2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 数列的概念（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第27练数列的概念（精练）

刷真题明导向

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列也｝：4=1+一,「十〃」，

cc.g'

a2

4=］+----—

%+-------p，…，依此类推，其中&eN*（左=1,2,）.贝I］（）

a?H----

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.be<b2D.b4</?7

【答案】D

【分析】根据%eN*（左=1,2,…），再利用数列也｝与巴的关系判断也｝中各项的大小，即可求解.

【详解】［方法一］：常规解法

因为4eN*住=1,2,）,

1,--1->-----1-----

所以％<%+一,%1,得到伍〉打，

%%+一

a2

11

CC,H>H--------；_

同理%%+L，可得”2<4，4>4

a3

1111

—>---------1—,%--------Y~</-!-----------1—

又因为%a2+］a2+—a2+1，

。3---H---

%%

故〃2<々，

以此类推，可得打>…，…3,故A错误；

4>&>4，故B错误；

11

屋〉1

2

4+r,得仇<生,故C错误；

%+…一

11

axH------------------>ax-\----------------------

%+-------j-%+…-------「，得b4Vb7,故D正确.

-----CCg-I-----

%ai

［方法二］:特值法

不妨设4=1，则瓦=2必=1,b3=|,b4=|,b5=^,b6=^b7=^,b8=ff,

ZjJo132134

b4Vb7故》正确.

2.（2020•北京・统考高考真题）在等差数列也｝中，4=-9,%=T.记北=…。"（"=12…），则数列｛口（）.

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D,无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小

项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差”二名子二吓二？，

5—15—1

则其通项公式为：a“=q+（〃—l）d=—9+（〃—l）x2=2〃—11,

注意至！I<%<。3<。4<。5<0<〃6=1<%<，

且由岂<0可知方<0（拈6,ieN）,

由，=4>1（此7,ieN）可知数列仍｝不存在最小项，

1i-l

由于q=-9,a?=—7,%=—5,以4=—3,%=—1’4=1，

故数列｛瑁中的正项只有有限项：乙=63,《=63x15=945.

故数列｛北｝中存在最大项，且最大项为1.

故选:B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

3.（2021.全国•统考高考真题）等比数列｛4｝的公比为g,前”项和为S",设甲：q〉0,乙：｛'｝是递增数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛5｝是递增数列时，必有。“>0成立即可说明4>。成

立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,-时，满足“>0,

但是｛S“｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛Sj是递增数列，则必有%>。成立，若">0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则4>0成立，所

以甲是乙的必要条件.

故选:B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.

4.(2023•全国•统考高考真题)已知等差数列｛%｝的公差为得，集合S=、osa“geN*｝,若5=｛°,6｝,则而=()

A.-1B.--C.0D.士

22

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.

27r2冗2冗

【详解】依题意，等差数列｛七｝中，a„=fl1+(«-l)-y=yn+(a1-y),

2冗27r

显然函数〉=8$［可”+(勾-■1)］的周期为3,而〃eN*,即cosa“最多3个不同取值，又｛cos%|〃eN*｝=｛a,b｝,

贝！I在cos4,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cos%wcosa2=cosa3,

27rjr

于是有cos9=cos(ed■-—),即有0+(0+—)=2kji,ksZ,解得夕=也一§,左£Z,

.j..71..71.4jT.71-2»7rl、山

所以1keZ,ab=cos(E--)cosrz--)+—J=-cos(E--)cosku--coskucosy.故选：B

二、填空题

5.(2020・浙江・统考高考真题)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列，的詈；

就是二阶等差数列，数列1吗的前3项和是.

【答案】10

【分析】根据通项公式可求出数列｛%｝的前三项，即可求出.

【详解】因为。“=皿⑴，所以卬=19=3,%=6.

2

即S3=%+%+q=1+3+6=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题.

6.(2020.全国.统考高考真题)数列｛见｝满足4*2+(T)Z=3〃T，前16项和为540,则％=.

【答案】7

【分析】对“为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用4表示，由

偶数项递推公式得出偶数项的和，建立为方程，求解即可得出结论.

【详解】«„+2+(-1)"«„=3n-l,

当〃为奇数时，。0+2=。,+3”-1;当“为偶数时，an+2+a„=3n-l.

设数列｛见｝的前”项和为S.,

S]6=%+。2+/+。4++。16

=Q]+/+%+〃15+(%+〃4)+(〃14+〃16)

=q+(%+2)+(〃]+10)+(4+24)+(%+44)+(q+70)

+31+102)+(6+140)+(5+17+29+41)

=86+392+92=80+484=540,

..=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.

7.(2022.北京.统考高考真题)已知数列｛%｝各项均为正数，其前"项和S“满足为。=9(n=1,2,).给出下列四

个结论：

①｛4｝的第2项小于3；②｛〃“｝为等比数歹U；

③｛4｝为递减数列；④｛%｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

99

【分析】推导出为=-------,求出生、%的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判

4%

断③.

【详解】由题意可知，VHGN\%＞。，

当H=1时，〃；=9,可得〃1=3；

9999

当〃22时，由S〃=一可得Si=——,两式作差可得为=-------,

anan-lan册一1

999

所以，一二一一%,贝！)一一%=3,整理可得雨+32—9=0,

an-\an〃2

因为外＞。，解得%=*!＜3,①对；

假设数列｛4｝为等比数列，设其公比为4,则%=%/，即[春]=

所以，5；=5应，可得Y(l+q)2=«f(l+q+/),解得4=。，不合乎题意,

故数列｛4｝不是等比数列，②错;

当时，%=2-2=9色1-，）>0,可得所以，数列｛4｝为递减数列，③对;

anan-X册册一1

〃

假设对任意的几eN*,a>,则H0Gooo>100000x^^=1000,

991

所以，^IOOOOO="7—1nnn<7737,与假设矛盾，假设不成立，④对.

1000001UUU1UU

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛见｝满足。“+」一=1,若%o=2,则4=（）

an+\

A.-1B.士C.-D.2

22

【答案】B

【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.

1,c

【详解】由％+——=1，，=2得

a

„+i

a

49=1-'=1一;=；，〃48=1--=i-2=-l,a47=l--=1+1=2=a50f

〃502L”49”48

所以数列｛见｝的周期为3,所以q=&9=；.

故选：B

2.（2023・甘肃・模拟预测）记数列｛4｝的前"项和为S“，且S“=久%-1）,则4=（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】由岳=4,52=%+4列方程组求值即可.

【详解】因为耳=q=2（%-1）,解得q=2.

又因为邑=%+。2=2（。2-1），解得出=4.

故选：A.

3.（2023•全国•高三专题练习）数列｛%｝满足q=迨=123,...,26）,aM6=a,,若让字母表中的分别依次对应数

字1-26,将数列｛%｝的一些排成一列就会对应一个字符串；如：aI,a2,a3,对应字符串而c,若存在某数列中出现

了电⑼，则这个数列对应的字符串可能是下面的（）

A.fudanB.danhuaC.boxueD.wensi

【答案】D

【分析】利用周期性求解即可.

【详解】由题意可知数列｛4｝以26为周期，

所以021="77x26+19="19=S，仅有D中包含字母s,

故选：D

4.（2023•全国•高三专题练习）按一定规律排列的单项式：a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,第w个单项式是（）

A.a"B.-a"

C.（-I）"'%D.（-l）"a"

【答案】C

【分析】根据所给的6项，找出排列规律即可.

【详解】解：因为前6项为：a,-a?，d，—a,，"，—a，，

所以第n项为（-1）"”".

故选：C.

5.（2023秋•山西大同•高三统考阶段练习）等比数列｛凡｝的前几项和S“=m+2x3",则旭=（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】A

【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.

【详解】q=d=6+机，当心2时，G=S.-S.T=4X3"T,

因为｛%｝是等比数列，所以4x3-=6+加，得根=-2,所以A正确.

故选：A.

6.（2023•广西南宁・南宁二中校考一模）数列｛（｝满足。“+1=~1^-，。3=可，则。2。21=（）

215

A.-B.——C.-D.3

322

【答案】B

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求。2⑼的值.

112_1

【详解】由题可知，%+[=匚7巳=匚工=§,得“2=一5,4='%=?=5=4,...数列｛4,｝是以3为周期的

周期数列，•••〃2021=々2+3x673=%=一]•

故选：B.

a"

7.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝的通项公式是%=比逅，贝支%｝（）

A.不是单调数列B.是递减数列C.是递增数列D.是常数列

【答案】C

【分析】由与0比较即可得出答案.

3〃+33〃6_

【详解】因为%，，=而看_而照=（4〃+6）（4〃+2）>°'

所以｛见｝是递增数列.

故选：C.

8.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的通项公式为%7^71,则｛4｝中的最大项为（

A.第6项B.第12项C.第24项D.第36项

【答案】C

a,

【分析】作商当3>1时，an+l>an.反之..解出〃的值即可.

a„

【详解】因为为>。令也>1,得型、居>1,解得"z",-1223.8.

an517/2+1512-502

aa

所以当14〃W23时，an+l>an,即知>23>22>，，%，

当时，an+l>an,gpa24>a2S>a26>.,因此当”=24时，。“最大.

故选：C.

9.（2023•全国•高三专题练习）若数列｛q｝是递增数列，则｛q｝的通项公式可能是（）

12

A.〃〃=—B.cin—Yi—8n

c.%=2-"D.«„=（-4

【答案】A

【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.

【详解】对于A,a„=--（neN*）,易知｛g｝是递增数列；A正确；

n

22

对于B,an=n-8n=（n-4）-16（neN*）,当几44时，数列｛风｝递减，

当〃〉4时，数列｛4｝递减，B错误；

对于C,故数列｛4｝是递减数列，C错误；

对于D,q=（-4，数列｛4｝是摆动数列，不具单调性，D错误.

故选：A

10.（2023•全国•高三专题练习）设数列｛4｝满足4+1=口上，且％=彳，则。2022=（）

1—42

A.—2B.—C.!D.3

32

【答案】D

【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.

1+%1+3

【详解】由题意可得:

1—%1—3

2

1+6!31+(-2)=1

1-%1-(-2)3

据此可得数列｛%｝是周期为4的周期数列,

则“2022=^505x4+2=%=3.

故选：D

11.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛。“｝为递增数列，前〃项和S.=/+〃+x,则实数彳的取值范围是（）

A.B.（-co,2）C.（^»,0］D.（-<«,0）

【答案】B

【分析】根据S“可求%=2〃,（〃22）,要使｛4｝为递增数列只需满足的>4即可求解.

【详解】当时，cin=Sn-S“_1="2+〃+4_［（“-］）+（〃-1）+彳］=2n,

故可知当时，｛%｝单调递增，故｛%｝为递增数列只需满足4>4,即4>2+2=4<2

故选：B

12.（2023•辽宁鞍山・鞍山一中校考二模）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以

解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵

妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少

需要移动圆环2次，记％（3都9,〃eN*）为解下〃个圆环需要移动圆环的最少次数，且贝懈下8

个圆环所需要移动圆环的最少次数为（）

987654321

A.30B.90C.170D.341

【答案】C

【分析】根据%=为一2+21,逐个代入〃=2/=4,〃=6,〃=8,即可求解.

【详解】由题，々8=%+2，。6=。4+2‘，4=。2+2^=2+2^,所以4=2+2^+2’+2’=170.

故选.：C

13.（2023秋・江西赣州•高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知数列｛%｝满足：

且数列｛%｝是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A.（2,3）B.［2,3）C.Iy,3jD.（1,3）

【答案】C

【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合的>4可得答案.

【详解】当〃46时，有3-a>0,即。<3；当">6时，有

又斯〉/，即。>10—6a,综上，有了<a<3,

故选：C.

,、”3

14.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的通项公式为％=上，则取得最大值时”为（）

A.2B.3C.4D.不存在

【答案】B

【分析】先求得％，%，%，%，利用导数求得当〃N4时，。”的单调性，从而确定正确答案.

【详解】依题意q=［，4=1，。4=1^，

构造函数/（x）=-|r（x>4）,

3-3.3'.皿3x2（3-xln3）

，（尤）=

y

由于xN4,ln3>l,xln3>4,所以/'（x）<0在［4,”）上恒成立,

所以“X）在区间[4,a）上递减，

所以当时，｛%｝是单调递减数歹（J,

所以4的最大值为%=L

所以取得最大值时n为3.

故选：B

15.（2023・全国•武功县普集高级中学校联考模拟预测）《天才引导的过程一数学中的伟大定理》的作者威廉・邓纳

姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0,如果你想要做乘法你需要1,如果你想要做微积分你需要e,如果你想要

做几何你需要兀，如果你想要做复分析你需要i,这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：

e%cosy+isiny），令x=0,>=兀，贝!Ie加=T,令x=0,>=血，则eiOT=cos“兀+isin”兀，若数列｛4｝满足为=6皿，

S”为数列｛4｝的前〃项和，则下列结论正确的个数是（）

①｛。"｝是等比数列②a2n=a；③S21=1（4）an+2=an

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题意可知%=[['为震册，进而即可根据所给式子逐一判断.

〃为奇数

1,九为偶数

【详解】a—elnn=cos〃兀+isinnrc=cos〃兀=

n—1）〃为奇数

故｛%｝是公比为-1的等比数列，A正确,

。2"=Lan=1，,a2n=B正确，

52]=4=-1,故C错误，

由｛4｝的定义可知氏+2=4，故D正确，

故选：C

16.（2023・全国•高三专题练习）数列｛4｝满足q=4，«„+i=1则/023=（）

a

2n

A.；B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】由递推公式可得数列｛q｝是T=3的周期数列，从而得解.

【详解】•“用=1-,，且q=[，

an2

所以数列｛4｝是T=3的周期数列，

所以。2023=4=g.

故选：A

17.(2023•全国•高三专题练习)已知｛4｝为递增数列，前〃项和S“=2"+2"+"则实数力的取值范围是()

A.(-00,2]B.(-℃,2)C.(一8,4]D.(-<»,4)

【答案】D

【分析】由题意先算4,再利用S“=2"+2/?+2,求出“22时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题

【详解】当〃=1时,%=5]=4+X,

,1

当〃22时，an=S“-S“_\=2"+2/+%_[2"T+2(“一1)2+几]=2-+4n-2,

由｛%｝为递增数列，只需满足外>%，即8>4+3解得几<4,

则实数几的取值范围是(-8,4),

故选：D.

18.(2023秋•河南•高三安阳一中校联考阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和S“=".若7<%<1。，则左=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先求得劣,然后根据7<%<1。求得上的值.

【详解】依题意

当〃=1时，%=-10；

222

当“22时，Sn=n-lb?,Sn^=(w-1)-ll(n-l)=n-13M+12,

两式相减得见=2〃-12(”22),4也符合上式，

所以=2/7-12,

4wN*,由7<2左一12<10解得9<k<11,所以左=10.

故选：B

19.(2023•全国•高三专题练习)记5”为数列｛4｝的前"项和，"对任意正整数〃，均有%<0”是“｛S,,｝为递减数列”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据。,与S”的关系，利用作差法，可得充分性，取特殊例子，可得必要性，即得答案.

【详解】当。时，贝！|S「S,T=a“<0（/22,aeN*）,:.S“<S…贝!对任意正整数n,均有4,<0”是“母｝为

递减数列”的充分条件；

如数列｛见｝为。，-1,-2,-3,T,.,显然数列｛Sj是递减数列，但是％不一定小于零，还有可能大于或等于零，所以

“对任意正整数n,均有<0”不是“｛S,,｝为递减数列”的必要条件，

因此“对任意正整数n,均有%<0”是“｛S.｝为递减数列”的充分不必要条件.

故选：A.

20.（2023・全国•高三专题练习）记数列｛4｝的前w项和为S”，已知向量相=（%,S“），w=（l,2）,若％=2,且）//：,

则对于任意的〃eN*,下列结论正确的是（）

A.an+l=-anB.2a„+1=3anC.Sn+l=S„D,2s用=3S”

【答案】D

[S.,H=1

【分析】根据向量共线的坐标表示得到S“=2%M，再根据%।计算可得.

电22

【详解】解：因为"7=（a.+i，S”），〃=（1,2）且加//〃，

所以S,=2a“+i，当〃=1时5=2%,又％=2,所以电=1,

当2时S,1=2。“，所以S,-S,T=2a”+「2见，即见=24+1-2见，

所以3%=2%,“22,又。1=2%,故A、B错误；

又S.=2a用，所以S“=2（S”+「S”），即2sx=3S“，故C错误，D正确；

故选：D

2

21.（2023•北京•高三专题练习）已知数列｛4｝满足%/%an=n,〃eN*,则数列｛4｝（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D,无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】根据递推公式求得。“，再根据｛%｝的单调性，即可判断和选择.

【详解】因为，"eN*,所以当〃=1时，fl]=I2=1;

。n2

当时，4%的1=（〃-1）一，故4=；----7T1+>1,

（〃一1）

因为函数/(x)=一[在区间[2,—)上单调递减，

所以当“22,〃cN*时，｛%,｝是递减数列.

又出=4,所以为44,且%»1=%,故数列｛4｝的最小项为％=1,最大项为%=4.

故选：A.

,、f(3-a)n-8,n<6,、

22.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛为满足：。“=…/(”eN*),且数列%｝是递增数列，则

[a>o

实数。的取值范围是()

A.(2,3)B,衅)C.(y,3)D.(1,3)

【答案】C

【分析】仿照分段函数的单调性求解，同时注意。6<%.

3—。>0

【详解】由题意,解得当<”3.故选：C.

_,7

6(3-cz)-8<a7

23.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛a„｝的通项公式为《=n2-3An,则“几<1”是“数列｛%｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断

【详解】若数列｛4｝为递增数列，

2

则«K+i-a„=[(«+1)-32(M+1)^-(zr-32n)

—2〃+1—3A>0,

即32<2^+1

由〃$N*,所以有3Xv2xl+l=3o2<l,

反之，当彳<1时，an+l-a„>Q,则数列｛《｝为递增数列，

所以“4<1”是“数列｛%｝为递增数列”的充要条件，

故选：C.

24.(2023・北京・101中学校考三模)设S„为数列｛4｝的前〃项和.若S“="-+。，则“a=0”是“2%=g+%”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合4=S“-S,i（"22）,利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】S“为数列｛4｝的前n项和，且S“=n2-n+a,

2

当4=0时，Sn=n-n9a2=S2-S1=29a3=S3-S2=4,a4=S4-S3=6,贝！]2〃3=%+〃4，

当awO时，有。2=S2-S]=2,a3=S3-S2=4,a4=S4-S3=6,贝[）2〃3=%+。4，

所以“a=0”是“2%=a2+a4”的充分不必要条件.

故选：A

25.（2023・全国•高三专题练习）数列｛%｝满足%="2+加+2,若不等式%>为恒成立，则实数上的取值范围是（）

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.（-9,-8）D.（-9,-7）

【答案】B

【分析】由4+2利用二次函数的性质计算可得答案.

2

【详解】an=n+kn+2=]〃+R+2，

•••不等式42%恒成立，

.*.3.5<--<4.5,

2

解得-94左4-7,

故选：B.

26.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足见+]=log2（a“+l）,若｛为｝是递增数列，则为的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.。,+8）

【答案】A

【分析】作出函数丫二十和y=l°g2（x+l）的图象，结合图象分析求解.

【详解】因为｛%｝是递增数列，所以即a”<log2（a“+l）.

如图所示，作出函数丁二天和丫二^^^+^的图象，

由图可知，当xe（O,l）时，尤<log?（x+l）,且log?（尤+l）e（O,l）.

故当q式0,1）时，<log2（<^+1）=02,且名式。」），

依此类推可得4<a2<a3<

满足｛4｝是递增数列，即4的取值范围是（0,1）.

故选:A.

二、填空题

27.（2。23・广东深圳•统考模拟预测）已知数列｛加的通项公式由q,则小…s一.

【答案】

【分析】根据给定的通项公式写出〃用和。“+2,再经计算即可得解.

.-n〃+1〃+2n

【详解】an^an+l*an+2=--------•----

〃+1〃+2〃+3n+3

故答案为:

28.（2023・高三课时练习）已知数歹£%｝的前〃项和S"=3/-2〃+l,则数列｛%｝的通项公式为

2,〃=1

【答案】a=

n6n—5,n>2

【分析】利用。“与5”关系即得.

【详解】因为鼠=3状-2〃+1,

当九=1时，ax=Sx=3-2+1=2,

2

当时，cin=Sn-Sn_x-3/—2n+1—13(〃—I)—2(〃-1)+1]=6n—5,

2,几=1

所以为=

6n—5,n>2

2,n=l

故答案为：凡二

6n—5,n>2

“4=2,a„=1--^-("22),贝！|星022=

29.（2023・全国•高三专题练习）已知S"是数列｛4｝的前w项和,

an-\

【答案】1011

【分析】根据递推式计算可知数列｛%｝具有周期性，即可解出.

【详解】因为%=2,a“=1-二一（WN2）,所以%=-1外=:冯=2,%=4,g=-1,因此数列｛%｝具有周期性，7=3,

an-l22

332022

«1+«2+«3=~>故$2022=5X^—=1011.

故答案为：1011.

30.（2023・全国•高三专题练习）记数列｛4｝的前〃项和为S“，若q=产右，则使得S“取得最小值时〃的值为____.

3〃一49

【答案】16

【分析】根据数列的单调性，即可判断S“的最小时〃的值.

【详解】由a“=#、得%=弓+，当〃416时，单调递减，且「二<0，

3〃一49333/Z-49[3w-49J3M-49

当”=1时，4<0,故当“W16时，«„<0,当"217时，—-—>0,且4>0,

3〃-49

所以当〃=16时，S”最小.

故答案为：16

31.（2023•全国•高三专题练习）在一个数列中，如果V〃GN*,都有劭。人也叫2=网/为常数），那么这个数列叫做等

积数列，上叫做这个数列的公积.已知数列｛4“｝是等积数列，且。/=1,02=2,公积为8,则（7/+々2+。3+...+。/2

【答案】28

【分析】依题意得数列｛an｝是周期为3的数列，再由al=La2=2,公积为8,求出a3=4,然后根据周期可求得

结果

【详解】因为数列｛an｝是等积数列，且al=La2=2,公积为8,

所以ala2a3=8,所以a3=4,

同理可得a4=l,a5=2,a6=4,......

所以数列｛an｝是周期为3的数列，

因此al+a2+a3+―+al2=4（al+a2+a3）=4x（l+2+4）=28.

故答案为：28

32.（2023•全国•高三专题练习）若数列｛加｝的前”项和St满足：5„+5„,=5,„+„,且幻=1,则如。的值为.

【答案】1

【分析】根据题意，令加=1,代入计算，即可得答案.

【详解】因为s“+s“=s,"+“，令”，=1可得s“+H=%,

所以S向-篦=E=4=1对于任意„eN*都成立，

所以。,+i=1,所以％o=1.

故答案为：1

33.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛。"｝满足%+%+,+%=2"eN*）,则.

[2,n=l

【答案】…

[2,n>2

【分析】根据。“和S”的关系可得.

【详解】记数列｛%｝的前n项和为5„,则由题知5“=2",当〃=1时，q=2；当W2时，％=S“-九二2〃—2〃T=2〃T,

所以…(2,，n"=”l

_,12,n=l

故口案为：2

34.（2023•全国•高三专题练习）已知数列q=（"1犷是严格递减数列，"为正整数，则实数上的取值范围是

【答案】（-叫1）

【分析】根据题意＜4对任意恒成立即可求出.

【详解】因为%=（%-1）"是严格递减数列,

所以"〃+1＜4,对任意〃cN*恒成立,

即（左-1）（〃+1）2＜（后-1）”2对任意“€”-恒成立，解得上＜1.

故答案为:（TO」）.

35.（2023,全国•高三专题练习）已知数列｛。“｝满足4+%+eN"）,则氏=

【答案】2n

【分析】根据数列的前〃项和与第〃项的关系进行求解即可.

【详解】因为％+g+…+。“="2+»(1),

所以当“22时，有％+%++an-l=(〃-1)~+”—1⑵,

(1)-(2),得%=2w,

当〃=1时，卬=2也适合a“=2w,

故答案为：2n

36.（2023•全国•高三专题练习）数列｛q｝满足4=2,%=；,若对于大于2的正整数"，见=厂二，则

1-4

〃102=-

【答案】I

【分析】先由递推关系式求出｛%,｝的周期，再由周期性求出％02即可.

［详解］由题意知：“2一百__1，/_匚而_5，%一1_2,%_匚工__1,

2

故｛〃〃｝是周期为3的周期数列，贝（1%02=%＜34=%=g.

故答案为：

37.（2023•全国•高三专题练习）若数列｛凡｝的前w项和S,=7，则其通项公式为

0,〃二1

【答案】％=1

一〃,H>2,HGN*

S„,n=l

【分析】根据4=「.即可解出.

[Sn-Sn.vn>2

【详解】当九=1时，4=5=0；

当时，a=S-S_=当"=1时，不满足上式，所以,

nnnAnn-In-n

0,H=1

1*

------,n>2,nGN

、〃一n

0,H=1

故答案为：an=\1

,n>2,HeN*

38.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的通项公式为4=/+力7（其中几是常数），若数列｛%｝为严格增数

列，则2的取值范围为.

【答案】（-3,”）

【分析】由题意。向-4,>。对任意”eN*恒成立，从而可得答案.

【详解】数列｛%｝为严格增数列，贝！J%「%,=（〃+以+X（〃+1）-川-加=2〃+1+2>0

所以2“+1+2>0,即九>-2〃-1对任意〃eN*恒成立

所以2>—3

故答案为：（-3收）

39.（2023・全国•高三专题练习）能说明命题“若无穷数列｛凡｝满足—>1（〃=1，2,3,..）,则｛4｝为递增数列”为假命

an

题的数列｛%｝的通项公式可以为4=.

【答案】-«

【分析】根据给定条件，数列｛%｝首项为负并且是递减数列，写出符合该条件的一个通项作答.

【详解】因无穷数列｛4｝满足—>1（〃=1，2,3,）,当卬>。时，an+l>an,数列｛4｝为递增数列，给定命题是真命

an

题，

当q<0时，an+l<an,数列｛%｝为递减数列，给定命题是假命题，

一（

‘f.""I"+D"+1Ya

因此，取为=一〃，显然有---=-------=---->1,n+i=-（n+l）<-n=an9

61n—nn

所以%=f.

故答案为：-«

40.（2023・全国•高三专题练习）数列｛q｝的通项公式为q=p"2+”（peR）,若凡包<4，则p的一个取值为.