ(3-r)2=r2+(√3)2,

:∙r=l

ΛOE=3-1=2

Λ∕∆ABCφ,OB=-OE

2

.,.ZE=30°

ΛZECD=90o-30o=60o

ABCO=ɪNECD=30o

2

RtABCO中,OC=20B=2×1=2,

BC=y∣OC2-OB2=√22-l2=√3

RtAABC中，AC=√Aβ2+BC2=√22+(√3)2=√7

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟悉相关性质定理是解题的关键.

22、√2-√3

【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案.

【详解】解：原式=2x立-yβ+--i×l

222

=V2-ʌ/ɜ

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键.

23、(1)b=l,c=6；(2)OVmV2或mV-1；(2)-IVm≤1且m≠0,

/1、AZ,/-»-■.11÷Jl3_p.I—Jl3τ3+J21τ3-5/21

(3)m的值为：---或一--或-------或——--.

2222

【分析】(1)求出A、点B的坐标代入二次函数表达式即可求解；

(2)当0<mV2时，以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N点在直线AB上，同样,

当mV-1,此时，N点也在直线AB上即可求解；

(2)当-IvmV2且m≠0时，PQ=-m2+m+6-(-m+2)=-m2+2m+2,c=3PQ=-3m2+8m+12即可求解；

(3)分-IVmW2、m<-l,两种情况求解即可.

【详解】(1)把y=0代入y=-χ+2,得χ=2.

二点A的坐标为(0,2),

把X=-I代入y=-x+2,得y=3.

.∙.点B的坐标为(-1,3),

把(0,2)^(-1,3)代入y=-χ2+bx+c,

解得:b=l,c=6；

(2)当OVmV2时，

以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N点在直线AB上，

同样，当mV・l,此时，N点也在直线AB上，

故：m的取值范围为：OVmV2或mV・l；

(2)当2VmV2且m≠0时,

PQ=-m2+m+6-(-m+2)=-m2+2m+2,

：・c=3PQ=-3m2+8m+12；

C随m增大而增大时m的取值范围为・1Vmgl且m≠0,

(3)点P(m,-m2+m+6),则Q(m,-m+2),

①当VmM时，

当APQM与y轴只有1个公共点时，PQ=XP,

即：∙m2+m+6+m∙2=m,

解得：m=ɪ(舍去负值)；

2

②当m<-l时，

△PQM与y轴只有1个公共点时，PQ=-XQ,

即∙m+2+m2∙m∙6=-m,整理得：m2-m-2=0,

解得：加=在叵(舍去正值)，

2

(3)m>2时，

同理可得：m=3±乒(舍去负值)；

2

④当-IVmVo时，

PQ=-m,

AS4B3-V2T

解得：m=-------

2

故m的值为：匕巫或匕巫或色巫或三里.

2222

【点睛】

此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形和正方形相关知识，本题解题的关键是通过画图确定正方形或三角

形所在的位置，此题难度较大.

3

24、(1)48mm；(2)Φy=-∣Λ+120(θ<x<8θ);②x=40,S的最大值是2400.

【分析】(1)首先得出HSA钻c,进而利用相似三角形的性质求出即可；

(2)利用正方形的判定方法得出邻边关系进而得出答案；

(3)由S=x∙y根据二次函数的最值即可求.

【详解】解：(1)EHHBC,

.∙.ΔAfH^ΔABC,

.ANEH