吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学

数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）分式」一有意义的条件是（）

x-l

A.xWlB.x—1C.xWOD.x—0

2.（3分）下列各点中，位于第二象限的是（）

A.(-3,2)B.(2,5)C.(5,-2)D.(-5,-5)

3.（3分）如图，在四边形A8C。中，AB//CD,下列可添加的条件不正确的是（）

4.（3分）一元二次方程（x+2）（x-4）=x-4的解是（）

A.尤=-2B.x=-1C.x=-1,x=4D.x=-2,x=4

5.（3分）若直线/与直线y=2x-3关于y轴对称，则直线/的解析式是（）

A.y--2x+3B.y—-2x-3C.y—2x+3D.y—2x-3

6.（3分）如图，在△ABC中，点。在边AB上，交AC于点E.若A£>=2,BD=3,则笆•（）

AC

7.（3分）如图，矩形ABC。中，AB=6,且有一点尸从8点沿着BO往。点移动，若过P点作4B的垂线交

48于E点，则EF的长度最小为多少（）

1

A.B..21C.5D.7

55

8.（3分）反比例函数y=K（k卢0）的图象如图所示，则k的值可能是（）

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）关于x的方程7-5x+l=0的根的判别式的值为.

10.（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABC。，NA=120°,则A

11.（3分）当-2<x<0时，y与x的函数解析式为y=_|*x，则的范围是.

12.（3分）如图，在R3A8C中，NACB=9O°,BC=6.点尸是AB中点，连接点力在AC上.贝峨

段C尸在平移过程中扫过区域形成的四边形CF3E的面积为

13.（3分）如图，在矩形A8CD中，点E为BA延长线上一点，以B为圆心，B尸长为半径的圆弧过A。与

CE的交点G,CE=10,则AG=

2

14.(3分)如图，点A(2,2)在双曲线y=K(x>0)上，交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标

21L

15.(6分)先化简，再求值：产-1)jt一！，其中x=&-l.

x-1X2-2X+1

16.(6分)如图，0ABeD的对角线4C,80交于点0,C为圆心，AAC，/BD长为半径画弧，连接BP，CP.

(1)试判断四边形BPC0的形状，并说明理由；

(2)当。ABC。的对角线满足时，四边形BPC。是菱形.

17.(6分)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电

桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？

18.(7分)在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1,B,C,D

均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹

(1)在图①中，以线段AD为边画一个△4DE,使它与△A8C相似;

(2)如图②，在线段4B上找一个点P,使BP=3；

(3)如图③，在线段AC上找一点E,连接8E,使

3

19.（7分）如图，反比例函数）=K（kWO）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1,a）,点C在第

x

四象限，BC〃x轴.

（1）求女的值；

（2）以48、BC为边作菱形ABC。，求。点坐标及菱形的面积.

20.（7分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABC。，其中4B=30米，要求P在射线A例

21.（8分）4,8两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行1,/2表示两人离A地的距离s（如］）与时

间f"）的关系

（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是（填人或/2）;甲的速度是hn/h,乙的

速度是km/h；

22.（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运

4

用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象.结合上

'ax-3(x42)

面经历的学习过程|b,、、

-(x>2)

x

(1)当x=l时，y=0；当x=3时；贝!]a=，b=.

(2)在(1)的条件下，

①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；

②若该分段函数图象上有两点4(团,yi),B(4,*),且yi<”，则机的取值范围；

③直线)，=上与该分段函数的图象有2个交点，则％的取值范围是.

23.(10分)阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，BE是AC边上的中线，国殳=2,

BC3

与BE相交于点P,求处的值.

PD

小昊发现，过点C作CF〃AD,交BE的延长线于点凡经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).

请回答：理■的值为.

PD

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

(1)如图3,在aABC中，点。在BC的延长线上，至=3,且妪=3.求处■的值；

BC2EC2PD

(2)如图4,在△48C中，点。在BC的延长线上，匹且包_=工，直接写出理■的值

BC2EC2PD

为.

5

24.（12分）如图①，在正方形ABCQ中，AB=4.点尸从点。出发，同时点。从点B出发，沿BC以每秒1

个单位长度的速度向点C运动.当点P不与点。、B重合时，连结尸P、P'。、PQ.设点尸的运动时间为

1秒.

图①图②

（1）当PQ〃4B时，求,的值；

（2）当点尸与点。重合时，求，的值；

（3）当P'Q=1时，f的值为；

（4）如图②，点E为中点，连接，E,则f的值为

答案解析

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）分式」」有意义的条件是（

X-1

A.xWlB.x=lC.xWOD.x=O

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案.

【解答】解：由题意得：x-1¥0,

解得：xW4,

故选：A.

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.

2.（3分）下列各点中，位于第二象限的是（）

A.（-3,2）B.（2,5）C.（5,-2）D.（-5,-5）

6

【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案.

【解答】解：A、（-3,符合题意；

B、（2,不符合题意；

C、（3,不符合题意；

。、（-5,不符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点.

3.（3分）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,下列可添加的条件不正确的是（）

A.AD=BCB.AB=CDC.AD//BCD.ZA=ZC

【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可.

【解答】解：4、当AB〃CD,四边形ABC。可能为等腰梯形；

B、AB//CD,一组对边分别平行且相等；

C、AB//CD,两组对边分别平行；

。、\'AB//CD,

：.ZA+ZD=180°,

NA=NC,

/.ZC+Z£）=180o,

C.AD//BC,

四边形ABC。为平行四边形；

故选：A.

【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

4.（3分）一元二次方程（x+2）（%-4）=x-4的解是（）

A.X--2B.X--1C.X--1,x—4D.x--2,x=4

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：V（x+2）（x-4）=x-4,

：.（x+2）（x-4）-（x-5）=0,

则(x-4)(x+7)=0,

7

.'.x-4=7或x+l=O,

解得X5=4,XI--2,

故选：C.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

5.（3分）若直线/与直线y=2x-3关于），轴对称，则直线/的解析式是（）

A.y--2x+3B.>1—-2x-3C.y—2x+3D.y—2x-3

【分析】利用关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可.

【解答】解：与直线y=2x-3关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则

y=3（-x）-3,即y--2x-3.

所以直线/的解析式为：y--2x-3.

故选：B.

【点评】此题主要考查了一次函数的图象与几何变换，利用轴对称变换的特点解答是解题关键.

6.（3分）如图，在△ABC中，点。在边AB上，交AC于点E.若4。=2,80=3,则箜（）

AC

A.2B.Ac.3D.2

5253

【分析】由£>E〃BC,利用平行线分线段成比例，可得出坐=辿，再代入AO=2,BD=3,AB^AD+BD,

ACAB

即可求出结论.

【解答】解：-JDE//BC,

•AE=AD=AD=2=2

"ACABAD+BD2+2T

故选：A.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,

所得的对应线段成比例”是解题的关键.

7.（3分）如图，矩形4BCC中，A8=6,且有一点P从8点沿着往。点移动，若过P点作4B的垂线交

AB于E点，则EF的长度最小为多少（）

8

A.JAB.处C.5D.7

55

【分析】连接AP、EF,依据PF±AD,NA=90°,可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角

线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求RtZ\3A£>斜边上的

高，利用面积法即可得解.

【解答】解：如图，连接AP,

'：PE±AB,PFLAD,

.•./AEP=NAFP=90°.

•.•四边形ABCO是矩形，

:.NBAD=90°.

四边形A£PF为矩形.

：.AP=EF.

要求EF的最小值就是要求AP的最小值.

；点P从B点沿着BD往。点移动，

...当APLB切时,AP取最小值.

下面求此时AP的值，

在RtABAD中，

VZBAD=90°,AB=6,

S£>24

~VAB+AD~V62+62~^100~18

••L=暴血=暴咂，

・4P=福的=8X8=24

BD10V

9

的长度最小为：21.

8

故本题选B.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并

灵活运用.

8.（3分）反比例函数y上@卉0）的图象如图所示，则人的值可能是（）

【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出A的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：如图所示：A（-3,3）,-7）都不在反比例函数图象上，

则-3X3VY8X（-2）,

即-9<k<-1,

故k的值可能是-5.

故选：C.

【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出左的取值范围是解题关键.

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）关于x的方程f-5x+l=0的根的判别式的值为21.

【分析】直接计算y-4收即可.

【解答】解：：a=l,b=-5,

；.△=（-5）2-4X7X1=21.

故答案为：21.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程n/+hx+c=O（“NO）的根的判别式为A=房-4ac.

10.（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABC。，ZA=120°,则A2

【分析】连接AC,证四边形ABCD是菱形，得/84?=工/刚力=60°,再证△ABC是等边三角形，得

2

10

AC=AB=2,即可得出结论.

【解答】解：如图，连接AC,

•••将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形48CZ）,

：.AB=BC,四边形ABCD是菱形，

；.NBAC=L/BAD=60。,

2

...△ABC是等边三角形，

，AC=A5=3,

BPA,C两点间的距离为2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

11.（3分）当-2<xW0时，y与x的函数解析式为y=_|_x，则v的范围是0Wy<3.

【分析】代入x=-2及x=0,求出y值，进而可得出y的范围.

【解答】解：当x=-2时，y=~l；

4

当x=0时，y=-—>

2

...当-2<xW0时，y的范围是3Wy<3.

故答案为：0WyV6.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记''直线上任意一点的坐标

都满足函数关系式y=h+b”是解题的关键.

12.（3分）如图，在RtZvlBC中，ZACB=90°,BC=6.点尸是AB中点，连接CF,点。在4c上.则线

段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为12.

11

A

【分析】先在RtZXABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据平移的性质可得：DF//EC,DF=EC,从

而可得四边形DFCE是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点。是AC的中点，从而可得DF

是aACB的中位线，进而可得£>F=2BC=3,最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答.

2

【解答】解："：ZACB=W°,AB=10,

4C=VAB2-BC2=V802-22=8'

由平移得：DF//EC,DF=EC,

四边形。尸CE是平行四边形，

•.,点尸是AB中点，

...点。是AC的中点，

...OF是aACB的中位线，

:.DF=LBC=3,

2

;点。是AC的中点，

：.DC=^AC=4,

2

四边形CFDE的面积=。>CD=7X4=12,

故答案为：12.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中

位线定理，以及平移的性质是解题的关键.

13.（3分）如图，在矩形ABC。中，点E为64延长线上一点，以B为圆心，8厂长为半径的圆弧过4。与

12

【分析】由直角三角形的性质可求8F=5,由勾股定理可求解.

【解答】解：；四边形ABC。是矩形，

.•./BAC=90°,

VCE=10,尸为CE的中点，

...BF=JLCE=3,

2

:.BF=BG=5,

22

•'-AG—7BG-AB=425-16=3，

故答案为：3.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关

键.

14.(3分)如图，点A(2,2)在双曲线y=K(x>0)上，交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是(如,

【分析】由题意，点A(2,2),则/力。尸45°,同时可得双曲线解析式，再作轴，作

可得/CBG=45°,又8C=2,再结合双曲线解析式可以得解.

【解答】解：I•点A(2,2)在双曲线、=上，

2

：.k=4.

.•.双曲线解析式为y=Z.

X

如图，作轴，作8Gl.c7/、H、G.

13

〈A(2,2),

：.AD=OD.

，NA00=450.

・・・NAO8=45°.

・：0A〃BC,

・・・NCBO=180°-45°=135°.

AZCBG=135°-90°=45°.

:・/CBG=/BCG.

■:BC=6,

：.BG=CG=\[2-

・・・C点的横坐标为点.

又C在双曲线y=2上，

x

：.c(&,2a).

故答案为：(&，2&).

【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解.

三、解答题(共78分)

2_i广

15.(6分)先化简，再求值：(工•_i)+g_1,其中x=&-l.

x-1X2-2X+1

【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将X的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式=」一X,(x：?21,

x-1(x+1)(x-4)x+1

当*=%-1时，

原式=」_=「1里.

x+4V2-7+14

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

5

16.(6分)如图，QABCD的对角线AC,8。交于点0,C为圆心，1AC，*BD长为半径画弧，连接班,CP.

(1)试判断四边形8PC。的形状，并说明理由；

(2)当。ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形BPC。是菱形.

14

AD

0

【分析】（1）由平行四边形的性质得出0c=OA=」AC,0B=0D=LBD,证出。8=CP,BP=0C,则可

22

得出结论；

（2）由菱形的判定可得出结论.

【解答】解：（1）四边形BPC0为平行四边形.

理由：•••四边形A8CD为平行四边形，

OC=OA=LC4。，

22

•以点3,C为圆心，.1,长为半径画弧，

82

：.0B=CP,BP=0C,

四边形8PC0为平行四边形；

（2）当AC=BO时，四边形BPCO为菱形.

"：AC=BD,0B=3,OC=A,

22

:.OB=OC,

■：四边形BPCO为平行四边形，

四边形8尸CO为菱形.

故答案为：AC=BD.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

17.（6分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电

桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？

【分析】设4型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A

型充电桩与用20万元购买8型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可.

【解答】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，

根据题意得生=3=，

xx+5.3

解得工=0.4,

经检验x=0.9是原方程的解,

15

x+2.3=1.2.

答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为4.2万元.

【点评】本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

18.(7分)在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为\,B,C,D

均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹

②

(1)在图①中，以线段AO为边画一个△AOE,使它与△48。相似；

(2)如图②，在线段AB上找一个点P,使BP=3；

(3)如图③，在线段AC上找一点E,连接BE,使△ABEsaCDE.

【分析】(1)根据相似三角形的性质得出地」，找到格点E,妪」，连接OE,即可求解；

AB3AC3

(2)勾股定理求得AB=5,取格点M,N,AM=2,BN=3,则AAMPS/^BNP,根据相似比为2,即可

3

得出BP=3

(3)连接Q。交AC于点E,连接BE,DE,即可求解.

【解答】解：(1)如图①所示，

VADJL,世卫ZDAE^ZBAC,

AB3AC3

/\ADE^/\ABC,

(2)如图②所示，

\'AM//BN,

：.△AMPsABNP,

•.--A-P-=-A--M=—2,

BPBN6

7AB=V32+42=5(

：.BP=6；

(3)如图③所示，连接。。交AC于点E,DE,

16

,:QE=BE,

：.ZEBQ=ZEQB,

QB//CD,

1・NQ=/D=/EBQ,

又NC=NE4B=90°,

:・XABEs丛CDE.

【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

19.(7分)如图，反比例函数y=Ka¥0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于4(1,4)，点C在第

x

四象限，BC〃x轴.

(1)求出的值;

(2)以A8、BC为边作菱形ABCQ,求。点坐标及菱形的面积.

K.

【分析】(1)根据点A(1,a)在y=2x上，可以求得点4的坐标，再根据反比例函数y=K(kWO)的图

X

象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),即可求得々的值；

(2)因为B是反比例函数y=2和正比例函数)，=2x的交点，列方程可得8的坐标，根据菱形的性质可确

X

定点。的坐标；然后利用菱形的面积计算公式解答即可.

【解答】解：(1)•・•点4(1,。)在直线y=2x上，

・・〃=2X1=2,

17

即点A的坐标为(6,2),

•.•点A(1,5)是反比例函数y=K,

X

••・=1X2=8,

即k的值是2；

(2)由题意得：2=4X,

x

解得：X=1或-1,

经检验x=6或-1是原方程的解，

：.B(-1,-4),

;点A(1,2),

AB=V(8+1)2+(7+2)2=7遥，

,菱形ABC。是以AB、BC为边，

；.AO=AB=2遍，

：.D(1+2衣，2).

菱形的面积=2&X(2+2)=2代.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

20.(7分)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABC。，其中AB=30米，要求P在射线4M

上，Q在射线4N上，求△APQ的面积.

18

N

【分析】由£>C〃AP,得到与口=型，代入数据求得AP=90,于是得到结论.

AQAP

【解答】解：AQ=AD+DQ=2O+\O=3O,

:矩形A8CD,

：.CD=AB,

'：DC//AP,

•QD=CD

AQAP)

.10=30

,,30AP)

...AP=9O,

，&APQ=L12・AP=1350米3；

2

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线

段成比例定理是解题的关健.

21.(8分)A,B两地相距60班?，甲、乙两人从两地出发相向而行1,/2表示两人离A地的距离s(h〃)与时

间，(〃)的关系

(1)表示乙离4地的距离与时间关系的图象是二(填1\或12)；甲的速度是30km/h,乙的速度是

20km/h；

(2)甲出发多少小时两人恰好相距触机？

19

舞型，利用图中信息即可解决问题;

【分析】(1)观察图象即可知道乙的函数图象为/2,根据速度=

时间

(2)分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题;

【解答】解：(1)由题意可知，乙的函数图象是/2,

甲的速度是皿=30&m〃?啦=20&血儿

23

故答案为/2,30,20.

(2)设甲出发x小时两人恰好相距5km.

由题意30x+20(x-6.5)+5=60或30x+20(%-5.5)-5=60

解得x=4.3或1.4,

答：甲出发1.3小时或8.5小时两人恰好相距5km.

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关

系解决问题.

22.(9分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运

用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象.结合上

ax-3(x42)

面经历的学习过程，b、

-(x>2)

X

(1)当x=l时，y=0；当x=3时；则♦=3,b=6.

(2)在(1)的条件下，

①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；

②若该分段函数图象上有两点4(次，yi),B(4,”)，且则根的取值范围；

③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，则左的取值范围是04V2.

20

y八

-r

(

r

r

-

A

71P>,|i

)

7—

【分析】(1)将x=l,y=0；尤=3,y=2分别代入函数y=〃x-3和y=且得关于。和人的二元一次方程组,

X

解方程组得〃和〃的值；

(2)①根据解析式的特点画出函数的图象即可；

(②由①中函数图象可直接得出的取值范围.

③由①中函数图象可直接得出的取值范围.

【解答】解：(1)把x=l,y=0代入y=ax-5得,

把x=3,y=7代入>=上得;

X

故答案为：3,6；

7x-3(x42)

(2)①..•尸

—(x>2)

X

故可作图如下:

21

②•••〃(4,>-6)是函数图象上的点，

"=1.6,

'.*yi<y2,

.•.y7<1.5,

由函数图象知，当y<7.5时，

VA(%,yi)在函数图象上，

/.?n<6.5,

故机的取值范围为：“<1.7；

③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0<%<5,

故答案为：0<kV3；

【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合

是解题的关键.

23.(10分)阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，BE是AC边上的中线，理=2,

BC3

AO与8E相交于点P,求处_的值.

PD

小昊发现，过点C作CF〃A。，交8E的延长线于点F,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).

请回答：岖的值为1.

PD-2一

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

(1)如图3,在△A8C中，点。在BC的延长线上，理>=3,且迪=3.求空•的值；

BC2EC2PD

(2)如图4,在aABC中，点。在BC的延长线上，型=3,且岖上，直接写出处的值为1.

BC2EC2PD-3-

22

【分析】如图2,证明△AEP丝△(?£：£可得AP=FC,再根据PD〃FC,得LBPDs^BFC,列比例式可

得结论；

(1)如图3,作辅助线，构建△AEF,根据A/〃8C,证明和△AFPS^QBP,列比例式可

得：星=空=1；

PDBD

(2)如图4,作辅助线，构建△£■人7,根据CF〃AP证明△BbsZ\B£>P和△ECFs/\E4P,可得结论.

【解答】解：如图2,过点C作CF〃A。，

；.NF=NAPF,NFCE=NEAP,

为AC边的中线，

：.AE=CE,

：.^AEP^/\CEF(A4S),

：.AP=FC,

'JPD//FC,

:.△BPDsWFC,

•.--P-D-=-B--D—_—2,

FCBC3

••A•P_—3，

PD2

故答案为：—；

2

(1)如图3,过A作AF〃BC,

XCBE,

FE

AA]

c一E

C

]B2

区

c2，

A

F3

]E

c3

A

设AF=3x,BC=2x,

]B

.•.-B-D-=--6，

BC2

23

：.BD=3x,

.\AF=BD=Sxf

,:AF〃BD,

：./XAFPsADBP,

・AP=AF=[.

PDBD

(2)如图4,过C作CF〃AP交PB于F,

:.△BCFS^BDP,

.BCCF7

••瓦司而，

设CF=2x,PD=3x,

,JCF//AP,

：./\ECF^/\EAP,

••EC=CF=2—,

AEAP7

；.AP=8x,AD=4x,

•••AP7

PD8

故答案为：1.

图2

【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定,

24

本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题.

24.(12分)如图①，在正方形48C。中，48=4.点P从点。出发，同时点Q从点8出发，沿8c以每秒1

个单位长度的速度向点C运动.当点P不与点。、8重合时，连结PP'P'。、PQ.设点尸的运动时间为

/秒.

(2)当点P与点。重合时，求f的值：

(3)当PQ=1时，/的值为_工或g

—3—3-

(4)如图②，点E为P。中点，连接P'E,则f的值为1或3.2.

【分析】(1)根据如果PQ〃A5时，由正方形的性质可得”〃BQ,此时只需满足AP=B。，则四边形以BQ

是平行四边形，所以结合已知条件得到4-2r=r,即可解决；

(2)P'与。重合时，只能在8c边上，根据正方形的性质，此时满足尸点行程与。点行程之和等于8由

图知：AD+CP/=2f,BQ=t,则AO+CP'+8。=8,建立方程即可解决；

(3)P'<2=1,分两种情况：一是P在CO边上，满足0</<2时，根据RtaCP'。中由勾股定理，建

立方程即可解决，但此时不存在；再就是P'在BC边上时，而此时又分两种情况：①尸'在Q上方时，此

时满足2</<6，②P'在。下方时，此时满足旦<fV4,分别根据线段间的和差关系建立方程，即可解决.

33

【解答】解：(1