2023-2024学年吉林省吉林市高二年级上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年吉林省吉林市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知数列｛““｝是等比数列，且。2=2,。汹=64,则公比4=()

A.垃B.2或-2C.-2D.6或-6

【正确答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式%=4P"-',代入解方程即可.

【详解】因为等比数列｛4｝的通项公式%=al

所以。2=。「相，％=。「小

又因为的=2,ayas=64

fa”=2

即(24/\(\3A4所以《=±2.

历夕吗4=(.aiq)q(aiq)q=64

故选：B

2.已知直线4：3wx+(，"+2)y+l=0,直线£(，"-2)x+(m+2“+2=0,且“/“，则”的值为()

A.-2B.-1C.-2或-1D.2

【正确答案】C

【分析】若两直线4x+Bj+C|=0,Ax+Bd+c2=0平行，则=0且4G-&G

或4。2-鸟。尸0,求解用的值.

【详解】因为〃〃2，所以3m(ffi+2)-(m+2)(ffi-2)=0且2x3m-(zn-2)w0,解得:加=-2或-1,

且机片-(,综上：加的值为-2或-1.

故选：C

3.已知直线工一2。+3机=0和圆*2+/_6》+5=0相交，则实数机的取值范围为()

A.(-<»,—3)B.(-3,1)C.[-3,1]D.(1,+<»)

【正确答案】B

【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.

【详解】圆好+夕2一6》+5=0可化为(X-3)2+/=4,圆心为(3,0),半径为2

圆心到直线的距离d=臂"1=|1+H

由直线与圆相交可知|1+加|<2,解得-3<〃?<1

所以实数加的取值范围为(-3,1)

故选：B

4.在数列｛%｝中，q=l,生血:奈[，neN+,则a“=()

2-2n八n+l-〃+2

A.a=---B.a=---C.a=---D.a=-----

n〃+ln"〃+l"n2nn2/1+1

【正确答案】A

【分析】对翼」变形可得一匚=2卢=’+1，所以为以'=1为首项，公差

2+%怎+12%an2[an]%

为g的等差数列，即可得解.

【详解】在｛“"｝中，4=1,

2。”12+11

由%+1L可得一=L=一+一,

2+6%2a,,4,2'

所以HI为以，=i为首项，公差为;的等差数列，

所以，=1+("T>；=,

*22

所以%=工2，

n4-1

故选：A.

5.已知不丹为椭圆马+m=1(“>6>0)的焦点，〃为椭圆上一点，吟垂直于x轴，且

ab

/居”尸2=60",则椭圆的离心率为()

A.；B.也C.3D.在

2232

【正确答案】C

【分析】在直角用鸟耳中，由得到a,瓦c的等量关系，结合/=/+02计算即可

得到离心率.

【详解】由己知/我也&=60。得NMFE=30",则tanNMQ£=3,

3

又在椭圆中通径的长度为|M^=工，闺用=2。，

b[

故tanNMQ耳=%斗=旦=也，

|片@2c3

日[I。?―/ac\eV3

lac2c2a2e23

解得e=3

3

故选：C

6.O为坐标原点，尸为抛物线C:^=4x的焦点，P为C上一点，若|P日=4,则尸。尸的

面积为

A.72B.C.2D.3

【正确答案】B

【分析】由抛物线的标准方程/=4x可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P(x,y)，由

PF=4以及抛物线的定义列式可得x-(-1)=4,即x=3,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,

再由三角形的面积公式5=：|田。尸可得.

【详解】由_/=4x可得抛物线的焦点尸(1,0),准线方程为x=-1,

如图:过点P作准线x=-l的垂线，垂足为〃，根据抛物线的定义可知PM=PF=4,

设尸&J),则x-(-l)=4，解得x=3,将x=3代入/=4x可得y=±2百,

所以△PO/的面积为;•。尸=gx2由xl=0.

故选B.

本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式，关键是①利用抛物线的定义求p

点的坐标;②利用OF为三角形的底，点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.

7.已知双曲线^=1（。>0,b>0）的右焦点为尸，若过点尸且倾斜角为60。的直线/与

a

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.[2,+<»）B.（1,2）C.（2,+8）D.。,2]

【正确答案】A

根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系,

求得结果.

【详解】已知双曲线£-6>0）的右焦点为尸，若有且只有一个交点，

a6

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2,

a

.\->A/3,离心率e2=/24,：.e>2.

aa-

故选：A.

该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜

率所满足的关系，属于基础题目.

8.在直角坐标系内，已知力（3,3）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别

与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-y+l=0和x+y-7=0,

若圆C上存在点P,使得NA/PN=90。其中点〃(一见0)、N(m,o),则”?的最大值为

A.7B.6C.5D.4

【正确答案】B

【详解】由题意，，应3,3)是厂C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点

(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x-N+l=O和x+y-7=0,

...圆上不相同的两点为B(2,4,),。(4,4),/(3,3),BA1DABD的中点为圆心

C(3,4),半径为1,

\ec的方程为(x-3)2+(y-4)2=l.过P,M,N的圆的方程为/+/=m2,

二两圆外切时，m的最大值为J42+32+1=6,

故选B.

二、多选题

9.下列说法错误的是()

A.直线2(机+1〃+(加-3方+7-5机=0必过定点(1,3)

B.过点4-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=-5

C.经过点尸(1,1),倾斜角为。的直线方程为y-l=tanO(x-l)

D.已知直线履-歹-％-1=0和以"(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数”的取值范

围为一r1左弓3

22

【正确答案】BCD

【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况,

故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段与

y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.

、.f2x+y-5=0

【详解】A选项，直线方程变形为(2x+y-5)〃，+2x-3y+7=0,令，八，解得

[2x-3y+7=0

x=l/=3,即原直线必过定点(1,3),A正确；

B选项，当直线/过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线/的方程为

3x-2y=0,B不正确；

TT

C选项，当。=—时，tan®无意义，故C不正确；

2

D选项，直线依-y-4-l=O经过定点（1,-1）,当直线经过M时，斜率为％=上9=-',

-3-12

当直线经过N点时，斜率为a=与早=|,由于线段与y轴相交，故实数k的取值范

13

围为左4一彳或左D不正确.

22

故选：BCD.

10.设｛m｝是等差数列，Sn为其前〃项和，且S7Vs8,S"=Sg>Sw则下列结论正确的是（）

A.d<0B.ay—0C.S〃>$7D.Sg>Sg均为S〃的最

大值

【正确答案】ABD

【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，各个选项

验证可得答案.

【详解】解：•••%<&,...四>0,

VSs=S9f**•6fp=0,

则a9-as=d<Q,

故选项A,B正确；

.11x10^7x6：

S〃-S7=[ll%+^—“厂17%+^—

=lla/+55J-7a/-21cl=4ai+34d<0,

:〃9=〃/+8d=0,:・ai=-8d

，4〃/+34d=-32d+34d=2dV0

：.Sn<S7,故C错误.

易知数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，故选项D正确；

故选：ABD.

11.下列结论正确的是（）

A.若圆G：x2+y2+2x+3y+\=0,圆C2：x2+y2+4x+3y+2=0,则圆G与圆G的公

共弦所在直线的方程是x=-g

B.圆x2+/=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+正=0的距离都等于1

C.曲线G：/+y2+2x=0与曲线G：+y2-4式一8歹+〃2=0恰有三条公切线，则加=3

D.若实数'J满足X2+/+2X=O,则3-的最大值为正

-x-13

【正确答案】ABD

【分析】将两圆的方程相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程，进而判断选项A；根据直

线与圆心的距离与半径的大小关系即可判断选项B；根据两圆的的位置关系求得参数的值即

可判断选项C；二)可看作圆》2+/+2'=0上的点和点(1,0)连线的斜率，利用直线和圆相

切求得直线斜率，即可判断选项D.

3、9

【详解】对于A,圆G：x2+y2+2x+3y+\=0BP(x+1)2+(j^+—)2=—,

317

圆。2：/+/+4x+3y+2=0即(x+2)2+(y+—)2=—,

故两圆圆心距满足姮二^<1<4包史,两圆相交，

22

将两方程相减可得：2x+l=0,也即圆G与圆G的公共弦所在直线的方程是x=-；,故A

正确；

V2_1

对于B,圆X?+/=4的圆心到直线/：工一》+近=0的距离1=

廿二3

所以圆》2+必=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+后=0的距离都等于1,故B正确;

对于C,曲线G：幺+>2+2%=0可化为（x+l>+y2=l,

曲线。2：x?+「—4x—8y+机=0可化为（x—2了+&-4）2=20-m,

若曲线G表示圆，则有"7<20,

因为曲线G：/+/+2》=0与曲线c?：x2+y2-4x-8y+〃z=0恰有三条公切线，所以两

圆相外切，则|GG|=J（1+2C+4?=5=l+j20-,“,解得：m=4,满足机<20,故C错误;

对于D,设=即一可看作圆x2+_/+2x=0上的点和点(1,0)连线的斜率,

X—1X-1

整理为丘-y-k=0,当直线丘-y-k=0与圆》2+/+2X=0相切时,

圆心C(-l,0)到该直线的距离［=,•EP-T===1

Jl+k

可得女解得左=土且，

3

kx-y-k=O

所以'即'最大值为,最小值为一2^,D正确，

x-1|_33Jx-133

故选：ABD

12.双曲线C的方程为/一片=1,左、右焦点分别为斗鸟，过点写作直线与双曲线C的

2

右半支交于点4，B,使得/尸/8=90。，则()

A.|^|=75+1B.点力的横坐标为巫

C.直线43的斜率为言5或-若叵D.Z8耳的内切圆半径是有_1

【正确答案】BCD

【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出|/耳|、|/6|,即可判断A,再由等面积法求

出|丹|，代入双曲线方程求出乙，即可判断B,再求出直线的斜率，即可判断C,利用等面

积法求出内切圆的半径，即可判断D；

|/周一|4入|=勿=2

【详解】解：如图所示，由题意知＜|耳入|=勿=2抬’，解得

|附2+|明卜值『

在中，由等面积法知；»用»用=；|百用kJ，解得|.“=3回，

223

代入双曲线方程得x；=l+?=g,又因为点4在双曲右支上，故猫=妪，故B正确;

由图知33必m=篝=貂=¥，k,L3+y/5

由对称性可知，若点/在第四象限，则向8=21,故C正确;

AD2

力8耳的内切圆半径r=5(/月+/3-5片)

=^AFl+AF2+BF2-BFl)=^45+1+45-1-2)=y/5-1,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.己知双曲线的上、下焦点分别为6(0,4),巴(0,-4)，。是双曲线上一点且归用-|尸修=6,

则双曲线的标准方程为.

【正确答案】广-t=1

97

【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到。=3,得到/=7,即可求

出双曲线方程.

【详解】由题意得：双曲线的焦点在V轴上，设双曲线方程为《-W=l,(a>0/>0),

ab

因为忸用-归用|=2。=6,故”=3,

又双曲线的上、下焦点分别为£(0,4),巴(0,-4),故c=4,

故〃=02-。2=16-9=7,

故双曲线的标准方程为：=1,

97

故仁-片=1

97

14.过点尸(1,2)且与。C：*2+必+6才-4伊-3=0相切的直线方程为

【正确答案】x=l

点尸(1,2)在圆C上，利用圆心到直线距离等于半径求解.

22

【详解】。C：/+/+6x-4y-3=0化为标准方程为(x+3)+(y-2)=16,圆心为C(—3,2),

半径为4.

由F+22+6xl-4x2-3=0,所以尸(1,2)在圆C上.

由直线x=l,则圆心。(-3,2)到直线x=l的距离为4=广，所以直线x=l满足条件.

故x=l

15.已知数列｛为｝满足q=(,。”+1-〃〃=2/7+1,则数列,?卜勺前100项和doo=.

【正确答案】黑

【分析】叠加法求解％,再裂项相消法求和即可.

【详解】:。〃+1一。〃=2〃+1,.*./?>2=2〃-1.

31

2

:.an=(%_〃〃一J+…+(4-^|)+«|=(2M-1)+•••+(2x2-1)+—=/7--(/?>2),

31

当〃=1时q=[也满足上式，,=〃2-a(HGN*)

14J11>

•丁百=21.一赤力(〃2

•・•数列目的前〃项和5.=21一扑(制+...+(£-&_

=2^1--1-4，t-(«eN*)

I2〃+U2/2+1

所以数列的前io。项和儿。=式\=嘿.

[af)J200+1201

将400

故折

2222

16.已知椭圆二+5=1(。>6>0)和双曲线二一与=1(机>0，">。)有相同的焦点不行，P

a~b~m~n~

为桶圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为弓,纥,/£”=3,且

%e[JI,J?],则et的最小值为.

【正确答案】迫##:百

33

14

【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到/2=/一!从，利用

33

r2QQ

e?e[0,石]求出/e,进而得到e,的最小值.

【详解】由题意P为椭圆与双曲线的一个公共点，不妨设点尸在双曲线右支上，

耳为左焦点，匕为右焦点,

则|尸用一|尸闾=2机，|产用+俨闾=2°,|耳玛|=2c,a2-b2=m2+n2=c2,

解得:\PF\=a+m,\PF2\=a-m,

得cos/FPF-I「用2+1TFEI22a2+2疗-4c21

由夕消‘得cosqPK—-21mHpF/—=2/-2〃/F

2a2-2m2

解得:a2+3m2=4c*，

i44

因为/一〃=/〃2+/=—解得〃2/2=/一从，必满足/一三/〉。,

333

所以再二‘口团，B|]3F-4e

b2

32

5,3

故，的最小值为日,

故在

3

四、解答题

17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S„,S9=-27,SIO=-4O.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设b„=a„+2",求数歹ij他,｝的前"项和。.

【正确答案】⑴%=7-2〃；

(2)-n2+6n+2"+1-2.

【分析】(1)设｛4｝公差为d,根据邑=-27,&=-40列出关于首项和公差的方程组，求得首

项和公差，根据等差数列通项公式即可求%;

(2)利用分组求和法求方即可.

阳+等八-27

q=5

【详解】(1)设｛%｝公差为d,由Sg=-27,$=-40得，，，解得

10%+^^4=-40d=-2

：.ati=5-2(n-1)=7-2n；

(2)由2=4+2"得"=7-2〃+2",

/.T=S„+2…”)=〃x5+仆―1)x(-2)+2"+'-2=-n2+6n+2"+i-2.

“"1-22

18.已知圆C的圆心在第一象限且在直线3x-y=0上，点4(1,6)、点5(1,0)均在圆C上.

(1)求圆C的方程；

(2)由直线x+y+4=0上一点尸向圆C引切线，/,B是切点,求四边形面积的最小值.

【正确答案】⑴(x-iy+(y-3)2=9；

⑵3历.

【分析】(1)由题可得的垂直平分线方程，进而可得圆心坐标，即得；

(2)先求得Spq=眼”=JPCf-r2r，通过求|尸。|的最小值可得得S—B的最小值.

【详解】(1)由4(1,6),5(1,0),可得48的垂直平分线为1=3,

又点”(1，6)、点8(1,0)均在圆C上，圆C的圆心在直线3x-y=0上，

由I；3—。，可得x=W=3,即圆心C(l,3),

又|/C|=3,

所以圆C的方程为(x-iy+(y-3)2=9；

(2)由(1)得，圆C的圆心为C(l,3),半径尸3,

所以四边形PACB的面积为S*ACH=|尸4卜r=亚彳下'r，

所以当|PC|最小时，九8最小，

又C(l,3)到直线x+y+4=0的距离为与/=4五，

即|尸。|的最小值为4正，

所以四边形P/CB面积的最小值为J（4可一32x3=3723.

19.已知点与（TO）,圆g：（x-l『+_/=16,点。在圆入上运动，斫的垂直平分线交外

于点P.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）直线/与曲线C交于M、N两点，且MN中点为（1,1）,求直线/的方程.

【正确答案】（1）二+匕=1

43

（2）3x+4y-7=0

【分析】（1）由椭圆的定义求解，

（2）由点差法得直线斜率后求解，

【详解】（1）由题可知，|郎|=|PQ|

则|P4|+/闾=|尸0|+|「国=|0闾=4>2国玛|=2

由椭圆定义知P的轨迹是以耳、亮为焦点，且长轴长为4的椭圆，

Aa=2,c=1,/.b2=a2-c2=3

22

.•.P的轨迹方程为C：二+匕=1

43

（2）设“区，必）,N（z，%）,；M,N都在椭圆片+片=1上，

43

江+北=],江+度=1,相减可得（再f）区+Z）+（必一匕）（弘+力）=0,

434343

又MV中点为（1,1）,二X,+x2=2,y1+y2=2,

...21二&=_1,即直线/的斜率为

玉一々44

3

.,•直线/的方程为卜一1=一9%一1）,即3工+4〉一7=0,

4

因为点（1,1）在椭圆内，所以直线3x+4y-7=0与椭圆相交于两点，满足条件.

故直线/的方程为3x+4y-7=0.

20.已知等差数列｛对｝的前〃项和为S,,,且56=453，%,=24+1.数列他,｝的前〃项和7；,满

足，“=27；+2,且4=2,〃eN*.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵设C.=a„hn,求数列匕｝的前〃项和H„.

【正确答案】(1)见=2〃-1,b“=2-3"T

⑵4=(2”-2).3"+2.

【分析】(1”设等差数列｛《,｝的公差为d,根据题意列出方程组，求得,可得知=2〃-1；

IM—乙

利用〃川=21,+2可得a=27；1+2,542),相减可得说明数列为等比数列，即可

求得“=2.3"，

(2)利用(1)的结论求得c.=的表达式，利用错位相减法即可求得数列的前n项和川.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,

6q+15d=4(34+3J)

1v17

VS6=4S3,a2„=2an+1,则,

632q+(2"-l)d=2q+2(〃一l)c/+l

解得匕'=；，=l+2(〃-l)=2〃-l；

[4=2

数列出｝的前"项和7；满足6,川=27；+2,且4=2,〃eN*,

故6,=2射+2,(〃*2),则鼠-々=28-射);也,产沌,

由6,=2%+2,(〃42)可得&=2/>I+2=6,可知"户0,

故》=3,〃22,而去=3适合该式，

故也｝为等比数列，贝地=2・3”，

(2)由(1)得c“=a也=2(2〃-l)-3"T,

故乩=2X1X30+2X3X3+2X5X32++2(2«-1)-3"-1,

则3，“=2xlx3+2x3x3?+2x5x3,++2(37>3",

两式相减得—2%=2+4(3+于++r')-2(2/7-l)-3"

=2+4x3：；"：）_2Q1）x3"=（4_4”>3"_4,

故"=（2"2>3"+2.

21.已知抛物线C：_/=3x的焦点为凡斜率为；的直线/与C的交点为力、8（4在第一

2

象限），与x轴的交点为P.如图

⑴若网+网=5,求/的方程;

⑵若|力用4-=/7悸^，求P两A

【正确答案】（1）»=931一1卷3；

28

（2）3.

【分析】（1）根据抛物线的定义可得看+々=；7,设直线的方程，联立抛物线的方程，利用

韦达定理结合条件即得；

（2）利用韦达定理及弦长公式结合条件可得必=3,%=T，进而即得.

【详解】（1）由题可得尸设/（再,必）,8（当,%），西>0,弘>0,

3

所以|力尸|+|5用=$+/+],

7

所以芭+x2=-,

3

设直线/：y=；x+1，

3

由彳2,可得9/+12（/-1）%+4/=0,

y2=3x

12(r-l)

则nlX]+工2=---§，

y12(1)7/曰13

从而--------二-,得z=---，

928

所以/的方程为片3声-913；

28

'_3

(2)由，+可得/-2夕+2/=0,

J?=3x

所以必+%=2.必力=一2/,

因为|’8|=^^=/1+[・[(必+为y—4%力，

3、

所以£=-/,y