辽宁省抚顺市五十中学2023年九年级上册数学期末考试试题含解析

辽宁省抚顺市五十中学2023年九上数学期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若

OA,QC=OBQD,则下列结论中一定正确的是（）

A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.③和④相似

2.如果（”，人均为非零向量），那么下列结论错误的是（）

A.aHbB.a-2b=0C.b=^aD.忖=2恸

3.如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（）

北

—1—►东

A.③一④一①一②B.②一①一④一③C.④一①一②一③D.④一①一③一②

4.下列说法正确的是（）

A.了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查

B.一组数据3,6,6,7,8,9的中位数是6

C.从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为2000

D.一组数据1,2,3,4,5的方差是2

5.已知M（a,b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从1,2,3,4三个数中任取的一个数，b是从1,2,3,

4,5五个数中任取的一个数.定义“点M（a,b）在直线x+y=n上”为事件Q”（29W9,n为整数），则当Q”的概率最

大时，n的所有可能的值为（）

A.5B.4或5C.5或6D.6或7

6.如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

©B③

7.下列函数的对称轴是直线x=-3的是（）

A.y=x2-3B.y=(x-3)2C.y=-(无+3>D.y-x2—6x

8.如图，四边形ABCQ内接于O,A3为直径，AD=CD,过点。作于点E，连接AC交OE于点若

3

sinNC48=—,。尸=5,则的长为（）

C.12D.16

9.下列事件是必然事件的是（）

A.某人体温是100℃B,太阳从西边下山

C.a2+b2=-1D.购买一张彩票，中奖

k

10.如图，反比例函数y=—（女。0）的图象上有一点A,AB平行于x轴交y轴于点B,△ABO的面积是1,则反比

x

例函数的表达式是（）

11.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为XI,则下面对XI的估计正确的是

A.—2<X[<-1B.—3<Xj<-2C.2<Xj<3D.—1<Xj<0

12.小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选择一个进

行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为()

二、填空题(每题4分，共24分)

13.一棵参天大树，树干周长为3米，地上有一根常春藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高，那么这根常春藤至少

有一米.

175

14.铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-五x2+^x+§,铅球推出后最大高度是m,铅球落

地时的水平距离是m.

15.在平面直角坐标系中，A4BO与然与。位似，位似中心为原点。，点A与点4是对应顶点，且点A,点4的

坐标分别是A(4,2),4(-2,-1),那么AABO与根内0的相似比为.

16.如图，菱形A5CD的三个顶点在二次函数丁=公2-2ax+|(a<0)的图象上，点4、B分别是该抛物线的顶点和

抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为.

17.如果反比例函数的图象经过点(-4,-5),则该反比例函数的解析式为

18.三角形两边长分别是4和2,第三边长是2--%+4=()的一个根，则三角形的周长是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，已知AB是。。的直径，点C在OO上，点P是AB延长线上一点，NBCP=NA.

(1)求证：直线PC是。O的切线；

(2)若CA=CP,(DO的半径为2,求CP的长.

20.(8分)总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙

店一天可售出32件，每件盈利30元.经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件.设甲

店每件衬衫降价a元时，一天可盈利yi元，乙店每件衬衫降价b元时，一天可盈利y2元.

(1)当a=5时，求yi的值.

(2)求yz关于b的函数表达式.

(3)若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大

是多少元？

21.(8分)某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人

次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同.

(1)求进馆人次的月平均增长率；

(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆

能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由.

22.(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为-7,

-b1.乙袋中的三张卡片所标的数值为-2,1,2.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，

再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标.

(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况.

(2)求点A落在第三象限的概率.

23.(10分)已知抛物线＞=0?+^X+4的对称轴是直线x=3,与％轴相交于A,8两点(点8在点A右侧)，与》

轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；

(2)如图，若点P是抛物线上3、C两点之间的一个动点(不与3、。重合)，是否存在点P,使四边形P8OC的

面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.

24.(10分)在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元),

并绘制成下面的统计图.

M数

05101520捐款数/元

(1)本次调查的样本容量是,这组数据的众数为

(2)求这组数据的平均数;

(3)该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.

25.（12分）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=加（根＞0）.p为边8C上一动点（不与反。重合），过点作AP

交直线CO于E.

⑴求证：AABPAPCE；

⑵当P为8C中点时，E恰好为CO的中点，求相的值.

26.已知抛物线y=f—4x-5与）'轴交于点C.

（1）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；

⑵若该抛物线与x轴交于A8两点，求A8C的面积S；

（3）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【解析】由题图可知，ZAOB=ZCOD,由。4'JOC=OBVD,可得丝=丝即可得出

OCOD

【详解】由题图可知，ZAOB=ZCOD,结合。4,QC=OB1OD,可得AOB^COD.

故选B.

【点睛】

当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角

形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS”）.

2、B

【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.a-2）=0.故错误.

故选B.

3、B

【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.

【详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；

影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案

故选B

【点睛】

本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.

4、D

【分析】根据调查方式对A进行判断；根据中位数的定义对B进行判断；根据样本容量的定义对C进行判断；通过方

差公式计算可对D进行判断.

【详解】A.了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A选项错误；

B.数据3,6,6,7,8,9的中位数为6.5,所以3选项错误；

C.从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为200,所以C选项错误；

D.一组数据1,2,3,4,5的方差是2,所以“选项正确

故选D.

【点睛】

本题考查了方差，方差公式是：52=^(x,-x)2+(^-%)2+...+(%„-x)2J,也考查了统计的有关概念.

5、C

【解析】试题分析：列树状图为：

1234

xZIV.xyiv.

1234s1)3451234sl2345

•.'a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从1,2,3,4,5五个数中任取的一个数.

又：点M(a,b)在直线x+y=n上，2<n<9,n为整数，

13

.，.n=5或6的概率是一，n=4的概率是7,

416

•••当Q„的概率最大时是n=5或6的概率是-最大.

4

故选C.

考点：1、列表法与树状图法；2、一次函数图象上点的坐标特征

6、D

【解析】试题解析：A、是轴对称图形.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能

够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中

心对称图形的定义，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图

形的定义.是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

7、C

【分析】根据二次函数的性质分别写出各选项中抛物线的对称轴，然后利用排除法求解即可.

【详解】A、对称轴为y轴，故本选项错误；

B、对称轴为直线x=3,故本选项错误；

C、对称轴为直线x=-3,故本选项正确；

D、•••y=》2-6x=(x—3>—9；.对称轴为直线x=3,故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴的确定，是基础题.

8、C

【解析】连接BO,如图，先利用圆周角定理证明N/M>E=ND4C得到ED=E4=5,再根据正弦的定义计算出

m=3,贝!|AE=4,£>E=8,接着证明AADEADBE,利用相似比得到BE=16,所以AB=20,然后在RrAABC

中利用正弦定义计算出8c的长.

【详解】连接80,如图，

V为直径，

:.ZADB=ZACB=90°,

VAD=CD,

:.ZDAC=ZDCA,

而SC4=NABO,

...NDAC=ZABD,

VDELAB,

：.ZABD+NBDE=90°,

而ZADE+ZBDE=90°,

,ZABD^ZADE，

：.ZADE=ZDAC,

：.FD=FA=5,

EF3

在Rt/^AEF中，VsinNCAB==—,

AF5

:.EF=3,

AE-,5?-3。=4>DE=5+3=8，

■:ZADE=/DBE，ZAED=ZBED,

：./SADEADBE，

:.DE:BE=AE:DE,即8:5E=4:8,

...BE=16,

:.AB=4+16=20,

在&AABC中，•••sinNC45=/=3,

AB5

ABC=20x-=12,

5

故选C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键.

9、B

【解析】根据必然事件的特点：一定会发生的特点进行判断即可

【详解】解：A、某人体温是100℃是不可能事件，本选项不符合题意；

B、太阳从西边下山是必然事件，本选项符合题意；

C、a?+从=-1是不可能事件，本选项不符合题意；

D、购买一张彩票，中奖是随机事件，本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指

在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

10、C

【分析】如图，过点A作AC_Lx轴于点C,构建矩形ABOC,根据反比例函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC

的面积.

【详解】如图，过点A作AC_Lx轴于点C.则四边形ABOC是矩形，

•.|k|=S\tilfiABOC=SABO+8AOC=2，

k=2或k=-2.

又•••函数图象位于第一象限，

.,.k>0,

：.k=2.

2

则反比函数解析式为y=—.

x

故选C.

【点睛】

此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.

11、A

【解析】试题分析：解x2-x-3=O得x=^叵，.•.较小根为“=匕巫.

212

•.•9<13<16=>3<至<4=>-4<-屈<-3=>三<1^^</=>-3<：1-而<-1=-2<-2<1-8<-1,

2222222

-2<xj<-1.故选A.

12、B

【分析】根据概率公式直接解答即可.

【详解】・・•共有四个景点，分别是永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境，

...他选择的景点恰为丝路花雨的概率为L;

4

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、25

【分析】如下图，先分析常春藤一圈展开图，求得常春藤一圈的长度后，再求总长度.

【详解】如下图，是常春藤恰好绕树的图形

•.•绕5圈，藤尖离地面20米

•••常春藤每绕1圈，对应的高度为20+5=4米

我们将绕树干1圈的图形展开如下，其中，AB表示树干一圈的长度，AC表示常春藤绕树干1圈的高度，BC表示常

春藤绕树干一圈的长度

二在RtAABC中，BC=5

常春藤总长度为：5x5=25米

故答案为：25

【点睛】

本题考查侧面展开图的运算，解题关键是将题干中的树干展开为如上图AABC的形式.

14、310

【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得铅球行进的最大高度；铅球推出后落

地时，高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时，求得x的值就是铅球落地时的水平距离.

125

【详解】Vy=--X2+4X+^,

1233

e位1

因为----<0

12

所以当x=4时，y有最大值为3.

所以铅球推出后最大高度是3m.

令y=0,即

0=------(x-4)2+3

12

解得X1=1O,X2=-2(舍去)

所以铅球落地时的水平距离是10m.

故答案为3、10.

【点睛】

此题考查了函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解.正确解答

本题的关键是掌握二次函数的性质.

15、2

【分析】分别求出OA和OA】的长度即可得出答案.

【详解】根据题意可得，<M=V4?+2r=2>/5»04=h)2+(_l)2=亚,所以相似比=番=2,故答案为

【点睛】

本题考查的是位似，属于基础图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

3

16、(2,-).

2

3

【详解】解：由题意可知：抛物线y=ax2-2ax+5(aV0)的对称轴是直线x=l,

_3

与y轴的交点坐标是(2,-),

3

即点B的坐标是(2,-)

2

3

由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2-2ax+-(a<0)的图象上，

点A,B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,

3

...点B与点D关于直线x=l对称，得到点D的坐标为(2,-).

2

3

故答案为(2,=).

2

20

17、＞=——

x

【分析】根据题意把点(-4,-5)代入，反比例函数的解析式即可求出k值进而得出答案.

k

【详解】解：设反比例函数的解析式为：y=—(ZHO),

x

把点(-4,-5)代入得攵=20,

所以该反比例函数的解析式为：y=型.

x

,20

故答案为：y——.

x

【点睛】

本题考查反比例函数的解析式，根据题意将点代入并求出k值是解题的关键.

18、1.

【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可.

【详解】解：方程2--9X+4=0,

分解因式得：(2x-1)(x-4)=0,

解得：x=，或x=4,

2

当x=1时，］+2V4,不能构成三角形，舍去；

22

则三角形周长为4+4+2=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)见解析；(2)26

【分析】(1)欲证明PC是。O的切线，只要证明OCLPC即可；

(2)想办法证明NP=30。即可解决问题.

【详解】(1)VOA=OC,

.,.ZA=ZACO,

VZPCB=ZA,

.,.ZACO=ZPCB,

TAB是。O的直径，

.•.ZACO+ZOCB=90°,

.•.NPCB+NOCB=90°,即OC_LCP,

•；OC是。o的半径，

...PC是。O的切线；

⑵•.•CP=CA,

.,.N%NA,

.•.ZCOB=2ZA=2ZP,

■:NOCP=90°,

:.ZP=30°,

•.,OC=OA=2,

.*.OP=2OC=4,

PC=OP1-OC2=V42-22=2V3•

【点睛】

本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键.

2

20、(1)a=5时，yi的值是1050；(2)y2=-2b+28b+960；(3)每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大,

最大是2244元.

【分析】(D根据题意，可以写出力与a的函数关系式，然后将a=5代入函数解析式，即可求得相应的力值；

(2)根据题意，可以写出yz关于b的函数表达式；

(3)根据题意可以写出利润与所降价格的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得到每件衬衫下降多少元时，两

家分店一天的盈利和最大，最大是多少元.

【详解】解：(1)由题意可得，

yi=(40-a)(20+2a),

当a=5时，yi=(40-5)x(20+2x5)=1050,

即当a=5时，yi的值是1050；

(2)由题意可得，

2

y2=(30-b)(32+2b)=-2b+28b+960,

即y2关于b的函数表达式为y2=-2b2+28b+960s

(3)设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，

w=(40-x)(20+2x)+(-2X2+28X+960)=-4x2+88x+1760=-4(x-11)2+2244,

.,.当x=U时，w取得最大值，此时w=2244,

答：每件衬衫下降U元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答.

21、(1)进馆人次的月平均增长率为50%；(2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.理由见解析.

【分析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；

(2)根据(1)所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可.

【详解】(1)设进馆人次的月平均增长率为X,

根据题意，得：128(1+外2=288

解得%=0.5；x2=-3.5(舍去).

答：进馆人次的月平均增长率为50%.

(2)第四个月进馆人数为288(1+}=432(人次)，

V432<500,

二校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用题，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键.

2

22、(1)(-7,-2),(-1,-2),(1,-2),(-7,1),(-1,1),(1,1),(-7,2),(-1,2),(1,2)；(2)

9

【分析】列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率.

(1)直接利用表格或树状图列举即可解答.

(2)利用(1)中的表格，根据第三象限点(一，一)的特征求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所

有情况即可.

【详解】解：(1)列表如下：

-7-11

-2(-7,-2)(-1,-2)(1,-2)

1(-7,1)(-1,1)(1,1)

2(-7,2)(-1,2)(1,2)

点A(x,y)共9种情况.

(2)•.•点A落在第三象限共有(-7,-2),(-1,-2)两种情况,

2

.•.点A落在第三象限的概率是x.

23、（1）抛物线的解析式为：y=—；/+|x+4；点A的坐标为（-2,0）,点8的坐标为（8,0）；（2）存在点P,使

四边形PB。。的面积最大：点P的坐标为（4,6）,四边形PBOC面积的最大值为32.

【分析】（D根据对称轴公式可以求出a,从而可得抛物线解析式，再解出抛物线解析式y=0是的两个根，即可得到A,

B的坐标；

（2）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为丁="+。（攵。0）,从而可求该解析式方程，假设存在

点尸，使四边形P8OC的面积最大，设点P的坐标为+然后过点p作轴，交直线8c于

点O,从而可求答案.

【详解】解：（1）•••抛物线的对称轴是直线x=3,

抛物线的解析式为：y=~x2+^x+4.

当y=0时，—!》2+3》+4=0,解得玉=-2,%=8,

'42'

...点A的坐标为（-2,0）,点8的坐标为（8,0）.

13

答：抛物线的解析式为：y=--x2+-x+4；点A的坐标为（一2,0）,点8的坐标为（8,0）.

（2）当％=0时，y=—；/+|%+4=4,.•.点0的坐标为（0,4）.

设直线BC的解析式为y=kx+b（kH0）,

,、（、［Sk+b=0k=——

将B（8,0）,C（0,4）代入y=自+&得，解得2,

〔"=4,=4

二直线BC的解析式为y=-；x+4.

假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大，

设点P的坐标为［工,一］》2+—x+4j,

如图所示，过点P作PO轴，交直线于点O,

则点O的坐标为［%-/%+41,

贝！］PD=--x2+—X+4-［--X+4\=--X2+2X,

42(2J4

二S四边形PBOC=SMOC+SAPBC=3*8*4+30£>,°8=16+3*8(—：/+2x

=-X2+8X+16=-(X-4)2+32

...当x=4时，四边形P8OC的面积最大，最大值是32

V0<x<8,

存在点「(4,6)，使得四边形PBOC的面积最大.

答：存在点P,使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为(4,6),四边形PBOC面积的最大值为32.

【点睛】

本题考查的是一道综合题，考查的是二次函数与一次函数的综合问题，能够熟练掌握一次函数与二次函数的相关问题

是解题的关键.

24、(1)30,10;(2)平均数为12元；(3)学生的捐款总数为7200元.

【分析】(1)由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5=3