2023-2024学年浙江省湖州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省湖州市高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.椭圆4，+49必=196的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A.7,2*B.14,4,。C.7,2,与

D.14,4,—

7777

【正确答案】D

【分析】把方程化为标准方程后得A从而可得长轴长、短轴长、离心率.

【详解】由已知，可得椭圆标准方程为二+乙=1,

494

则”7,6=2,c=149-4=3右,

所以长轴长为2a=14、短轴长为26=4、离心率为？=£=之叵.

a7

故选：D.

2.已知平面a的一个法向量为历=(1,2,1),4(1,0,-1)*(0,-1,1),且工定a,5ea,则点/到

平面a的距离为()

A.1B.旦C.@D.1

【正确答案】B

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出.

【详解】7^(1,0,-1),5(0,-1,1),

UUU1

,又平面a的一个法向量为万=。,2,1),

I荏•司

点/到平面a的距离为—J=

1«16

故选：B

3.在等差数列｛““｝中，首项％=3,前3项和为6,则%+%+%等于()

A.0B.6C.12D.18

【正确答案】A

【分析】根据题意求出公差d，从而可得出答案.

【详解】设公差为d,

则4+。2+。3=+”=6,解得〃=—1,

所以4+%+。5=期+州=0.

故选：A.

4.已知点尸(-1,2)到直线/:4x-3y+，〃=0的距离为1,则机的值为()

A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15

【正确答案】D

【分析】利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】解：点尸(-1,2)到直线/:4x-3y+m=0的距离为1,

|-lx4-3x2+w|_

"也2+(-3)2-，

解得：加=15或5.

故选：D.

5.已知圆。：/+/-8》-8了+7=0,直线/："式+'-3加-2=0,/与C交于两点则当

|四|最小时，实数”?的值是()

A.2B.-2C.；D.—

22

【正确答案】C

【分析】由直线方程得直线所过定点P坐标，由几何性质知当CP与直线垂直时，弦长

|加叫最小，由斜率关系可得相.

［详解］直线/方程为mx+y-3m-2=0知直线/过定点尸(3,2),

圆C标准方程为(x-4y+(y-4)2=25,圆心为C(4,4),半径为5,

\CP\=7(4-3)*2+(4-2)2-75<5,P在圆内部，

因此当直线/与CP垂直时，|四|最小，

4-21

k---=2,-mx2=-1,m=-.

arp4-32

故选：C.

6.数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知N8C的顶点分别为

4(1,3),8(2,4),C(3,2),则Z8C的欧拉线方程是()

A.x-y+]=0B.x-y+3=0

C.x+y-5=0D.3x+y-9=0

【正确答案】C

【分析】求出重心坐标，求出边上高和边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心

坐标，即可求出欧拉线方程.

【详解】由题可知，△Z8C的重心为G（2,3）,

可得直线的斜率为三=1,则边上高所在的直线斜率为-1,则方程为y=-x+5,

1—2

直线NC的斜率为三|=-；，则ZC边上高所在的直线斜率为2,则方程为y=2x,

y=-x+5510

联立方程•.可得△ZBC的垂心为"

y=2x3'T

则直线GH斜率为一|-=-1,则可得直线G”方程为y-3=-（x-2）,

2--

3

故△ZBC的欧拉线方程为x+y-5=0.

故选：C.

7.已知等比数列｛”“｝的前〃项和为5“，则下列说法一定正确的是（）

A.若$2022>0，则B.若邑023>°，则6>0

C.若邑022>0，则%>0D.若邑023>0，则。2>0

【正确答案】B

【分析】根据等比数列的前〃项和公式分别讨论邑。22>0和52023>0即可得答案.

【详解】当4=1时，其。22=2022《>0,故q>0,a2>0,

当qHl时，$2022=""—->0,分以下几种情况，

1-4

当时，<0,此时4=6夕>0；

当一］<0时，>0,此时闻<0,

当0<9<1时，>0,此时%=%夕>0；

当夕>1时,>0,此时。2=。口>0；

故当S2022>0时，q与。2可正可负，故排除A、C.

当夕=1时，$2023=2023%>0,故4>0,%>0；

八_2023\

当［Hi时，S，023=」------->0，由于1-/°23与l-g同号，故4>0,

1-g

所以g=%夕符号随4正负变化，故D不正确，B正确；

故选：B

2

8.双曲线土/-匕v=1(〃?>0,">0)的离心率是2,左右焦点分别为百,与P为双曲线左支上一

tnn

点，则陶的最大值是()

A.-B.2C.3D.4

2

【正确答案】C

【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.

\ppI\cx—d2/72

【详解岫焦半径公式得禺=P-=1------=1=一，Xe(7,一勾，则当X=-。时,

1^1\ex+aex+a2

故选：C.

二、多选题

v-22

9.已知曲线C的方程为v二=贝U()

m2m4-5

A.曲线。可以表示圆

B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆

c.曲线c可以表示焦点在了轴上的椭圆

D.曲线C可以表示焦点在V轴上的双曲线

【正确答案】CD

【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.

【详解】对A,若曲线表示圆，则有加=2机+5>0,无解，A错；

m>0

对BC,若曲线表示椭圆，则有2〃?+5>0=加>0,此时2加+5>冽，则曲线。表示焦点

mH2m+5

在y轴上的椭圆，c对B错；

对D,若曲线表示双曲线，则有机(2〃?+5)<0=>-|<加<0,此时加<0<2加+5,此时曲线

C表示焦点在》轴上的双曲线，D对.

故选：CD.

10.已知数列｛与｝的前〃项和为S,,则下列说法正确的是()

A.若S,=2/+l,则｛““｝是等差数列

B.若则｛6｝是等比数列

C.若｛4｝是等差数列，则凡g二2为⑼

D.若｛《,｝是等比数列，则SgyBopS：%

【正确答案】BC

【分析】由前”项和求得。“后判断AB,根据等差数列、等比数列的性质判断CD.

【详解】选项A,2时，dn—Sn—Sn_1=+1—2(w—1)*,—1=4/7—2,

%=S[=3,a2=6t4=10,a3-a2^a2-ax9{%}不是等差数列，A错;

选项B,q=S]=-；，

〃N2时，a„=5n-5„_,=（1）--l-（1）-'+1=（-1）",%=:，%=-g，

?=-；=£■,｛对｝是等比数列，B正确；

选项C,若｛对｝是等差数列，则几§=199（"；"皿）=199?[00=199%”C正确；

选项D,若。“=1,则S”=〃，

%$=99x101=9999,而黑。=100?=10000>9999,D错误，

故选：BC.

2222

11.已知耳，鸟分别为椭圆C：W+与=19>%>0）和双曲线E：*-4=1（劭>0也>0）的公

ah。0b。

共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且/耳犀=60。，直线产入与双曲线

交于另一点。，若|明卜2|居。，则下列说法正确的是（）

A.耳。的周长为皿B.双曲线E的离心率为姮

53

C.椭圆C的离心率为恒D.\PF｝\=4\PF2\

【正确答案】BCD

【分析】设|。3|=f,则|叫|=力,由双曲线定义得归周=2f+2%,|0制=f+2%,再由余

弦定理得劭=夕，然后由椭圆定义得。=夕，利用余弦定理求得c=M，再求三角形周长,

求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项.

【详解】设|0£|=f,则归玛|=2f,附|=21+2旬，网=/+2%,

△做。中由余弦定理|。耳『^\PFtf+\PQf-2\PF｝\\PQ\cosAFtPQ,得

（Z+2%）2=（2z+2a（J?+9/2—2（2旬+2/）,3t,cos60°,化简得%=3f,

|尸耳|=2£+24=8f=4|尸玛I，D正确；

又2。=|?制+|尸g|=10f,所以a=5f,又耳|=£+2/=7,，

1Q

△建。的周长为8+3f+7f=18/=?a,A错误；

△尸耳入中，|耳凰=2c,由余弦定理得4c2=(刖)2+(2/)2-2x8/x2,xcos60。，所以c=Vi瓦，

因此双曲线的离心率为弓=£=胆=星，B正确;

旬3f3

椭圆的离心率为ez=£=叵=姮，C正确，

2aSt5

故选：BCD.

12.在棱长为1的正方体/BCD—44CA中，点尸满足而=义西+〃次,7e［0,l］，

［0,1］,则以下说法正确的是()

A.当a=〃时、4cl±BP

B.当4+〃=1时，线段CP长度的范围是与◎

C.当4+〃=1时，直线3与平面8CC圈所成角的最大值为］

D.当〃=］时，存在唯一点尸使得直线。P与直线/C所成的角为］

【正确答案】ABD

【分析】以。为x，F，z轴建立空间直角坐标系。-孙z,利用空间向量法判断直线

垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项.

【详解】如图，以。为x/,z轴建立空间直角坐标系。-孙z,则/(1,0,0),

2(0,0,1),C,(0,1,1),C(0,l,0),3(1,1,0),

UULIuuuium_

由。尸=2£)A+〃D4得加=(〃,(U),即尸(〃,0,幻，

选项A,力=〃时，BP=(//-1,-1,2),布=(-1,1,1),AC^BP=1-/J-1+A=0,AC,IBP,

A正确;

选项B,CP=(//,-1,2),冏山2+]+无=加+]+(1_〃)2=j2(q_；)2+|,

A€[OJ],所以(必-^)26[°，/，]。尸]€^，后],B正确；

选项C,平面8CG4的一个法向量是7=(0,1,0)，

c°W＞周/南

设直线CP与平面BCG4所成角为凡则sine=宙，由选项B得，sin®e[曰,当

sm0＜-^-＞三，C错误；

23

选项D,〃=g,尸(；,(U),而=(g,0M),^C=(-1,1,0),

£

2兀11

〈瓯就后市=■■.----=COS-=—2=+一

又4€[0,1],.•.2=；,即P点唯一，D正确,

故选：ABD.

三、填空题

13.已知直线《平分圆C:(x-2)2+F=2且与/2：6x+4y-l=0互相平行，则4的距离是

【正确答案】小叵##工内

2626

【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆c的圆心到直线4的距离作答.

【详解】因为直线4平分圆C:（x-2）2+/=2,于是直线4过圆心C（2,0）,

uu，、一,匚*1|6x2+4xo-l|1K/L3

所以4，的距离”=^~~

V62+4226

故Ml

26

14.在等比数列中，%=8,牝=1,则数列｛“,｝的前5项和是.（用具体数字

作答）

【正确答案】3968

【分析】利用偈=8吗2=1求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案.

【详解】设公比为4,因为偈=8吗，=1,所以解得4=1%=2"=2048；

[qq=12

2048x（1-1]

所以数列｛《,｝的前5项和为S$=------=3968.

1--

2

故3968.

15.已知抛物线C:f=4y,其焦点为尸,P。是过点厂的一条弦，定点A的坐标是（3,3）,当

|^|+M取最小值时，则弦PQ的长是.

【正确答案】整

3o

【分析】如图，过点P作准线X=-1的垂线PP,垂足为P,则|P/|+|PF|=|P/|+|PP|,由

图可知当4RP'三点共线时，|以|+|「可取最小值，由此可得点P的坐标，从而可得直线户。

的方程，联立方程求出。点的坐标，即可得解.

【详解】抛物线C:f=4y的焦点产（0,1）,准线为x=-l,

如图，过点P作准线x=-l的垂线PP，垂足为P，

贝"尸尸|=|尸尸’|,

所以内=|叫+|PP闫叫,当且仅当4P,P'三点共线时，取等号,

所以当|P/|+|PF|取最小值时，P点的横坐标为3,

当x=3时，y=^,即《3,0，

2_1

所以“45,

所以直线P。的方程为y*x+l,

’51

y=—x+14

联立厂12,消V得3/_5X-12=0,解得X=3或X=-「

2_3

故答案为芍

16.已知平面四边形/8CZ)中，Z818O,C8_LC£>,Z8=27J,8C=2,C8=CZ),现将△8。

沿80折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时.，异面直线/C与8。所成角的

余弦值是.

【正确答案】—

14

【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在中点上，则可由半径确定C的

位置，最后建系由向量法求线线角的余弦值.

【详解】设“。的中点为E,8。的中点为尸，，跖〃/氏

,?AB1BD,CB1CD,AB=2区BD=2,CB=CD,

二CFLBD,CB=CD=42,AD=亚+(2可=4,EF=^AB=VJ,

FC=FB=FD=皇=1

V2-

四面体的外接球心在过E且垂直于面/8D的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外

An

接球的半径最小，则当球心为£时，半径/="=辛=2最小.

EC1=r=EF2+FC2，AEF1CF,由EFflB。=F,EF、BDu平面ABD,：.B_1"平

面ABD,

则可建立空间直角坐标系尸-xyz如图所示，则8(1,0,0),/(1,-26,0),0(-1,0,0)C。,0』),

5D=(-2,0,0),^C=(-1,2^1),

BDAC

.•.异面直线ZC与8。所成角的余弦值为

14

四、解答题

17.已知圆C经过点40,3),8(2,5),且圆心C在直线x-y+1=0上

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点尸(4,6)与圆C相切的直线方程.

【正确答案】(l)(x—2>+(y—3卢=4

(2)x=4和5%一12歹+52=0

【分析】(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/(r>0),根据题意利用待定系数法求出

a,b，r,即可得解；

(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为

y-6=A(x-4),根据圆心到直线的距离等于半径求出k,即可得解.

【详解】(1)设圆的标准方程为5-。尸+(y-b)2=/(r>0),

a2+(3-h)2=r2ja=2

由题意得<(2-a)2+(5-6)2=，n*=3,

a—b+\=01/=4

所以圆的标准方程为(X-2)2+()，-3)2=4；

(2)当直线的斜率不存在时，x=4符合题意，

当直线斜率存在时，设该斜率为火，此时直线方程为了-6=斤卜-4),

即云一夕-必+6=0,圆心(2,3)到该直线的距离为厂，

|2k-3-4%+6|5

即d=J—T=尸」=2,解得k=g

Jl+公12

此时直线方程为5x-12y+52=0,

故所求直线方程为x=4和5x-12y+52=0.

18.已知等差数列｛对｝的前〃项和为S,,且S3=15,%=8,设数列抄,｝的前〃项和为々，且

P„=2"+'-2.

⑴求数列㈤｝和抄“｝的通项公式；

(2)设%=q也,，求数列匕｝的前〃项和为7；.

【正确答案】（1）/=3〃-1,b“=2"

（2）7；,=（3«-4）>2,'"+8

【分析】(1)由条件求等差数列基本量，即可求通项公式，”由与勺的关系求得:

(2)由错位相减法求和.

【详解】（1）等差数列｛4“｝中S3=3出=15n4=5,d=4-42=3,

/.an-a2+（〃-2）M=3〃-l.

+l

当〃22,b„=P„-Pn_t=2"-2"=2",又4=4=2=*故6“=2"；

（2），="也=（3"-1>2",

1,=2x2+5x22+…+（3”-1>2"①，

23,,+1

2Tn=2x2+5x2+---+（3n-l）-2@,

则①-②得

-7；=2x2+3x22+---+3-2"-（3n-l）-2^'=^-（3n-i｝2"+|-2=（1-3/?）2-8.

T„=（3M-4）>2"”+8.

19.在四棱柱4BCD-4BTCQI中,底面ABCD为平行四边形，且AB=4,AD=2,NBAD=60°,

ZBAA,=90°,/力/4=60°,BD、=屈.

(1)用刀，而，羽表示西，并求的长；

(2)若£为片G中点，求异面直线8。与CE所成角的余弦值.

【正确答案】(1)西=怒+亚-羽，|羽卜5

55^987

-------

1974

【分析】(1)根据向量的线性运算法则求解；

(2)用Z8,力。,力4表示在，计算8。1・。石，由向量法求异面直线所成的角.

【详解】（1）BD[=AD[-AB=AA[+AD-AB,

AA}•ZZ)=%4|x2xg=%4.

AB-AA.=0,AD-AB=4x2x—=4,

2

’‘12‘2'一22一一‘‘-------，‘••’’一•,

BD{=47=物+AD+AB+2AACAD-2AB-AAX-2ADAB>

即47=诉+4+16+2画-8,解得冈=5；

(2)由(1)知西=麴+而一而，区=西+甲=而

AD-AA,-ABAA,+-AB-Ab

112

V71

即•词y_55^/^丽

设异面直线与所成角为e,则cose=k°s（西,CF）|=.

BD,CE网祠々47x21—1974

20.西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适

当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中

荒山1.5千平方公里，打算从明年（2023年）起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面

积）的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，a“

为第〃年末林区面积（单位：千平方公里）.

⑴确定《，与%的递推关系（即把/用表示）;

（2）证明:数列｛凡-1.6｝是等比数列，并求4；

（3）经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？

【正确答案】⑴勺=0.8%+0.32（〃22）

（2）证明见解析,=1.6-1.1x0.8"

（3）经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里

【分析】（1）根据题意分析即可得出答案:

得勺=0.8%T+0.32（〃22）,证明上号为定值即可，再根据等比数列的通

(2)由(1)

%T.6

项即可得出答案；

(3)由题意可得见2L2,解不等式即可.

【详解】(1)ax=1.5xl6%+0.5x(l-4%)=0.72,

/=(2-3)x16%+a,-x(l-4%)=0.8%+0.32,

an=0.8i/n_,+0.32(w>2)；

(2)a„-1.6=0.8an_1+0.32-1.6=0.8(a,-1.6),

./二吗=08且°I.6=-0.88W0,

所以数列也-1同是以0.8为公比的等比数列，

.•.%-1.6=(%-1.6)x08i,

所以%=1.6-1.1x08'；

(3)由(2)知a“=1.6-1.1x0.8"21.2,

4

解得0.8〃4百，

4

当〃=4时，，0.84=0.4096>—,

4

当〃=5时，0.85=0.32768<—,

经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.

21.已知梯形Z8C。中，ABHCD,AB=AD=*D,4Z)C=60。，方=2比(2>0).现

沿4E将V4OE折起至NOE（。'史平面/8CE）.

图1

图2

（1）若8C_LOZ>（如图1）,求义的值；

1TT

（2）当2=5且二面角O-ZE-8的平面角为§时（如图2）,求。9与平面ZT/E所成角的正

弦值.

【正确答案】（1）2=2

⑵4

2

【分析】（1）由线面垂直，线线垂直相互转化，寻求得到E点的位置，进而由平面几何知识

得到2=2.

（2）首先确定E点位置，然后建系，利用题中已知二面角，求得所需点的坐标，进而求得

平面。ZE的法向量，代入线面角公式即得结果.

【详解】（1）由题意知）在平面N8CE的射影落在折痕4E的垂线上，记为7,则。7,平

面Z8CE,又BCu平面/5CE,:.DT工BC.

又BCLD'D,D'DcDT=D',D'D,。7<3平面。'。7',；.BC上平面

又DTu平面DD'T,BCLDT.

在平面川38中，AE//BC,

•.F8//C。，.•.四边形N8CE为平行四边形，即有N8=CE,

1一一

VAB=AD=-CDfDE=AEC(A>0),

：.A=2.

(2)连接ZE和B。，交于点O,由题意可知四边形为菱形;

折起后，OD'LAE,OBtAE,

TTIT

•二面角。'-ZE-8的平面角为；，

33

以02,0E所在直线分别为x，V轴，。为原点，如图建系，

［所•荏=0I厂

则1{——,13

th-AD'=0—x+y+yz=0

可取而=卜百,0,1).

又灰=理工

设。C与平面。％E所成角为。,

9A3

则sin。=|cos<£>rC,/w>|=22=叵

2x3夜2

V2

故zrc与平面。/E所成角的正弦值

2.

22

22.已知椭圆Cf+%=1(">"O)的左右焦点分别为耳6，点(跖&)在椭圆C上，其

左右顶点分别为48,尸为椭圆C的短轴端点，且cos/耳PQ=；.

(1)求椭圆。的方程;

(2)设。为椭圆C上异于48的任意一点，设直线与直线x=13交于点R,过R作直线8。

的垂线交椭圆C于两点.

(i)设直线“。与MN的斜率分别为证明：鸟为定值，并求出该定值;

K

(ii)求OMN(O为坐标原点)面积的最大值.

【正确答案】⑴工+廿=1

96

(2)(i)证明见解析，定值为|(ii)当

【分析】(1)列出关于a,b,c的方程组，解之可得椭圆方程；

(2)(i)设。(%,%),分别求出e°,小与。的积即得证;

(ii)直线NQ：y=Mx+3),得R(13,16k),得出直线MM方程后可得直线MM过定点，求

1X7X